幸福感的评定和量化模型

2011年浙江中医药大学第二届数学建模大赛承 诺 书我们仔细阅读了2011年浙江中医药大学第二届数学建模大赛的竞赛规则。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与本队以外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们愿意承担由此引起的一切后果。我们的参赛报名号为： （无）参赛组别（研究生或本科或专科）：本科生参赛队员 (签名) ：队员1：孙亚京队员2：钱树英队员3：华洁队长联系方式：2011年浙江中医药大学第二届数学建模大赛编 号 专 用 页竞赛统一编号（由竞赛组委会送至评委团前编号）：竞赛评阅编号（由竞赛评委团评阅前进行编号）：2011年浙江中医药大学第二届数学建模大赛题 目 A题:幸福感的评价与量化模型摘要幸福感是一种心理体验，它既是对生活的客观条件和所处状态的一种事实判断，又是对于生活的主观意义和满足程度的一种价值判断。而幸福指数，就是衡量这种感受具体程度的主观指标数值。总体生活满意感和具体生活领域满意感（例如，经济状况、工作状况、家庭生活、社会交往、休闲活动、居住环境等）成为考察幸福感的主要指标。根据中国国情，又参考国内学者的研究所得，我组将幸福指数的指标定为身心健康、物质充裕、生活质量、社会交际、自我价值实现五个部分。我们参照贝叶斯估计的原理得到一个对其优化后的数据处理方案，对附表提供的数据运用层次分析等方法（代码见于附录）进行量化处理，转化为各因素的分数。运用matlab、excel等软件处理数据，得到各因素权重，提出幸福指数M值模型假设，计算如下:（Ai为第一层各影响因子，bik为第一层第i个因子对应的第k个显变量的权重，Xik为bik对应的显变量，n为第i个隐变量对应显变量的个数）.引用文献中准则层一的各因素权重确定网民幸福指数M值（满分5分）的计算模型：经计算得网名幸福指数为3.，与附表中幸福程度的数据处理结果3.非常接近。我们通过对查找资料所得的资料进行类同于第一部分的处理，验证模型的准确性，为推广到更广泛的人群又对模型进行了讨论，完善其中的不足之处。关键字： 幸福感 量化模型 主观指标 层次分析法 贝叶斯改进模型1问题重述1根据我们对幸福感的理解，对附表给出的网上调查所获得的一系列数据，参考国内学者对幸福感指数进行的研究1，总体围绕各因素对幸福指数的影响程度（参考变量表一P16），给出一个衡量该因素重要程度的标度进行量化处理，提出假设，尝试建立网民幸福感的评价指标体系，并利用这些指标建立衡量人们幸福指数的数学模型。2我们查找并选择了对江苏某学校的教师和学生的幸福程度的调查数据，运用上题的数学建模的方法对其进行分析，既可以验证我们假设的模型的可用性，同时也可用于找出影响他们幸福感的主要因素，进而有针对性地利用模型分析幸福指数。3我们通过对以上数据（即网民、教师、学生的幸福指数）所建立的评价体系和模型，进行讨论该体系和模型能否推广到更加普遍的人群这一问题。4综合处理所有数据后建模型得出的结论，鉴于我们所得数据来源于江苏某学校，考虑到实际可操作性和针对性，我们模拟给该校校长写一封短信，给出各项数据的同时阐明我们对幸福指数的理解，并提出我组的建议。 2问题分析以及模型建立2.1问题一附表给出了网上调查的一系列数据，根据这些数据，试建立网民幸福感的评价指标体系，用这些指标建立衡量幸福指数的数学模型。2.1.1问题分析：附表给出的数据是有关幸福感的得票数，我们对该数据进行处理，使之能量化地表达对应选项的影响程度。我们利用贝叶斯模型的概率计算部分对数据进行处理，考虑到这样的概率处理不能准确的反应量的关系，所以我组将选项A-B给定标度为5-1的数值，继而采用层析分析法求每一小题所反映的因素bi(下文有详述)对幸福指数的权重，因为层次分析法既考虑了客观因素又结合主管思维是比较全面的评价模型。2.1.2模型假设：根据所查得的资料及题目附表网上调查得到的数据，我们建立了递阶层次结构，共有三层，分别为：1)目标层：是分析问题的预定目标或理想结果，此处为幸福指数； 2)准则层一：包括实现目标所涉及的中间环节，主要有所需考虑的准则和子准则，根据调查所得，我组将此层定为身心健康、物质充裕、生活质量、社会交际、自我价值实现，准则层一的权重直接引用中的数据，分别为0.53,0.509,0.298,0.143,0.014；.3)准则层二：影响幸福指数的因素,我组将其记为bi，（参考变量表一P16进行分类）。幸福指数MMMMMMMM身心健康A1物质充裕A2生活质量A3社会交际A4自我价值实现A5身体健康情况b19生活态度b14自己是个怎样的人b12收入b13住房条件b7社会经济发展状况b2业余生活b18工作/生活上的压力b17出行b6生活节奏b5环境b4社会治安状况b3与同事的关系b11与邻居的关系b10与朋友的关系b9与家人的关系b8事业/学业成就感b16事业前途b15各层关系模式图：2.1.3数据处理步骤：利用贝叶斯估计的方法对b2-b19数据处理（题目所给的附表中第一组总体调查 “幸福程度b1”的数据，作为检验模型建立后符合程度的指标，不用于建模过程），但贝叶斯估计存在精确度不高的缺点，所以我们用方程模型进行改进，先求得各个选项（A-E）选票所占的概率是指权重吗？，再将概率乘以标度得各选项对应的分数(即=概率*标度)，再将各题选项（A-E）所得的分数分别求和得到总分数xi（含义为各选项对准则层二即bi的影响状况的量化数据）（详见表一第三列）。 表一选项及内容幸福程度 权重w总分数xi 总分数Xi 两个总分数代表何意木有说清楚b20.53852.9145 1.5695 b30.13963.2767 0.4574 b40.17453.0243 0.5277 b50.3143.4573 1.0856 b60.09283.5266 0.3273 b70.07693.1497 0.2422 b80.43753.9145 1.7126 b90.31253.9004 1.2189 b100.18752.9631 0.5556 b110.06253.8574 0.2411 b120.09093.4770 0.3161 b130.38462.6899 1.0345 b140.27273.6358 0.9915 b150.753.4461 2.5846 b16 0.253.1249 0.7812 b170.24423.5989 0.8788 b180.03493.2479 0.1133 b190.63643.3667 2.1426 根据层次分析法的权重含义表，我们制作出了表系列二，这是准则层一与准则层二的判断矩阵，我组将bi(i=2-19)i=2,19中的每一选项按其对五个指标（Ai）重要性分别赋予其标度，运用matlab软件得出权重w2i(2i表示bi层对Ai层所产生的影响)，最大特征根(入max)、一致性指标(C.I.)和一致性比率(C.R.)。整理权重后记录在表一（详见表一第二列）。 表系列二A1身心健康， b12自己是个怎样的人，b14生活态度，b19身体健康情况A1b12b14b19w21max=3CI=0CR=0b121 1/3 1/70.0909b143 1 3/70.2727b197 7/31 0.6364A2物质充裕，b2社会经济发展状况，b7住房条件，b13收入A2b7b13b2w22max=3CI=0CR=0b71 1/5 1/70.0769b135 1 5/70.3846b27 7/51 0.5385A3生活质量，b3社会治安状况，b4环境，b5生活节奏，b6出行，b17工作/生活上的压力，b18业余生活A3b18b4b5b6b17b3w23max=5.8868CI=-0.0226CR=-0.0180b1811/51/9 1/3 1/7 1/40.0349b4515/95/3 5/75/40.1745b599/513 9/79/40.314b633/51/31 3/7 3/40.0928b1777/57/97/31 7/40.2442b344/54/94/3 4/71 0.1396A4社会交际，b8与家人的关系，b9与朋友的关系，b10与邻居的关系，b11与同事的关系A4b11b10b9b8w24max=4CI=0CR=0b111 1/3 1/5 1/70.0625b1031 3/5 3/70.1875b955/31 5/70.3125b8771/37/51 0.4375A5自我价值实现，b15事业前途，b16事业/学业成就感A5b15b16w25max=2CI=0CR=0b15130.75b161/3.3总分数Xi=权重*总分数xi，（含义为准则层二即bi对准则层一即Ai的影响状况的量化数据）（详见表一第四列） 如下图表三是我组对幸福指数的五大方面即Ai作归一化处理，得各指标对幸福指数M的权重。 表三对幸福指数的五大方面作归一化处理，得权重w:A10.3548A20.3407A30.1995A40.0957A50.009综合处理本题:根据准则层一与准则层二的层次关系和准则层一与目标层关系的以下公式：总分数A1=总分数Xi（b12+b14+b19）两个总分数，表述不明总分数A2=总分数Xi（b2+b7+b13）总分数A3=总分数Xi（b3+b4+b5+b6+b17+b18） 总分数A4=总分数Xi（b8+b9+b10+b11） 总分数A5=总分数Xi（b15+b16） 总分数Mi =总分数Ai* Ai的权重（总分数Mi含义为准则层一即Ai对目标层M的影响程度的量化数据）幸福指数M=M1+M2+M3+M4+M5由此通过我组的数学分析所得的幸福程度为3.。（详见表四）。 表四总分数AiAi的权重总分数Mi3.4501 0.35481.22412.8462 0.34070.96973.3902 0.19950.67633.7281 0.09570.35683.3658 0.00930.0313幸福指数M3.2582我组又运用同样的方法对题目所给的附表中第一组总体调查 “幸福程度b1”的数据进行分析，结果显示网民的幸福指数为3.，与建模所得的数据较为相近，属于可接受范围。 问题一总结所得的网民幸福程度模型：其中方案层在准则中也应当有权重 ：2.2问题二我组查找选择了江苏省中小学教师和某网络关于大学生幸福感调查的问卷数据。分别建立幸福指数的数学模型，并找出影响他们幸福感的主要因素。而对各项分类的依据来源详见变量表一2.2.1选取江苏省中小学教师幸福感调查问卷数据递进层次分析：1)目标层：是分析问题的预定目标或理想结果，此处为幸福指数M； 2)准则层一：包括实现目标所涉及的中间环节，主要有所需考虑的准则和子准则，根据调查所得，我组将此层定为身心健康、物质充裕、生活质量、社会交际、自我价值实现，本题对于准则层一的相关权重并不能从网络上直接得到，所以我们通过层次分析中两两对比的方法求得（详见表一）。3)准则层二：影响幸福指数的各种因素，此处数据，我组将其记为bi（bi所表示的变量详见变量表二P17）（参考变量表一P16进行分类）1下面体系表示不统一b16，b17，b19幸福指数身心健康A1物质充裕A2生活质量A3社会交际A4自我价值实现A5b2，b3，b12b5，b18b6，b9，b10各层关系模式图：b，b根据各因素对幸福程度的影响程度分别给Ai不同的标度，通过层次分析得到最大特征根(入max)、一致性指标(C.I.)和一致性比率(C.R.)（详见表一）表一准则层一Ai对标准层M的权重： MA5A4A3A2A1w11max=5C.I.=0C.R.=0A511/21/31/41/50.0667A4212/31/22/50.1333A333/213/43/50.2000A2424/314/50.2667A155/25/35/410.3333A1b12b2b3w21b121 1/3 1/50.1111 max=3b231 3/50.3333 C.I.=0b351 2/31 0.5555 C.R.=0然后进行类似于问题一的建模步骤，此处稍微简略，详见表系列二。A2b18b5w22max=2C.I.=0C.R.=0b181 3 0.75b5 1/31 1/4A3B4b11w23max=2C.I.=0C.R.=0b41 3 0.75b11 1/31 1/4A5b15b14b16b17b19b13w25max=5.8868CI=-0.0226CR=-0.0180b1511/5 1/91/31/71/40.0349b1451 5/95/35/75/40.1745b1699/51 39/79/40.314b1733/5 1/313/73/40.0928b1977/5 7/97/317/40.2442b1344/5 4/94/34/710.1396 A4b6b7b10b8b9w24max=5C.I.=0C.R.=0b61 1/2 1/3 1/4 1/50.0667 b721 2/3 1/2 2/50.1333 b1033/21 3/4 3/50.2000 b842 4/31 4/50.2667 b955/25/35/410.3333 表系列二总分数xi（含义为各选项对准则层二即bi的影响状况的量化数据）总分数Xi=权重*总分数xi两个总分表述不清（含义为准则层二即bi对准则层一即Ai的影响状况的量化数据）（权重来源于的操作步骤），得表三： 表三项目总分数xi权重w总分数Xib1幸福程度实际调查值3.1031b22.9462 0.3334 0.9823 b32.9507 0.5555 1.6391 b42.5605 0.7500 1.9204 b52.5381 0.2500 0.6345 b62.5830 0.0667 0.1723 b72.7309 0.0928 0.2534 b82.6951 0.2667 0.7188 b92.7578 0.3333 0.9192 b102.9462 0.2000 0.5892 b112.9731 0.2500 0.7433 b123.0942 0.1111 0.3438 b132.8206 0.1396 0.3938 b143.0224 0.1745 0.5274 b152.8826 0.0349 0.1006 b163.1166 0.3140 0.9786 b172.9417 0.0928 0.2730 b182.6637 0.7500 1.9978 b192.8879 0.2442 0.7052 由此通过我组的数学分析所得的幸福程度约为2.8（详见表四），对比于幸福程度实际调查值3.1031（表三），误差属可接受范围。 表四总分数AiAi的权重总分数Mi2.96510.3333 0.992.63230.2667 0.702.66370.2000 0.532.65290.1333 0.352.58480.0667 0.17幸福指数M2.8 结论:M=0.3333A1+0.2667A2+0.2A3+0.1333A4+0.0667A5下标不规范数学建模得到的幸福感为2.8，而b1 中幸福感为3.1031。相对误差为0.09。.2.2.2选取网络某关于大学生幸福感调查的问卷数据其步骤与教师模型构建步骤相类似（bi表示变量详见变量表三P17）（参考变量表一P16进行分类） 幸福指数身心健康A1自我价值实现A5 b4，b6 , b7b b5,8b2，b3各层关系模式图：根据各因素对幸福程度的影响程度分别给Ai不同的标度，通过层次分析得到最大特征根(入max)、一致性指标(C.I.)和一致性比率(C.R.)（详见表一）准则层一Ai对标准层M的权重： 表一CA2A1w11max=2A21 1/20.333C.I.=0A121 2/3C.R.=0处理方法同处理2.2.1，得 表系列二A1b7b4b5b6b8w21max=5C.I.=0C.R.=0b71 1/2 1/3 1/4 1/50.0667 b421 2/3 1/2 2/50.1333 b533/21 3/4 3/50.2000 b642 4/31 4/50.2667 b855/25/35/410.3333 A2b2b3w22max=2C.I.=0C.R.=0b21 1/50.167b351 5/综合得到 表三项目总分数xi权重w总分数Xib1幸福程度实际测得值3.4926b22.82010.1670.4709b33.00520.8332.5133b43.80530.13330.5072b52.75150.20.5513b62.69580.26670.719b72.68440.06670.179b82.77290.33330.9242 表四总分数AiAi的权重总分数Mi3.122/32.083.331/31.11幸福指数M.5结论：学生：幸福指数M=2/3A1+1/3A2数学建模得到的幸福感为3.19，b1中幸福感为3.4926。143小结2.3问题三：根据我组所建立的评价体系和模型，对能否推广到更加普遍的人群进行讨论。为了使我们建立的评价体系能推广到更广泛的人群我们对模型进行少量修改。利用我们的评价体系对广泛人群进行幸福指数评价的实践过程如下：（Ai为第一层各影响因子，bik为第一层第i个因子对应的第k个显变量的权重，Xik为bik对应的显变量，n为第i个隐变量对应显变量的个数）.采样调查对样本数据量化层次分析确定确定个因素权重得到待测模型用样本检测模型并调整确定各指标权重通过各层次元素间总要性调整修改模型流程图：步骤：1、采样调查（可根据本文变量表一的内容对抽取一小样本进行问卷调查，以确定各因素权重）。 2、对样本数据进行量化处理。处理过程同问题一和二的处理过程。 3、利用层次分析法确定各个因素的权重并得到待测模型 4、用样本数据检测模型，并做相对调整，直至误差最小。(此调整主要是通过对层次分析中个变量之间的关系进行调整) 5、确定各因素权重。得到幸福指数模型。备注：考虑到各种人群因其存在差异性，有时候甚至这种差异性会严重影响各因素对幸福指数M值的贡献率，所以我们在建模初期对待测人群X取一较小的样本Y进行分析。综合各种因素确定各个因素之间的关系，运用层次分析法得出各因素权重，运用小样本进行检验，直至得到与真实结果最接近的权重，从而确定幸福指数M的计算通式。此通式是最适合待测人群X的幸福指数计算。 2.4问题四根据我组所建模型得出的结论，下面是我组给江苏XX中学X校长（鉴于我们所得数据来源于江苏某学校，考虑到实际可操作性和针对性）写的一封短信，其中阐明了我组对幸福的理解和建议。江苏XX中学X校长：您好！我们是浙江中医药大学一组对数学建模有热情的学生。在对江苏省中小学生教师幸福指数建立数学模型的过程中，我们小组发现一些影响教师幸福程度的因素，想在这里向您展示，希望对你们学校未来的工作有所帮助。我们将调查问卷中各个问题中涉及到的因素归为五大类：身心健康、物质充裕、生活便利、环境舒畅、自我价值实现。1、身心健康。影响最大的是课堂是否会给教师带来愉悦，其次是工作压力，影响最少的是与他人的关系。2、物质充裕。学校能否提供良好的专业指导和支持影响力相当大，接下来是福利待遇。3、生活便利。影响最大的是学校开展的业余文化活动好坏，其次是学校的工作氛围。4、环境舒畅。影响力从大到小依次是学校管理的民主公开程度、教师从学校得到的评价客观与否、工作环境和办公条件、学校规章制度的合理度、学生的配合程度。其中后两者影响程度远远不及前三者。5、自我价值实现。影响力从大到小是自我教学效果感受、自身能力是否得到发挥、付出是否得到回报、自我专业素养把握、社会价值的自我认定。其中前三者影响远大于后两者。考虑到五大分类是影响力由大到小排列，我们有以下几点建议：1） 安排好教学任务与教学课时的关系，尽量做到教师不会因为在时间或者其他方面的压力而减少上课的愉悦感；2） 加强对教师专业指导的力量，听课人选的安排；3） 在课余时间里多开展文体活动放松教师心情4） 进一步加大管理民主公开程度，开展学生与学校双评价体系，在财政允许情况下改善教师办公条件；5） 提高教师对自己的信心；幸福感是很难下确切的定义，但是我们可以把幸福感体现到确切的指标上，就像我们上面所研究的一样。拥有较高的幸福感对于教师的工作质量的提高是非常重要的，同时在拥有幸福感的教师的指导下同学也会更加开朗，希望贵校能在教学上取得很好的成绩。感谢您浏览我们冒昧打搅的信。祝身体健康，工作顺利！浙江中医药大学学生 2011.5.14参考文献：1. 吴启富，陈红梅，张晓波，基于结构方程的北京居民幸福指数因素分新，首都经济贸易大学学报，2007年第三期：P89P93。2. 商晓伟,北京市幸福指数的贝叶斯估计, 商业时代(原名商业经济研究), 2010年27期:P130P131.3. 俞灵燕，王岚，“幸福指数”编制及指标体系建构探析，统计科学与实践，2010年10期：P23P254. /view/af6af8c10cd69.html，2011.5.16。5./Survey/SurveyResult_049.html,2011.5.16。6.邬学军，周凯，宋军全，数学建模辅导教材，浙江杭州：浙江大学出版社，2009.8.幸福指数身心健康A1物质充裕A2生活质量A3社会交际A4自我价值实现A5b11b15b21b25b31b35b41b46b51b54各因素关系图：（b所指代的内容见下页）变量表一变量名显变量隐变量名隐变量b11兴趣爱好 A1身心健康b12身体健康状况b13工作/生活上的压力b14工作学习之外的自由支配时间充足b15在各种新环境中自己有很强的适应能力b21对自己目前的经济收入满意A2物质充裕b22自己的付出与收获相符b23对自己目前的住房条件满意b24对目前的社会保障体系满意 b25对社会、单位提供的机会满意b31休闲娱乐活动丰富A3生活质量b32生活节奏b33社会治安状况b34环境质量b35出行方便度b41身边同事及朋友之间的信任程度让您感到A4社会交际b42在朋友间有很好的人缘b43自己与同事间的关系很融洽b44能够得到他人足够的尊重 b45遇到困难时能够及时得到帮助 b46认为自己与家庭成员间的关系 b51与大多数人相比，自己拥有更多的优势 A5自我价值实现b52对实现自己的目标感到很有信心b53自己的能力已得到了充分的发挥 b54对自己的未来有较好的预期22变量表二：b1为了对付每天的学习任务，我感到力不从心了b2您认为自己承担的工作量（工作压力）怎样b3您给学生上课时的心情通常是b4您在学校参加业余生活和文体活动的情况是b4您觉得自己的劳动和收入同其他行业相比，