概率论期末试题

概率论与数理统计期末试题一 单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 对于任意两个事件A与B,必有P(A-B)=( )A. P(A)-P(B) B P(A)-P(B)+P(AB) C P(A)-P(AB) D P(A)+P(B)2.某种动物活到25岁以上的概率为0.8，活到30岁的概率为0.4，则现年25岁的这种动物活到30岁以上的概率是（ ）。A. 0.76 B. 0.4 C. 0.32 D. 0.53.若A与B互为对立事件，则下式成立的是（）A.P（AB）=B.P（AB）=P（A）P（B）C.P（A）=1-P（B）D.P（AB）=4.将一枚均匀的硬币抛掷三次，恰有一次出现正面的概率为（）A.B.C.D.5.设F(x)和f(x)分别为某随机变量的分布函数和概率密度,则必有( )A f(x)单调不减 B C D 6.设二维随机变量(X,Y)的联合分布列为若X与Y独立,则( )X-1012P0.10.20.40.37设离散型随机变量X的分布律为 ，则P-1-1)=lDP(X4)=l10.已知随机变量X的概率密度为f (x)=则E(X)=( )A.6B.3C.1 D.二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11.设P（A）=0.4,P（B）=0.3,P（AB）=0.4，则P（AB）=_.12.设随机变量XB（1，0.8）（二项分布），则E(X) =_.13.设随机变量服从参数为的泊松分布，且，则=_15. 设随机变量X的概率函数为P(X=k)= ,k=1,2,3,4,5,则EX=_16设A，B为两个随机事件，若A发生必然导致B发生，且P (A)=0.6，则P (AB) =_17.袋中有5个黑球，3个白球，从中任取的4个球中恰有3个白球的概率为_.18.某地一年内发生旱灾的概率为，则在今后连续四年内至少有一年发生旱灾的概率为_.19.设A为随机事件，P(A)=0.3，则P()=_.20.设随机变量X的分布律为 .记Y=X2，则PY=4=_.21.设X是连续型随机变量，则PX=5=_.22.设随机变量X的分布函数为F(x)，已知F(2)=0.5，F（-3）=0.1，则P-30时，X的概率密度f (x)=_.24.设随机变量X的概率密度为f(x)=则常数c=_.25设袋内有5个红球、3个白球和2个黑球，从袋中任取3个球，则恰好取到1个红球、1个白球和1个黑球的概率为_三、计算题（本大题共16分，每题8分）26 一射手对一目标独立的射击4次，每次的命中率为0.8,求：（1）恰好命中两次的概率。（2）至少命中一次的概率。27设随机变量(X，Y)的概率分布为YX01201求：（1）E(X) (2)E(XY)五、综合题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）28设随机变量X的概率密度为试求：(1)常数A；(2)E(X)29 设(X,Y)的联合密度函数为其他求X与Y的边缘概率密度并判断X与Y是否独立。六、应用题（共10分）30.已知一批产品中有95%的是合格品，检查产品质量时，一个合格品被判为次品的概率是0.02，一个次品被判为合格品的概率是0.03，求：（1）任意抽查一个产品，它被判为合格品的概率。（2）一个被断为合格品的产品确实是合格品的概率。1. 1. 一本书共有1,000,000个印刷符号, 排版时每个符号被排错的概率为0.0001, 校对时每个排版错误被改正的概率为0.9, 求在校对后错误不多于15个的概率.解： 注：可以认为每个字符最终被排错的概率为0.00001，而无须分两步考虑。完毕2. 2. 某赌庄有资产100,000元. 另有一赌徒拥有无穷大的赌资, 试图使该赌庄破产. 他每次压注1000元, 每次赢钱的概率为0.49而输钱的概率为0.51. 问该赌徒能使赌庄破产的概率为多大?解：可以先假设赌徒的赌本为M设 赌庄先输光的概率为p 赌徒先输光的概率为q 则p+q=1该模型可以等价于在Z上的带吸收壁的随机游动： X(0)=100 增加1的概率为0.51 （赌庄赢钱） 减少1的概率为0.49 （赌庄输钱） 吸收壁为： （100+M）（赌徒输光） 0 （赌庄输光） 则 （参考概率论引论 P216 问题2）令M即可得本题所求的概率：赌庄破产的概率为 完毕3. 3. 考虑0,上的Poisson过程, 参数为. T是与该Poisson过程独立的随机变量,服从参数为的指数分布. 以表示0,T中Poisson过程的增量, 求的概率分布.解：完毕4. 设12n是独立同分布随机变量, 且三阶中心矩等于零, 四阶矩存在，求和的相关系数.解：完毕4. 5. 设X是连续型随机变量,密度函数fX(x)= (1/2)exp(-|x|), - x . a. a. 证明特征函数X(t) = 1/(1+t2).b. b. 利用上述结果和逆转公式来证明证明： 证毕5. 6. 设随机变量序列n依概率收敛于非零常数a, 而且n0. 证明1/n依概率收敛于1/a.证明：证毕6. 7. 假设X与Y是连续型随机变量.记VarY|X=x为给定X=x的条件下Y的方差. 如果EY|X=x=与X无关, 证明EY=而且VarY=.证明：证毕7. 8. 设n为独立随机变量序列, 且n服从( -n, n)上的均匀分布, 证明对n中心极限定理成立.证明：证毕8. 9. 设X,Y和Z的数学期望均为0, 方差均为1. 设X与Y的相关系数为1, Y与Z的相关系数为2, X与Z的相关系数为3. 证明 . 证明：证毕9. 10. 用概率方法证明如下Weierstrass定理:对区间0,1上任何连续函数f(x), 必存在多项式序列bn(x), 使在区间0,1上一致地有bn(x) f(x).证明：证毕附: 常用正态分布函数值: (1.28)= 0.9, (2)= 0.977, (2.33)= 0.99, (2.58)= 0.995(1.64)= 0.95, (1.96)= 0.975,一、选择题（共5小题，每小题3分，总15分）1掷一枚质地均匀的骰子，则在出现偶数点的条件下出现2点的概率为（ ）。(A)1/3 (B)2/3 (C)1/6 (D)3/6 2设随机变量的概率密度，则C=（ ）。(A) 1 (B) 1/2 (C) 2 (D) 3/23设，为个来自总体的随机样本的均值，,则（ ）。(A) (B) (C) (D) 4设，与独立，则（ ）。(A) (B) (C) (D) 5设，且，则=（ ）。(A) 0.8543 (B) 0.1457 (C) 0.3541 (D) 0.2543 二、 （本题10分）对于随机事件与。（1）已知求和（2）已知求；三、 （本题10分）某厂有三条流水线生产同一产品，每条流水线的产品分别占总量的40，35，25，又这三条流水线的次品率分别为0.02, 0.04，0.05。现从出厂的产品中任取一件，问恰好取到次品的概率是多少？四、 （本题10分）设连续型随机变量的密度为 (1)确定常数； (2)求； (3)求分布函数；五、 （本题15分）设二维随机变量（X, Y）的分布密度求（1）确定常数；(2)关于X和关于Y的边缘密度函数；（3）问X和Y是否相互独立？（4）求与。六、 （本题10分）某公司生产的产品次品率为0.02，现随机抽取该公司生产的300件产品逐一进行测试。（1）试求测试结果次品不少于7件的概率（写出精确计算的表达式）；（2）利用中心极限定理给出上述概率的近似值。 七、 （本题10分）设总体服从区间上的均匀分布，试求参数的最大似然估计量。八、 （本题15分）某厂利用两条自动化流水线灌装番茄酱，如果两条流水线上灌装的番茄酱的重量都服从正态分布，且相互独立，今分别从两条流水线上抽取样本：及算出，假设这其均值分别为试求：（1）如果两总体方差条件下，求置信水平为的置信区间； （2）/的置信水平为的置信区间。九 （本题5分）已知、为总体的参数与的估计量，且，。试给出参数与的无偏估计量。 注：，一（本题满分8分） 在正方形中任取一点，求使得方程有两个实根的概率 解： 设“方程有两个实根”，所求概率为 设所取的两个数分别为与，则有， 因此该试验的样本空间与二维平面点集中的点一一对应2分 随机事件与二维平面点集，即与点集2分中的点一一对应 所以， 4分二（本题满分8分） 从以往的资料分析得知，在出口罐头导致索赔的事件中，有是质量问题；有是数量短缺问题；有是产品包装问题又知在质量问题的争议中，经过协商解决的占；在数量短缺问题的争议中，经过协商解决的占；在产品包装问题的争议中，经过协商解决的占如果在发生的索赔事件中，经过协商解决了，问这一事件不属于质量问题的概率是多少？ 解： 设“事件属于质量问题”，“事件属于数量短缺问题”， “事件属于产品包装问题” “事件经过协商解决”所求概率为2分 由Bayes公式，得 2分 2分所以，2分三（本题满分8分） 设随机事件满足：证明：对任意随机事件，有 解： 因为，所以，2分 所以，对任意的随机事件，由，以及概率的单调性及非负性，有 ，因此有2分 所以，对任意的随机事件，由，以及与的互不相容性，得 4分四（本题满分8分） 设随机变量的密度函数为 ，并且已知，试求方差 解： 由及，得 ，2分 2分由此得线性方程组 解此线性方程组，得2分 所以， 所以，2分五（本题满分8分） 经验表明，预定餐厅座位而不来就餐的顾客比例为某餐厅有个座位，但预定给了位顾客，问到时顾客来到该餐厅而没有座位的概率是多少？ 解： 设表示52位预订了座位的顾客中来就餐的顾客数，则1分 则所求概率为2分 2分 3分六（本题满分10分） 将一颗均匀的骰子独立地掷次，令表示这次出现的点数之和，求（5分）与（5分） 解： 设表示第次出现的点数， 则相互独立，而且 而的分布列为 ，2分所以， ， 2分所以，由数学期望的性质，得 2分 ， 2分所以，由的相互独立性，及数学期望的性质，得 2分七（本题满分10分） 设随机变量，求随机变量的密度函数 解： 由题意，随机变量的密度函数为，1分 设随机变量的分布函数为，则有 ，2分 所以，当时，；1分 当时， 2分 因此有 ，2分 所以，随机变量的密度函数为 2分八（本题满分10分） 设二维随机变量的联合密度函数为 ，求与的相关系数 解： ， ，2分 ， ，2分 ，所以有 ，2分 ， ，2分因此，有 2分九（本题满分10分） 一生产线生产的产品成箱包装，假设每箱平均重，标准差为若用最大载重量为的汽车来承运，试用中心极限定理计算每辆车最多装多少箱，才能保证汽车不超载的概率大于（设，其中是标准正态分布的分布函数） 解： 若记表示第箱的重量，则独立同分布，且， 2分再设表示一辆汽车最多可装箱货物时的重量，则有 由题意，得 4分查正态分布表，得 ，2分当时，；时，故取，即每辆汽车最多装箱货物2分十（本题满分8分） 设总体，是取自该总体中的一个样本令，试确定常数，使得随机变量服从分布 解： 因为，而且相互独立，所以，2分因此，2分而且与相互独立因此由分布的定义，知，2分即取，则有2分十一（本题满分12分） 设总体的密度函数为 ，其中为参数，是从总体中抽取的一个简单随机样本 求参数的矩估计量（6分）； 求参数的最大似然估计量（6分） 证明：1 ，3分因此，得方程 ，解方程，得 ， 将替换成，得参数的矩估计量为3分2 似然函数为 ，2分取对数，得 ，对求导，得 ，所以，得似然方程 ，2分解似然方程，得，因此，参数的最大似然估计量为 2分一（本题满分8分） 某城市有汽车辆，牌照编号从00000到99999一人进城，偶然遇到一辆车，求该车牌照号中含有数字8的概率 解： 设事件，所求概率为.2分 .6分二（本题满分8分） 设随机事件，满足：，求随机事件，都不发生的概率 解： 由于，所以由概率的非负性以及题设，得，因此有.2分 所求概率为注意到，因此有.2分 .2分 .2分三（本题满分8分） 某人向同一目标进行独立重复射击，每次射击时命中目标的概率均为，求此人第6次射击时恰好第2次命中目标的概率 解： .2分 .2分 .4分四（本题满分8分） 某种型号的电子元件的使用寿命（单位：小时）具有以下的密度函数： 求某只电子元件的使用寿命大于1500小时的概率（4分）； 已知某只电子元件的使用寿命大于1500小时，求该元件的使用寿命大于2000小时的概率（4分） 解： 设，则 .4分 设，则所求概率为 .2分而 ，所以， .2分五（本题满分8分） 设随机变量服从区间上的均匀分布，而随机变量求数学期望 解： .2分 .2分 .4分六（本题满分8分） 设在时间（分钟）内，通过某路口的汽车数服从参数为的Poisson（泊松）分布，其中为常数已知在1分钟内没有汽车通过的概率为，求在2分钟内至少有1辆汽车通过的概率 解： 的分布列为，.2分因此在分钟内，通过的汽车数为 ，由题设，所以.3分因此，.3分七（本题满分8分） 设二维随机变量的联合密度函数为求： 随机变量边缘密度函数（4分）； 方差（4分） 解： 因此，当或者时，.1分 当时， 所以， .3分 .2分所以， .2分八（本题满分8分） 现有奖券10000张，其中一等奖一张，奖金1000元；二等奖10张，每张奖金200元；三等奖100张，每张奖金10元；四等奖1000张，每张奖金2元而购买每张奖券2元，试计算买一张奖券的平均收益 解： 设：购买一张奖券所得的奖金则的分布律为1000200102所以，.2分 .4分再令表示购买一张奖券的收益，则，因此 （元）.2分九（本题满分8分）