成考高等数学(二)重点及解析(详细版)

高等数学（二）重点成考专升本高等数学（二）重点知识及解析（占130分左右）第一章、函数、极限和连续（22分左右）第一节、函数（不单独考，了解即可）一、复合函数：要会判断一个复合函数是由哪几个简单函数复合而成的。例如：是由，和这三个简单函数复合而成.例如：是由，和这三个简单函数复合而成.该部分是后面求导的关键！二、基本初等函数：（1）常值函数： （2）幂函数： （3）指数函数：(0,（4）对数函数：(0,（5）三角函数：，（6）反三角函数：，其中： （正割函数） ， （余割函数） 三、初等函数：由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算，并能用一个解析式表示的函数称为初等函数。他是高等数学的主要研究对象！第二节、无穷小与无穷大（有时选择题会单独考到，也是后面求极限的基础）一、无穷小1、定义：以0为极限的量称无穷小量。注意：（1）一个变量否是无穷小量与他的自变量的变化趋势紧密相关。（2）只有0能能作为无穷小的唯一常量，千万不能将无穷小与很小的常量混为一谈。例1：极限，即当时，变量是无穷小；但是当时，就不是无穷小，因为此时他的极限值不为零。所以表述无穷小时必须指明自变量的变化趋势。例2：例变量在给定的变化过程中为无穷小的是（ ）.A、 B、 C、 D、E、 F、 G、 H、答案：选C、E、F、H ，因为上述选项的极限值均为零！二、无穷大1、定义：当（或）时，无限地增大或无限减小，则称是当（或）的无穷大。注意：（1）无穷大是变量，不能与的常量混为一谈。 （2）无限增大是正无穷大（），无限减小是负无穷大（）。三、无穷小和无穷大的关系：若为无穷大，则为无穷小；若为无穷小（0），则为无穷大例如：当时，为无穷小，则为无穷大。 当时，为无穷大，则为无穷小。第三节、极限的运算方法（重中之重！选择、填空和解答题都会考到） 一、直接代入法：对于一般的极限式（即非未定式），只要将代入到函数表达式中，函数值即是极限值。注意：（1）常数极限等于他本身，与自变量的变化趋势无关.即，为任意常数（2）求极限时首先考虑用代入法，但是该方法只能针对的时候，而时则不能用代入法，因为是变量，并非实数！ 例1： ， ， ， ，例2：=例3：=例4：=二、未定式极限的运算法（重点，每年必考一题！）1、未定式定义：我们把、，等极限式称为未定式，因为它们的极限值是不确定的，可能是无穷小，可能是不为零的常数，也可能是无穷大。注意：确定式是指极限值是确定的一个值，不用通过计算就可以推断出。2、四则运算中常见的几个未定式和确定式（1）， ， ， 为未定式（2）为未定式， 为未定式， ， 为未定式上述和下述的都代表无穷小，即极限值为零的量。3、几个重要未定式的计算方法（1）对于未定式：分子、分母提取公因式，然后消去公因式后，将代入后函数值即是极限值。（对于分子、分母有根号的特殊情况，要先消去根号，然后提取公因式）（2）对于未定式：分子、分母同时除以未知量的最高次幂，然后利用无穷大的倒数是无穷小的这一关系进行计算。（3）对于未定式：先通分将转化成或的形式，然后再用上述或的计算方法进行计算。例1：计算. 未定式，提取公因式解：原式= 例2：计算. 未定式，提取公因式解：原式= = 例3：计算. 未定式，先去根号再提取公因式解：原式=例4：计算. 未定式，分子分母同除以解：原式= 无穷大倒数是无穷小，因此分子是0分母是2例5：计算. 未定式，先求极限再开三次方解：原式=例6：计算. 未定式，先通分，后计算解：原式=注意常用的几个代数转换公式： 三、利用两个重要的极限 （重点掌握公式，一般考选择、填空）1、公式：=1 （把结论记住即可，重点掌握后面的等价无穷小的替换）2、公式：= 或 = （1）适用范围：一般用于“” 未定式的极限式（2）解题方法： 通常用换元法，先将复杂的变量换元成新变量t，再将原极限式中的变量新变量t的进行代换，然后转化为公式的形式，最后进行计算。注意：于换元时引入了新变量，要求出新变量的变化趋势。例1：计算. 未定式，先换元然后用公式求解解：令，得，即 将复杂的变量换元成新变量t当时， 求出新变量的变化趋势所以原式= 转换成新变量的极限式后再用公式求例2：计算. 未定式，先换元然后用公式求解解：令，得，即 先换元当时， 求出新变量的变化趋势所以原式=四、利用等价无穷小的代换求极限（重点、每年必考一题！）1、等价无穷小的定义：设和是同一变化过程中的两个无穷小，即如果=1，称与是等价无穷小，记作.例1：由公式可知极限=1 ，所以当时，与是等价无穷小.例2：当时，函数与是等价无穷小，则= .2、用等价无穷小的代换求极限（1）定理：设、均为无穷小，又，且存在则= 或 注意：利用等价无穷小的代换求极限能起到简化运算的作用，但是等价无穷小的代换只能对分子、分母的乘除因子进行代换，不能对分子、分母的加减式子进行代换。（2）常用的等价无穷小代换（7个）：当时，, , , , , 注意：这7个等价无穷小务必熟记，是我们做一些极限题目的必备“工具”。在使用时要注意这7个等价无穷小的代换前提是的时候，代换时也要根据题意要灵活运用！例1：当时，2，, , ,，例2：极限= 用2等价代换 极限= 用等价代换例3：计算.解：当时， 等价代换所以原式= 计算例4：计算.解：当时， 等价代换所以原式= 计算例5：计算.解：当时， 等价代换所以原式= 先去根号，再计算第四节、函数的连续性（每年考一题，都以选择或填空形式出现）一、函数的连续性（往往考已知函数在某点处连续，求一个未知量常数）1、函数在点处的连续定义：设函数在的某范围内有定义，如果函数满足 ， 则称在点处连续2、 函数在点处连续的充要条件 即函数在既满足左连续又满足右连续（左连续对应左极限，右连续对应右极限） ，例1：设函数= 在处连续，求. （分段函数） ， 解：因为函数在处连续，即满足因为=且=，所以=. ， x0例2：设函数= 在处连续，求. （分段函数） ，解：因为函数在处连续，因为=，=，且=所以. ， x0例3：设函数= 在处连续，求. ，解：因为函数在处连续，因为= ， =且= ， 所以注：以上三题均为分段函数，由于数学编辑器问题，大括号打不出来，请同学们自己填加！ 第二章、一元函数微分学（45分左右）第一节、导数与微分一、导数的概念（知道导数的符号如何表示即可）1、导数的表示符号（1）函数在点处的导数记作：， 或 （2）函数在区间（a,b）内的导数记作：， 或 二、求导公式（重点，是解题的关键，必须记住！）（1） （C为常数） （2）（3） ， （4） ，（5） （6）（7） （8）（9） （10）（11） （12）例：1、= 2、 3、 =4、 5、 6、=三、导数的四则运算（必考题型，选择、填空、解答题均有可能出现）1、运算公式（设U，V是关于X的函数，求解时把已知题目中的函数代入公式中的U和V即可，代入后用导数公式求解.）（1） （2）（3）（为常数） （4） 例1：已知函数，求.解：= 例2：已知函数，求.解：=所以=例3：已知函数，求.解：=所以=四、复合函数的求导法则（必考题型，选择、填空、解答题均有可能出现）1、方 法 一：例如求复合函数的导数.（1）首先判断该复合函数是由哪几个简单函数复合而成的.如由和这两个简单函数复合而成（2）用导数公式求出每个简单函数的导数.即=，=2（3）每个简单函数导数的乘积即为复合函数的导数；注意中间变量要用原变量替代回去.所以=2=22、方 法 二（直接求导法）：如果对导数公式很熟悉，对复合函数的过程十分清楚，可以不必写出中间变量而直接对复合函数从外往里求导.例如=2例1：设函数，求. （用方法一求解）解：该函数是由和复合而成，且= ， =.所以=例2：设函数，求. （用方法二求解）解：=注意：同学们在解题是要结合自己的基础以及对公式的熟练程度选择其中的一种求解方法.五、导数的几何意义（可能会考到选择、填空）1、导数的几何意义：在点处的导数就是曲线在点处切线的斜率，即 = 2、切线方程的求法：用点斜式（即已知点和斜率）去求切线方程设函数，则该函数在点处的切线方程为： 例1：求函数在点处的切线方程.解：因为= 先求导即= 再求切线斜率，即把代入导数中所以切线方程为：，即. 用点斜式求出切线方程六、高阶导数（每年考一题，一般考求二阶或三阶导数）1、定义：如果函数的导数在点处可导，就称的导数为函数的二阶导数，记作：，或我们把二阶和二阶以上的导数称为高阶导数.2、求法：（1）二阶导数就是对一阶导数再求一次导 （2）三阶导数就是对一阶导数求两次导，对二阶导求一次导 （3）同理得四阶、五阶导数的求法例1：已知，求.解：因为=，且=，所以=例2：已知，求.解：=，所以=2=4即=七、微分（每年考一题，考选择、填空或者解答题）1、微分的求法：（1）求出函数的导数.（2）再乘以即可.即. （因为我们习惯用表示）例1：已知，求和.解：因为=所以=，即= （是微分的一个标志，故切勿将代入中）例2：设函数，求.解：因为=所以=第二节、洛必达法则（考的话考解答题，考的可能性为百分之50左右）1、洛必达法则介绍：在一定条件下通过分子、分母分别求导，再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则公式：2、使用洛必达法则应当注意的地方：（1） 只能对或才能使用洛必达法则，如果是未定式一定要先通分化成或才能使用洛必达法则.（2） 在使用洛必达法则时，是对未定式的分子、分母分别同时求导，再求极限.（3） 在应用一次洛必达法则后，仍然是0/0或/，则可继续使用洛必达法则，如此继续下去直到求出极限为止。在重复使用洛必达法则时，必须一步一检查，一旦发现不是未定式，就要停止使用.（4） 洛必达法则是求未定式的重要方法之一，使用时最好与等价无穷小代换等求极限的方法一起使用，这样才能较快、简便地求极限.例1：求 未定式，因不能提取公因式，故用洛必达法则 解：原式= 为了简化计算，先将用作等价替换= 用洛必达法则，分子、分母同时求导= 上式还是未定式，故继续使用洛必达法则= 上式不是未定式，故将x=0代入函数中例2：求. 未定式，故用洛必达法则解：原式= 分子、分母同时求导第三节、导数的应用 （非常重要，每年必考，选择、填空和解答都会考到）一、函数的单调性及单调区间的求法1、 定理：设函数在区间内可导（1） 如果在内，恒有0，则在内单调递增.（2） 如果在内，恒有0，则在内单调递减.2、 单调区间的求法（重点）：（1） 求出的导数.（2） 令=0，求出函数的驻点.（3） 可以通过数轴，判断出上述驻点将函数的定义域划分成了几个部分区间.（4） 判断在每个部分区间的符号，如果0，则该区间为单调递增区间，如果0，则该区间为单调递减区间.例1：求函数的单调区间.解：=， 令，得驻点和因为函数的定义域为，故驻点，将定义域划分成，和三个区间.当x0时，0，所以在区间上单调递增.当0x2时，0，所以在区间上单调递减.当x2时，0，所以在区间上单调递增.例2：求函数的单调区间.解：=，令，得驻点 因为函数的定义域为，故驻点将定义域划分成和两个部分区间. 当-1x0时，0，所以在区间上单调递减.当x0时，0，所以在区间上单调递增.注意：因为对数函数的定义域大于零，所以题目中的对数函数的定义域为x+10，即x-1.二、函数的极值及其求法1、 极值的定义：极大值点对应的函数值是极大值，极小值点对应的函数值是极小值.2、驻点的定义：我们把满足的点称为函数的驻点.3、极值的必要条件：对于可导函数而言，极值点一定是驻点，但是驻点未必是极值点4、极值的第一充分条件（必须掌握）：若是可导函数的驻点，则有以下三种情况：（1） 若时，0；时，0，则为的极大值，为极大值点（2） 若时，0；时，0，则为的极小值，为极小值点（3） 若和时，不变号，那么不是极值，不是极值点5、求极值的步骤（重点）（1）求出的导数（2）令=，求出的驻点，记为（）（3）再用第一充分条件去判断，若在的左右两侧互为异号的，则是极值点，（左正右负是极大值点，左负右正是极小值点，可根据实际题意作图判断）；若在的左右两侧互为同号的，则不是极值点。（4）将极值点代入函数表达式中，极大值点对应的是极大值，极小值点对应的是极小值。例1：求函数的极值.解：=， 令，得驻点和因为函数的定义域为，故驻点，将定义域划分成，和三个部分区间.当x0时，0，当0x2时，0，故是极大值点.当x2时，0， 故是极小值点.所以函数的极大值为，极小值为.例2：求函数的极值.解：=，令，得驻点因此将函数定义域划分成和两个部分区间.当时，当时，故是极大值点.所以函数的极大值为.三、曲线的的凹凸性及拐点1、 定理：设在内二阶可导（1） 如果在内的每一点，恒有0，则曲线在内是凹（下凸）的.（2） 如果在内的每一点，恒有0，则曲线在内是凸（上凸）的.2、 拐点的定义：把曲线凹与凸的分界点称为曲线的拐点.3、 曲线凹凸区间和拐点的求法（重点，出现在解答题的概率较大）（1） 求出函数的二阶导数（2） 求出=0的点，记为（）（3） 检验在上述每个点两侧的符号，若在的两侧，互为异号，则为曲线的拐点；若在的两侧，互为同号，则不是曲线的拐点.（4） 使0的的取值范围，为的凹区间；使0的的取值范围，为凸区间.例1：求函数的凹凸区间和拐点.解：，则=，令=0，得当x1时，0，所以是函数的凸区间.当x1时，0，所以是函数的凹区间.所以拐点坐标为.例2：求函数的凹凸区间和拐点.解：=则=.令=0，得因此将函数定义域分成两个区间：和.当0x时，0，故是函数的凸区间.当x时，0，故是函数的凹区间.所以拐点坐标为.注意：对数函数的定义域大于零，切记！例3：曲线以为拐点，求、.解：由题意得，=因为该曲线以为拐点，得方程组（1）（2）由（1）、（2）方程解得和.注意：拐点不仅是函数坐标上的点，也一定是函数二阶导数等于零的点！第三章、一元函数的积分学 （48分左右）第一节、不定积分一、原函数（一般考一题选择或填空）1、 原函数的定义：设是区间I上的一个可导函数，对于区间I上的任意一点， 都有 ， 或则称是在区间I上的一个原函数.例1：，因此是的一个原函数.而是的导数.由于，其中C为任意常数，可见只要函数有一个原函数，那么他的原函数就有无穷多个.例2：设的一个原函数为，求.解：因为是的一个原函数，即=，所以=.得=例3：函数=的一个原函数是（ C ）.A、 B、 C、 D、解：可以用逐项排除法，只有=，故选C.二、不定积分1、定义：我们把带有任意常数项的原函数（或称原函数的全体）称为在区间I上的不定积分，记作：其中：为积分号，为被积函数，为被积表达式，为积分变量，为的一个原函数，C为任意常数. 注意：不定积分是原函数的的全体，因此计算结果常数C勿忘！2、不定积分的性质12 （为常数）3、基本积分公式（一定要熟记，可以结合求导公式去记忆）1 2 （k为常数）3 4 5 6 7 8 9 1011 12例1： 例2： （前后变量都是，故计算此类积分将看成一个整体变量，套用公式3进行计算！） 又如： 例3：设，求.解：因为的原函数为，即所以=.三、不定积分的计算方法（重中之重，选择、填空，计算都会考到）1、直接积分法：对被积函数进行恒等变形，并用积分性质和积分公式进行积分的方法.通常用到的变形有（1）将有带有根号的函数去根号从而转换为幂函数的形式. 然后利用积分公式进行积分.例如：+C （2）被积函数为假分式时，可以通过把分子拆成2项或者分子加、减某一项后，使被积函数化成2个分式之和. 然后利用积分公式进行积分.例如： （分子+11）=（3）此外还会经常用到对数函数和指数函数的运算法则.例如：= 例1：=例2：=2、第一类换元法（又称凑微分法） （重点掌握，每年都会考到）（1）适用范围：如果被积函数是两个函数相乘、相除或者被积函数中含有复合函数的情况，此时可以考虑用第一类换元法.（2）第一类换元解法步骤1将被积函数中的复合函数的复合部分换元成简单函数.2对换元后的简单函数求微分.3由于引入了新变量，此时要将对原变量的积分形式转换成对新变量的积分形式. 4用直接积分法求出新变量的积分.5最后的计算结果中的新变量用原变量替代回去.方法又称为变量代换法.例1：求不定积分 解：令 （第一步，换元） 得 （第二步，求微分） 原式= （第三步，转换） = = （第四步，求积分）= （第五步，反换元） 例2：求不定积分解：令，得，即原式=注意：如果能熟练掌握变量代换法，且对积分公式铭记于心，此时就可以不必写出中间变量而直接用凑微分法进行积分。凑微分时要注意凑完微分后前后变量要统一！同学们结合自己的实际情况在解题时选择变量代换法或凑微分法。例3： = = （将凑成，此时前后变量均为）例4：= = （将凑成）例5：=（将凑成）3、第二类换元法（了解下即可，考的不多）（1）适用范围：如果被积函数中带有根号，直接积分法和第一类换元法又不能适用，此时考虑用第二类换元法。第二类换元法的目的就是去掉被积函数中带有根号的式子。（2）第二类换元法解法步骤1令被积函数中带有根式的式子换元成简单函数.2由于引入了新变量，再将对原变量的积分转换成对新变量的积分.3用直接积分法或第一类换元法求出对新变量的积分.4最后将计算结果中的新变量用原变量替代回去例1：求不定积分解：令，得， （第一步，换元去根号） 则原式= （第二步，转化）= （第三步，求积分）= （第四步，反换元）4、分部积分法 （重点掌握，很重要）（1）适用范围：当两个可导函数相乘时，如果第一类换元不能用，则考虑用分部积分法. 公式： （2）选取U的常用方法 1、当被积函数是幂函数与指数函数或幂函数与三角函数相乘时，通常选幂函数为.2、当被积函数是幂函数与对数函数或幂函数与反三角函数相乘时，通常选对数函数和反三角函数为.（3）分部积分法解法步骤1根据上面的选取方法，找出是的那个函数2然后求出3套用公式进行积分. 注意是写在被积函数的位置上（即的左边），是写在微分符号的位置上（即的右边），例1：求不定积分 （被积函数是幂函数与指数函数相乘，故选幂函数为）解：令=，则，即=原式=例2：求不定积分 （对照公式和的选取方法，可很容易发现=，=）解：原式= （因为） = （对积分，选为，为） = =+=例3：求不定积分 （被积函数是幂函数与三角函数相乘，故选幂函数为）解：令，则，即原式=第二节、定积分一、定积分的概念 （每年至少考一题选择或填空）1、定积分的定义：由曲边梯形的面积引出定义公式 A= （A为曲边梯形的面积）其中为被积函数，为被积表达式，为积分变量，为积分区间，为积分下限，为积分上限.2、定积分的几何意义：它是由轴、曲线、直线=和=所围成的曲边梯形的面积的代数和.在轴上方的面积取正，在轴下方的面积取负.3、定积分所要注意的三个事项（1）因为定积分是曲边梯形的面积，因此定积分的值一定是一个常数，且值仅与被积函数和积分区间有关，与积分变量的字母无关，即=.并且对定积分求导，导数值必为零。例如： ， ， （2）当a=b时，=0因为定积分上限ba，当ba时，=例如： ， ( 3 ) 由定积分的几何意义可得出下列重要结论： 当在上连续，当为奇函数时，=0 当在上连续，当为偶函数时，= 例如：=0 注意：三角函数中、为奇函数，为偶函数，所以可判断出上题中的，均为奇函数，由于积分区间对称，故积分值必为零。4、定积分的性质（了解即可）123= ，45若在区间上总有，则二、定积分的计算（重中之重，每年至少考两至三题）1、变上限积分的计算（1）定义：积分上限为变量时的定积分称为变上限积分，变上限积分是上限的函数， 记作（2）变上限积分的导数（是每年选择、填空的必考题）、 、 、例1：设，求.解：因为，所以=例2：=2、牛顿莱布尼茨公式（重点）（1）公式：如果是连续函数在上的一个原函数，则有 =（2）由公式可知：连续函数在上定积分，就是的一个原函数在上的增量（上限值减下限值）。而连续函数的不定积分，就是的全体原函数（原函数后面加常数C）。可见定积分和不定积分的计算都是围绕求原函数进行的。例1： 求定积分解：因为是的一个原函数.则原式= ，例2：设分段函数= 求. ，解：=+=+=+=注意：求分段函数的定积分，需根据积分区间进行分段积分。分段函数有几段积分就分几段.例3：求定积分 （将凑成，再将看成整体变量）解：原式=例4：求定积分 （将凑成，再将看成整体变量）解：原式=注意：如果用凑微分法解定积分时，如果在解题过程中没有引入新的变量，故积分变量没有发生改变，所以积分限也保持不变！3、定积分的换元法（1）计算方法：和上节的不定积分的第二类换元法完全类似，目的也是为了消去被积函数中带有根号的部分。步骤是先换元去根号（同时也要换积分限），然后求出原函数，不同的是求出原函数后，最后要求出它在积分限的差值（上限值减下限值）。（2）注意：、因为在用第二类换元法时，去根号时引入了新的变量，故换元后积分限也要发生变化。新的积分下限对应的是原下限，新的积分上限对应的是原上限， 、定积分第二类换元法省略了不定积分后的反换元过程，就是说原函数求完后，不必用原变量替代回去，只要将积分上限和积分下限代入原函数中，相减即可.例1：求定积分解：令，得，且当时，当时，所以原式=4、定积分的分部积分法（1）计算公式：（2）注意：的选取方法以及计算方法与不定积分的分部积分法一样，只是在求出原函数后要按上面的公式把上、下限代进去进行计算.例1：求定积分 （被积函数是幂函数与三角函数相乘，故选幂函数为）解：令=，则，得原式= =+=0+=1 （代上、下限，按公式计算）例2：求定积分 （被积函数是幂函数与对数函数相乘，故选对数函数为）解：令=，则，得原式=例3：求定积分 （被积函数是幂函数与指数函数相乘，故选幂函数为）解：令=，则，得原式=第三节、定积分的应用（每年考一题计算题，是拉开分数的一个知识点！）定积分的应用需掌握两种：平面图形的面积和旋转体的体积一、求面积和体积的前提是要会画函数图形，以下几个函数是考试中最常见的，要求同学们都能把他们的图形画出来，具体图形见课堂笔记或书本。1、常值函数（其中当时就是轴）， （其中当时就是轴）2、正比例函数和一次函数（其中和是常数）3、反比例函数（有时写成）4、幂函数（开口向上，开口向下）和 5、抛物线6、指数函数 （分和两种情况讨论）7、对数函数 （分和两种情况讨论）二、求平面图形的面积：如果某曲边图形是由两条连续曲线，及两条直线，所围成的（其中是上面的曲线，是下面的曲线，且）图略，其面积的计算步骤为：1、 画出上述曲线和直线的图形，通过题意找出所要求的曲边图形，并求出其相关交点。2、 在所围成的曲边图形中任取一个小的曲边图形（设在处取得，且底边近似为零），将小的曲边图形近似看成小的矩形，因此可求出小矩形的高为，并设其底边长为 从而求出面积元素： 3、 对面积元素取定积分，积分区间通常为积分变量（或）的变化范围即例1：求由直线与抛物线所围成的平面图形的面积.解：联立方程得交点A ，O，如图所示（图略）故面积元素对面积元素取定积分，得=例2：求曲线与直线所围成的平面图形的面积.解：联立方程得交点A ，B，如图所示（图略）故面积元素对面积元素取定积分，得=例3：求由直线，及曲线所围成的平面图形的面积.解：联立方程得交点A ，B，C ，如图所示（图略）故面积元素对面积元素取定积分，得= 用分部积分法求 =二、求旋转体的体积设某立体由连续曲线、0和直线， 及轴所围成的平面图形绕轴旋转一周所形成的旋转体，图略，其体积的计算步骤为1、画出上述曲线和直线的图形，通过题意找出所要求的旋转体的图形，并求出其相关交点。 2、在上任取一个小的曲边图形（设在处取得），由于小的曲边图形近似可以看成小的矩形，因此他绕轴旋转一周而形成的立体近似地可以看成小矩形绕轴旋转一周而形成的立体，即可以看成是小的圆柱体，由于小圆柱体的底边半径长为，设他的高为.从而求出体积元素：=3、对体积元素取定积分，积分区间通常为积分变量（或）的取值范围即例1：求由，及所围成的平面图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积.解：联立方程得交点O ，A，B，C，如图所示（图略）故体积元素对体积元素取定积分，得= =例2：求由曲线，与所围成的平面图形绕Y轴旋转一周所得的旋转体的体积.解：联立方程得交点O ，A，B，如图所示（图略）故体积元素对体积元素取定积分，得=注意：因为此题平面图形是绕Y轴旋转，故选择作为积分变量。 第四章、多元函数的微分学 （23分左右）一、多元函数的定义域 （有时候考一道填空题）1、多元函数的定义：由两个或两个以上的自变量所构成的函数，称为多元函数。其自变量的变化范围称为定义域，通常记作。例如：二元函数通常记作：， （二元函数的定义域是个平面区域） 三元函数通常记作：，2、二元函数的定义域的求法（要用集合的形式表示）（1）、分式的分母不为零.（2）、偶次根式里的式子大于等于零.（3）、对数函数的真数大于零.（4）、反正弦函数与反正余弦函数的定义域为.例1：函数的定义域为.例2：函数的定义域为.例3：函数的定义域为.注意：本章考试内容只要掌握二元函数的相关计算即可！二、二元函数的偏导数（每年考一题选择或填空）1、偏导数的表示方法：（1）设二元函数，则函数在区域D内对和对的偏导数记为：， ； ，（2）设二元函数，则函数在点处对和对的偏导数记为：，；，； 2、 偏导数的求法（1）对求偏导时，只要将看成是常量，将看成是变量，直接对求导即可.（2）对求偏导时，只要将看成是常量，将看成是变量，直接对求导即可.如果要求函数在点处的偏导数，只要求出上述偏导函数后将和代入即可.例1：已知函数，求和.解：=，=例2：已知函数，求和.解：=，=例3：设函数，求和解：=，=即=，=例4：设函数，求.解：= 由导数公式得到三、全微分（每年通常考一题选择或填空，偶尔考大题目）1、全微分公式：函数在点处全微分公式为：2、全微分求法：（1）、先求出两个一阶偏导数和. （2）、然后代入上述公式即可.例1：设函数，求.解：=，= 例2：设函数，求全微分.解：=，= 所以 例3：求函数在点处的全微分.解：=，= 即， 所以=注意：求时，先求，然后将代入式中的和即可.四、二阶偏导（每年考一题选择或填空）1、二阶偏导的定义：设二元函数的偏导数为和，如果和关于的偏导数也存在，则称它们为的二阶偏导数.2、二阶偏导的表示方法和求法为：（1）= 两次都对求偏导（2）= 先对求偏导，再对求偏导（3）= 先对求偏导，再对求偏导（4）= 两次都对求偏导可见二元函数的二阶偏导共四种，它们都是的函数。在求二阶偏导的时候一定要注意对变量的求导次序（写在符号前面的变量先求偏导）.例1：设函数，求，和.解：=， =得=，=，=，=例2：设函数，求，.解：=得=，=例3：设函数，求和解：=得=且=12注意：一阶偏导和二阶偏导的四种表示方法都要求掌握！五、隐函数的导数与偏导数（非常重要，大题目可能会出现）1、一元隐函数的导数求法：对于方程所确定的（一元）隐函数，它的导数求法为：等式的左右两边同时对求导（注意此时是自变量，是因变量），然后从中解出（）即可.2、二元隐函数的偏导数求法：对于方程所确定的（二元）隐函数，它的偏导数求法为：等式左右两边同时对或对求偏导（对求偏导时，视为常量，对求偏导时，视为常量，永远视为因变量，即是函数），然后从中解出或即可.注意：以上方法称为直接求（偏）导法，对于第二种方法公式法（书本P136），同学们有兴趣的话可以自行掌握.例1：设函数是由方程所确定，求.解：等式两边同时对求导，得 注意是的函数解得=例2：设函数是由方程所确定，求和.解：等式两边同时对求导，得解得，即 微分的求法千万别忘记例3：设是由方程所确定，求和.解：等式两边同时对求偏导，得 注意是和的函数解得=等式两边同时对求偏导，得解得=例4：设是由方程所确定，求全微分.解：等式两边同时对求偏导，得解得=等式两边同时对求偏导，得解得=所以= 全微分公式必须牢记例5：设是由方程所确定，求.解：等式两边同时对求偏导，得解得=附表：几个特殊角的三角函数值（务必记住） 角 度 三 角 -不存在不存在不存在不存在不存在不存在第五章、概率论初步（12分）一、两个基本原理（了解，不单独考，该知识点后面会涉及到）1、加法原理：如果完成一件事与分类有关，每一类是各自独立、无关系的。即只要完成其中一类，整件事即可完成，这种情况下要用加法原理。2、乘法原理：如果完成一件事与步骤有关，每一步骤是相互关联、紧密联系的。即要把每一步骤都完成了，整件事才能完成，这种情况下要用乘法原理。例1：一个人要成5本不同的科技书，7本不同的文艺书中任取一本，那么不同的选法有几种？解：只要从科技书或文艺书中任取一本整件事即可完成，因此是分类计算，要用加法原理故不同的取法为例2：有5本不同的科技书，7本不同的文艺书，如果选取科技书和文艺书各一本，那么不同的选法有几种？解：要从科技书和文艺书中分别取一本整件事才能完成，因此是分步骤计算，要用乘法原理故不同的取法为二、排列、组合（了解，不单独考，该知识点后面会涉及到）1、排列（1）定义：如果从个不同的元素中取出（）个元素按照一定的顺序排成一列，此时计算要用排列，排列总数记作.（2）计算公式：、=、=（阶乘）= （此时称为全排列）例1：计算排列数、和.解：= =6 =例2：6人排成一列，甲、乙二人必须排在头尾，求有几种不同的排法.解：因为有顺序要求，故用排列计算。甲、乙两人必须排在头尾，共有种排法，其4人排在中间，共有种排法.所以共有=种排法. （分步骤，故用乘法原理）2、组合（1）定义：如果从个不同的元素中取出（）个元素组成一组（无顺序要求），此时计算要用组合，排列总数记作.可见排列与次序有关，组合与次序无关.（2）计算公式：、 可知、 （此公式用于较大的时候，可简化计算，例如）例1：计算组合数、和.解：= =1 =例2：从4本不同的书中任意选出2本，求有几种不同的选法？解：因为选出来的2本书无顺序要求，故用组合即不同的选法为例3：乒乓球10名队员中有3名主力，派5名比赛，3名主力安排在一、三、五位置，其余7名中选2名安排在二、四位置，则不同的出场安排有几种？解：3名主力安排在一、三、五位置共有种排法 7名非主力选2名安排在二、四位置共有种排法所以不同的出场安排共有=种三、随机事件及其关系（了解即可）1、事件的分类：社会实践中的许多事件可分成三类（1）必然事件：每次实验一定会发生的事件，记作. 例如：掷骰子，点数大于0是必然事件.（2）不可能事件：每次实验一定不会发生的事件，记作. 例如：掷骰子，点数大于6、水加热到80度就沸腾等都是不可能事件（3）随机事件：实验中可能发生也可能不发生的事件，通常用大写字母A、B、C或、表示. 例如：投硬币、掷骰子所可能出现的结果都是随机事件，事先是无法预料的。我们把对随机事件进行观察、研究的实验称为随机试验。2、随机事件的关系（重点掌握以下几个）（1）事件的并（或和）两个事件A与B至少有一个发生，即A或B，称为事件A与B的并（或和）。他是由属于A或B的所有样本点构成的集合，记作AB或A+B。例如：假设考试合格必须满足理论和实验都合格。设事件A=“考试不合格”，B=“理论不合格”，C=“实验不合格”，则有A=BC，即理论和实验中只要有一个不合格，考试就不合格。（2）事件的交（或积）两个事件A与B同时发生，即A且B，称为事件A与B的交（或积）。他是由属于A且属于B的所有公共样本点构成的集合，记作AB或AB。例如：上述题意中，设事件A=“考试合格”，B=“理论合格”，C=“实验合格”，则有A=BC，即必须同时满足理论合格和实验合格，考试才能合格。（3）互不相容事件（或称互斥事件）如果事件A与B不能同时发生，即=，则称事件A与B互不相容（或称互斥）。例如：投硬币“正面向上”事件与“反面向上”事件是互不相容事件。 掷骰子出现“点数2”事件与“点数3”事件是互不相容事件。（4）对立事件如果事件A与B不能同时发生，但是又必定有一个发生。即满足=，则称事件A与B对立，记作或。例如：投硬币“正面向上”事件与“反面向上”事件是对立事件。 而掷骰子出现“点数2”事件与“点数3”事件不是对立事件。从而可知互不相容事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互不相容事件。四、事件的概率（重点，经常考选择或解答题）1、概率的定义：在相同的条件下，重复进行大量的试验，如果事件A发生的频率稳定地在某一常数p附近摆动，或者通俗地说，事件A在试验中发生可能性的大小为p，则称常数p为事件A的概率。记作。例如：通过大量的投硬币实验发现，事件A=“正面向上”的概率为0.5。即2、古典概型（重点）由于通过大量的重复试验求随机事件的概率是非常困难的，但是对于某些随机事件（如古典概型），无需进行重复试验，只需对试验中可能出现的结果进行分析，用公式计算即可。（1）定义：所谓古典概型必须具备如下两个特点有限性：即每次试验只有有限个可能的结果。等可能性：即每次试验中，每个结果出现的可能性大小是一样的。（2）计算公式：对于给定的古典概型，事件A发生的概率=为事件A包含的基本事件数，为试验的基本事件总数。3、概率的基本性质及加法公式（重点）性质1：对于任一事件A，有，特别地，性质2（加法公式）：对任意两个事件A、B，有推论1：若上述A、B为互不相容事件，则 （因为此时=0）推论2：若上述A、B为对立事件，