五年级奥数春季班第1讲 勾股定理

第一讲 勾股定理模块1、常见勾股数及辅助线例1（1）如图，下列未知边的长度分别是 、 、 。（2）如图，下列图形的面积分别是 、 、 。 解：（1）应用勾股定理：第1个直角三角形中两条直角边分别是3和4，所以斜边长为5；第2个直角三角形中斜边长为13，一条直角边长为5，所以另一条直角边的长为12；第3个直角三角形中，斜边长为25，一条直角边长为24，所以另一条直角边的长为7。（2）第1个直角三角形的斜边长为10，一条直角边长为8，另一条直角边长为6，所以三角形的面积是；第2个直角三角形的斜边长为1.3，一条直角边长为1.2，另一条直角边长为0.5，所以三角形的面积是；第3的图形中，小直角三角形的两条直角边分别为2和1.5，它的面积是S1=1.5，斜边长为2.5，大直角三角形的斜边是6.5，一条直角边长为2.5，所以另一条直角边长为6，面积S2=，于是面积等于S1+S2=9.例2（1）如左图，梯形的周长为 ，面积为 ；如右图，梯形的周长为 ，面积为 ； （2）下图的梯形ABCD的对角线AC和BD相互垂直，已知AD=3，AC=9，BD=12，则BC的长度为 。解：（1）如图，平移得到直角三角形，斜边为20，一条直角边长为12，所以另一条直角边长为16，于是周长=20+10+16+22=68，面积=；第2个图中，做出两条高线，得到两个直角三角形，求得两条直角边长分别为0.5，0.9，于是梯形的下底长为0.5+0.6+0.9=2，梯形的周长=0.6+2+1.3+1.5=5.4，面积=。（2）如图平移AC到DE，连结CE，CE=AD=3，DE=AC=9，在直角三角形BDE中，BD=12，DE=9，所以斜边BE=15，解得BC=BECE=153=12。模块2、勾股定理及其重要模型例3（1）以直角三角形ABC的三边向外做三个正方形，正方形内的数代表正方形的面积，求未知正方形的面积为 。（2）下面的图形是以直角三角形ABC的三边为直径向外做半圆得到，半圆内的数表示所在半圆的面积，求未知半圆的面积为 。解：（1）AB2=3，BC2=14，所以AC2=3+14=17；（2）最小的半圆面积等于r12=7，第二个半圆面积等于r22=15， 所以最大的半圆的面积等于(r12+r22)=7+15=22.例4（1）下图是由两个直角三角形构成，求问号处的边长是 。（2）下图是由一个两条直角边长都是1的直角三角形向外做直角三角形得到的，形成一共一个美丽的螺旋图案，第8个直角三角形的斜边长是 ；如果一直螺旋下去，第 个直角三角形的斜边长是10.解：（1）由勾股定理，下面的直角三角形的两条直角边长分别为1、2，斜边的平方=1+4=5，这样上面的直角三角形的两条直角边的平方分别是5、4，它们的和等于9，所以问号处的边长等于3.（2）最小的直角三角形的斜边长的平方,等于2，第2个直角三角形的斜边的平方等于3，第3个直角三角形的斜边的平方等于4，第8个直角三角形的斜边的平方等于9，斜边长等于3，第n个直角三角形的斜边的平方等于102=100，所以这是第99个直角三角形。例5（1）某直角三角形三条边长都是整数，其中一条直角边长是8，求另外两条边的长度分别为 和 。（2）某直角三角形的一条直角边长为6，周长是15，求它的面积为 。（3）如图，长方形ABCD的长是5，宽是1，现将长方形的右下角折到左上角，三角形ABM的面积是 。解：（1）设斜边长为a，另一条直角边的长为b，所以a2b2=64，得64=(a+b)(ab)，64=26，又a+b、ab都是整数，且a+b与ab同奇同偶，所以可以是，或，解得或。（2）直角三角形的一条直角边长为6，周长是15，设斜边为a，则另一条直角边是9a，得，解得a=6.5，9a=2.5，所以三角形的面积=；（3）设BM=a，MC=5a，AM=MC=5a，在直角三角形ABM中，有勾股定理得AM2=AB2+BM2，得，解得a=2.4，所以三角形ABM的面积=。模块3 有趣的路径问题例6（1）如图是一个铁丝围成的长方体铁架，长、宽、高分别为7厘米、2厘米、3厘米，一只蚂蚁在A点，蚂蚁需要爬到B点处，如果只能沿着长方体的棱爬，最短路径是 厘米。（2）如图是一个长方体木块，长、宽、高分别为9厘米、7厘米、5厘米，一只蜘蛛在A点蜘蛛需要爬到B点，如果只能沿着长方体木块的表面爬，最短路径为 厘米。解：（1）7+3+2=12厘米；（2）有三种路线，分别是7+=10.6；2+=2+9.6；3+=3+10.28；所以最短路径为9.6厘米。随 堂 测 试1下图是一个长方形点阵，相邻两点距离为1厘米，求图中多边形的周长为 厘米。解：如图，连结两条辅助线，把图形分成一个小正方形和两个直角三角形，小正方形的边长为1，小直角三角形的斜边长是5，大直角三角形的斜边长是13，所以图形的周长为5+2+1+13+13=34。2如图是一个直角梯形ABCD，其中AD=4，AB=12，BC=9，求阴影三角形的周长为 。解：过D做DE垂直于BC，交BC于点E，则BE=4，EC=5，DE=AB=12，在直角三角形DEC中，斜边DC=13，在直角三角形ABC中，AB=12，BC=9，所以斜边AC=15，所以三角形ACD的周长是4+13+15=32。3下图是由三个直角三角形组成的，求问号处的边长为 。解：最下面的直角三角形的两条直角边长分别为1和6，所以它的斜边长的平方等于1+36=37，中间的直角三角形的两条直角边的平方分别为16和37，它的斜边的平方等于53，最上面的直角三角形的斜边的平方是53，一条直角边的平方等于4，所以另一条直角边的平方等于534=49，于是这条直角边的长度是7。4三角形ABC中，AD是一条高，分别以AB、BD、DC、CA为边向外做正方形，一些正方形的面积已知，正方形内的数代表正方形的面积，求问号处正方形的面积为 。解：由图知AC的平方等于10，CD的平方等于6，所以AD的平方等于106=4， 问号处的正方形的面积等于BD2，BD2=AB2AD2=274=235如图，一个直角三角形ABC的直角边AB长为5，BC长为12，将直角折到斜边上，即三角形ABD折到三角形AED的位置，求三角形DEC的面积为