第1章+时域离散信号和.ppt

第1章时域离散信号和时域离散系统,本章重点和难点,模拟信号、时域离散信号与数字信号三者的差别，时域离散信号常用典型序列；周期性序列周期的确定；时域离散系统的线性、时不变性质及系统的因果性和稳定性；线性时不变系统的输出和输入之间的关系；用串、并联分系统的单位脉冲响应表示该系统总的单位脉冲响应；由差分方程求解系统的单位脉冲响应；,第1章时域离散信号和时域离散系统,1.1引言1.2时域离散信号1.3时域离散系统1.4时域离散系统的输入输出描述法线性常系数差分方程1.5模拟信号数字处理方法,1.1引言,信号通常是一个自变量或几个自变量的函数。如果仅有一个自变量，则称为一维信号；如果有两个以上的自变量，则称为多维信号。在此仅研究一维数字信号处理的理论与技术。关于信号的自变量，有多种形式，可以是时间、距离、温度、电压等，这里一般地把信号看作时间的函数。针对信号的自变量和函数值的取值情况，信号可分为以下三种。,如果信号的自变量和函数值都取连续值，则称这种信号为模拟信号或者称为时域连续信号，例如语言信号、温度信号等；如果自变量取离散值，而函数值取连续值，则称这种信号称为时域离散信号，这种信号通常来源于对模拟信号的采样;如果信号的自变量和函数值均取离散值，则称为数字信号。我们知道，计算机或者专用数字信号处理芯片的位数是有限的，用它们分析与处理信号，信号的函数值必须用有限位的二进制编码表示，这样信号本身的取值不再是连续的，而是离散值。这种用有限位二进制编码表示的时域离散信号就是数字信号，因此，数字信号是幅度量化了的时域离散信号。,例如：，这是一个模拟信号，如果对它按照时间采样间隔T=0.005s进行等间隔采样，便得到时域离散信号x(n)，即=，0.0，0.6364，0.9，0.6364，0.0，-0.6364，0.9，-0.6364，显然,时域离散信号是时间离散化的模拟信号。,如果用四位二进制数表示该时域离散信号，便得到相应的数字信号xn，即xn=，0.000，0.101，0.111，0.101，0.000，1.101，1.111，1.101，显然，数字信号是幅度、时间均离散化的模拟信号，或者说是幅度离散化的时域离散信号。信号有模拟信号、时域离散信号和数字信号之分，按照系统的输入输出信号的类型，系统也分为模拟系统、时域离散系统和数字系统。当然，也存在模拟网络和数字网络构成的混合系统。,数字信号处理最终要处理的是数字信号，但为简单，在理论研究中一般研究时域离散信号和系统。时域离散信号和数字信号之间的差别，仅在于数字信号存在量化误差，本书将在第9章中专门分析实现中的量化误差问题。本章作为全书的基础，主要学习时域离散信号的表示方法和典型信号、时域离散线性时不变系统的时域分析方法，最后介绍模拟信号数字处理方法。,1.2时域离散信号实际中遇到的信号一般是模拟信号，对它进行等间隔采样便可以得到时域离散信号。假设模拟信号为xa(t)，以采样间隔T对它进行等间隔采样，得到：,（1.2.1）,这里,x(n)称为时域离散信号，式中的n取整数，将代入上式,得到：显然,x(n)是一个有序的数字，因此时域离散信号也可以称为序列。注意这里n取整数，非整数时无定义。时域离散信号有三种表示方法：,1）用集合符号表示序列数的集合用集合符号表示。时域离散信号是一个有序的数的集合，可表示成集合:x(n)=xn;n=,2,1,0,1,2,例如，一个有限长序列可表示为x(n)=1,2,3,4,3,2,1;n=0,1,2,3,4,5,6也可简单地表示为x(n)1,2,3,4,3,2,1集合中有下划线的元素表示n=0时刻的采样值。,信号随n的变化规律可以用公式表示，也可以用图形表示。如果x(n)是通过观测得到的一组离散数据，则其可以用集合符号表示，例如：x(n)=1.3,2.5,3.3,1.9,0,4.1,2）用公式表示序列例如：x(n)=a|n|0a1,n0时,称为x(n)的延时序列；当n00,序列右移；n0，序列左移。如n=1，得到h(1-m)，如图1.3.2（d）所示。接着将h(m)和h(nm)相乘后，再相加,得到y(n)的一个值。对所有的n重复这种计算,最后得到卷积结果，如图1.3.2(f)所示,y(n)表达式为y(n)=1,2,3,4,3,2,1其实这种图解法可以用列表法代替，上面的图解过程如表1.3.1所示。,图1.3.2例1.3.4线性卷积,表1.3.1图解法（列表法）,2)解析法如果已知两个卷积信号的解析表达式，则可以直接按照卷积式进行计算，下面举例说明。,例1.3.4设x(n)=R4(n)，h(n)=R4(n)，求y(n)=x(n)*h(n)。解按照(1.3.7)式，上式中矩形序列长度为4，求解上式主要是根据矩形序列的非零值区间确定求和的上、下限，R4(m)的非零值区间为：0m3，R4(n-m)的非零值区间为：0n-m3，其乘积值的非零区间，要求m同时满足下面两个不等式：,0m3n-3mn因此，,当,当,卷积过程以及y(n)波形如图1.3.2所示，y(n)用公式表示为n+10n3y(n)=7-n4n60其它,【例1.3.5】设x(n)=an(n)，h(n)=R4(n)，求y(n)=x(n)*h(n)。解,要计算上式，关键是根据求和号内的两个信号乘积的非零值区间确定求和的上、下限。因为nm时，u(n-m)才能取非零值；0m3时，R4(m)取非零值,所以，求和区间中m要同时满足下面两式：mn0m3这样求和限与n有关系，必须将n进行分段然后计算。,n0时，y(n)=00n3时，乘积的非零值范围为0mn，因此,n4时，乘积的非零区间为0m3，因此,写成统一表达式为,3）用MATLAB计算两个有限长序列的卷积MATLAB信号处理工具箱提供了conv函数，该函数用于计算两个有限长序列的卷积（或计算两个多项式相乘）。C=conv(A,B)计算两个有限长序列向量A和B的卷积。如果向量A和B的长度分别为N和M，则卷积结果向量C的长度为NM1。如果向量A和B为两个多项式的系数，则C就是这两个多项式乘积的系数。应当注意，conv函数默认A和B表示的两个序列都是从0开始，所以不需要位置向量。,当然,默认卷积结果序列C也是从0开始，即卷积结果也不提供特殊的位置信息。例1.3.4中的两个序列满足上述条件，直接调用conv函数求解例1.3.4的卷积计算程序ep134.m如下：%ep134.m：例1.3.4的卷积计算程序xn=1111;hn=1111;yn=conv(xn,hn);运行结果：yn=1,2,3,4,3,2,1,显然，当两个序列不是从0开始时，必须对conv函数稍加扩展。设两个位置向量已知的序列：x(n)；nx=nxs:nxf，h(n)；nh=nhs:nhf，要求计算卷积：y(n)=h(n)*x(n)以及y(n)的位置向量ny。下面编写计算这种卷积的通用卷积函数convu。,根据卷积原理知道，y(n)的起始点和终止点分别为：nys=nhs+nxs，nyf=nhf+nxf。调用conv函数写出通用卷积函数convu如下：functiony,ny=convu(h,nh,x,nx)%convu通用卷积函数，y为卷积结果序列向量，%ny是y的位置向量,h和x是有限长序列，%nh和nx分别是h和x的位置向量nys=nh(1)+nx(1);nyf=nh(end)+nx(end);%end表示最后一个元素的下标y=conv(h,x);ny=nys:nyf;,如果h(n)=x(n)=R5(N+2)，则调用convu函数计算y(n)=h(n)*x(n)的程序如下：h=ones(1,5);nh=2:2;x=h;nx=nh;y,ny=convu(h,nh,x,nx)运行结果：y=123454321ny=432101234,线性卷积服从交换律、结合律和分配律。它们分别用公式表示如下：,（1.3.9）,（1.3.8）,（1.3.10）,以上三个性质请自己证明。（1.3.8）式表示卷积服从交换律。（1.3.9）和（1.3.10）式分别表示卷积的结合律和分配律。设h1(n)和h2(n)分别是两个系统的单位脉冲响应，x(n)表示输入序列。按照（1.3.9）式的右端，信号通过h1(n)系统后再通过h2(n)系统，等效于按照（1.3.9）式左端，信号通过一个系统，该系统的单位脉冲响应为h1(n)*h2(n)，如图1.3.3(a)、(b)所示。,（1.3.9）,该式还表明两系统级联，其等效系统的单位脉冲响应等于两系统分别的单位脉冲响应的卷积。按照（1.3.10）式，信号同时通过两个系统后相加，等效于信号通过一个系统，该系统的单位脉冲响应等于两个系统分别的单位脉冲响应之和，如图1.3.3(c)、(d)所示。换句话说，系统并联的等效系统的单位脉冲响应等于两个系统分别的单位脉冲响应之和。,（1.3.10）,图1.3.3卷积的结合律和分配律,需要再次说明的是，关于系统级联、并联的等效系统的单位脉冲响应与原来两系统分别的单位脉冲响应的关系，是基于线性卷积的性质，而线性卷积是基于线性时不变系统满足线性叠加原理。因此,对于非线性或者非时不变系统，这些结论是不成立的。,再考察（1.3.11）式，它也是一个线性卷积式，它表示序列x(n)与单位脉冲序列的线性卷积等于序列本身x(n)，,（1.3.11）,如果序列与一个移位的单位脉冲序列(nn0)进行线性卷积，就相当于将序列本身移位n0(n0是整常数)，如下式表示：,上式中求和项只有当m=nn0时才有非零值，因此得到：,（1.3.12）,图1.3.4例1.3.5框图,解先求第一级的输出m(n)，再求y(n)。,1.3.4系统的因果性和稳定性如果系统n时刻的输出只取决于n时刻以及n时刻以前的输入序列，而和n时刻以后的输入序列无关，则称该系统具有因果性质，或称该系统为因果系统。如果n时刻的输出还取决于n时刻以后的输入序列，在时间上违背了因果性，系统无法实现，则系统被称为非因果系统。因此系统的因果性是指系统的可实现性。,线性时不变系统具有因果性的充分必要条件是系统的单位脉冲响应满足下式：,（1.3.13）,满足（1.3.13）式的序列称为因果序列，因此因果系统的单位脉冲响应必然是因果序列。因果系统条件（1.3.13）式从概念上也容易理解，因为单位脉冲响应是输入为(n)的零状态响应，在n=0时刻以前即n0时，没有加入信号，输出只能等于零，因此得到因果性条件（1.3.13）式。,所谓稳定系统，是指对有界输入，系统输出也是有界的。系统稳定的充分必要条件是系统的单位脉冲响应绝对可和，用公式表示为,（1.3.14）,证明先证明充分性。,因为输入序列x(n)有界，即,因此,如果系统的单位脉冲响应满足（1.3.14）式，那么输出y(n)一定也是有界的，即,下面用反证法证明其必要性。如果h(n)不满足(1.3.14)式，即,那么总可以找到一个或若干个有界的输入来引起无界的输出，例如：,令n=0,有,上式说明n=0时刻的输出为无界，系统不稳定，证明了（1.3.14）式条件的必要性。,【例1.3.7】设线性时不变系统的单位系统脉冲响应h(n)=anu(n)，式中a是实常数，试分析该系统的因果稳定性。解由于n0时，h(n)=0，因此系统是因果系统。,只有当|a|1时,才有,因此系统稳定的条件是|a|1；否则，|a|1时，系统不稳定。系统稳定时，h(n)的模值随n加大而减小，此时序列h(n)称为收敛序列。如果系统不稳定，h(n)的模值随n加大而增大，则称为发散序列。,【例1.3.8】设系统的单位脉冲响应h(n)=u(n)，求对于任意输入序列x(n)的输出y(n)，并检验系统的因果性和稳定性。解,因为当nk0的方向递推，是一个因果解。但对于差分方程，其本身也可以向n0的方向递推，得到的是非因果解。因此差分方程本身并不能确定该系统是因果还是非因果系统，还需要用初始条件进行限制。下面就是向n0，求输出序列y(n)。解n=1时，n=0时，n=-1时，n=-n时，y(n-1)=a-1(y(n)-(n)y(0)=a-1(y(1)-(1)=0y(-1)=a-1(y(0)-(0)=-a-1y(-2)=a-1(y(-1)-(-1)=-a-2y(n-1)=-an-1将n-1用n代替，得到y(n)=-anu(-n-1),例1.4.3设系统用一阶差分方程y(n)=ay(n-1)+x(n)描述，初始条件y(-1)=1，试分析该系统是否是线性非时变系统。解如果系统具有线性非时变性质，必须满足(1.3.4)和(1.3.5)两式。下面通过设输入信号x1(n)=(n)，x2(n)=(n-1)和x3(n)=(n)+(n-1)来检验系统是否是线性非时变系统。(1)x1(n)=(n)，y1(-1)=1y1(n)=ay1(n-1)+(n)这种情况和例1.4.1(2)相同，因此输出如下式：y1(n)=(1+a)anu(n),(2)x2(n)=(n-1)，y2(-1)=1y2(n)=ay2(n-1)+(n-1)n=0时，n=1时，n=2时，n=n时，y2(0)=ay2(-1)+(-1)=ay2(1)=ay2(0)+(0)=1+a2y2(2)=ay2(1)+(1)=(1+a2)ay2(n)=(1+a2)an-1y2(n)=(1+a2)an-1u(n-1)+a(n),(3)x3(n)=(n)+(n-1);y3(-1)=1y3(n)=ay3(n-1)+(n)+(n-1)n=0时，n=1时，n=2时，n=n时，y3(0)=ay3(-1)+(0)+(-1)=1+ay3(1)=ay3(0)+(1)+(0)=1+a+a2y3(2)=ay3(1)+(2)+(1)=(1+a+a2)ay3(n)=(1+a+a2)an-1y3(n)=(1+a+a2)an-1u(n-1)+(1+a)(n),由情况(1)和情况(2)，得到y1(n)=T(n)y2(n)=T(n-1)y2(n)y1(n-1)因此该系统不是时不变系统。再由情况(3)得到y3(n)=T(n)+(n-1)T(n)+T(n-1)y3(n)y1(n)+y2(n),1.5模拟信号数字处理方法,人们往往希望将模拟信号经过采样和量化编码形成数字信号，再采用数字信号处理技术进行处理；处理完毕，如果需要，再转换成模拟信号，这种处理方法称为模拟信号数字处理方法。其原理框图如图1.5.1所示。,图1.5.1模拟信号数字处理框图,1.5.1采样定理及A/D变换器对模拟信号进行采样可以看作一个模拟信号通过一个电子开关S。设电子开关每隔周期T合上一次，每次合上的时间为0，系统是非因果的，因为输出还和x(n)的将来值有关。,例5已知系统的差分方程和输入信号分别为,用递推法计算系统的零状态响应。解：%调用filter解差分方程y(n)+0.5y(n1)=x(n)+2x(n2)xn=1，2，3，4，2，1，zeros(1，10)；%x(n)=单位脉冲序列，长度N=16B=1，0，2；A=1，0.5；%差分方程系数,yn=filter(B，A，xn)%调用filter解差分方程，求系统输出信号y(n)n=0：length(yn)1；subplot(3，2，1)；stem(n，yn，.)；axis(1，15，2，8)title(系统的零状态响应)；xlabel(n)；ylabel(y(n)程序运行结果：,yn=1.00001.50004.25005.87505.06256.46880.76561.6172-0.80860.4043-0.20210.1011-0.05050.0253-0.01260.0063-0.00320.0016-0.00080.0004-0.00020.0001-0.00000.0000-0.00000.0000程序运行结果的y(n)波形图如题6解图所示。,题6解图,例6已知系统的差分方程为y(n)=a1y(n1)a2y(n2)+bx(n)其中,a1=0.8,a2=0.64,b=0.866。（1）编写求解系统单位脉冲响应h(n)(0n49)的程序，并