利用对称性计算第二类曲线积分与曲面积分的方法_刘富贵

第 30卷 第 6期 2006年 12月 武 汉 理 工 大 学 学 报 (交通科学 与工程版 ) Journal of Wuhan University of Technology (Transportation Science曲面积分 ;对称 中图法分类号: O172. 2 1 第二类曲线积分的对称性问题 定理 1 设L 为xoy 平面上关于x 轴对称的一 条有向光滑曲线弧 1 ,其方程是一双值函数 ,设为 y= y( x ) , (axb) . 记 L1,L2分别为 L 位于 x 轴的上半部分与下半部分 , L1 , L 2分别在 x 轴上 的投影方向相反 ,函数 P( x ,y )在 L 上连续 ,那么 1) 当 P( x, y )关于 y为偶函数时 ,则 LP(x , y )dx = 0 2) 当 P( x, y )关于 y为奇函数时 ,则 LP( x, y )dx = 2L1p(x , y )dx 证明 依定理条件不妨设 L1: y= y( x ) ,x 从点 a变到点b. L2: y= - y(x ) , x 从点 b变到点 a. 于是由对坐标曲线积分的性质及计算方法有 L P(x , y) dx = L1P (x , y) dx +L2P( x ,y )dx = b a P x ,y (x ) dx + a b P x , - y(x ) dx = b a P x , y(x ) - P x , - y( x ) dx 故 1) 当 P( x, y )关于 y为偶函数时 ,有 L P(x , y) dx = b a P x , y( x ) - P x , y( x) dx = b a 0dx =0 2) 当 P( x, y )关于 y为奇函数时 ,有 LP( x, y )dx = b a P x , y(x ) + P x ,y (x ) dx = 2 b a P x ,y (x ) dx = 2 L 1 P(x , y) dx 注 1 对于 LQ(x , y) dy 有类似定理 1的结 论. 注 2 定理 1可用两句口诀来简言之 ,即 “反 对 偶 零”与“反 对 奇 倍”.其中: “反”指 L1,L2在 x 轴上的投影方向相反 ( L= L1+ L2); “对”指 L 关于 x 轴对称;“偶”指被积函数 P( x ,y )在 L 上关于 y 为偶函数;“零”指曲线积分 的结果等于零.口诀“反 对 奇 倍”的涵义类 似解释. 关于曲线积分 L P(x , y) dx 还有另一个对称 性的结论是 定理 2 设L 为xoy平面上关于 y轴对称的一 条有向光滑曲线弧 ,其方程为 y= y (x ) , ( - a x a) ,记 L1 ,L 2分别为L 位于 y轴的右半部分与左 半部分 , L1 , L 2分别在 x 轴上的投影方向相同 ,函 数 P( x, y )在 L 上连续 ,那么 1) 当 P( x, y )关于 x 为奇函数时 ,则 L P(x , y )dx = 0 2) 当 P( x, y )关于 x 为偶函数时 ,则 LP (x , y) dx = 2 L1 P(x , y) dx 证明 依定理条件不妨设 L1: y= y( x ) ,x 从点 0变到点 a. L2: y= y( x ) ,x 从点- a变到点 0. (a 0) 于是由对坐标曲线积分的性质及计算方法有 LP( x, y )dx = L1P(x , y) dx +L 2 P(x , y) dx = a 0P x ,y (x ) dx + 0 - a P x , y( - x ) dx 对右端第 2个积分 ,令 x= - t ,有 0 - a P (x , y) ( - x ) dx = a 0P ( - t , y(t) ) dt = a 0P - x , y( x ) dx 因此有 LP( x, y )dx = a 0P x ,y (x ) dx + a 0P - x, y (x ) dx = a 0 P x , y(x ) +P - x, y (x ) dx 故 1) 当 P( x, y )在 L 上关于 x 为奇函数时 ,有 L P(x , y) dx = a 0P x , y( x ) - P x , y(x ) dx = a 00dx = 0 2)当 P(x , y)在 L 上关于 x 为偶函数时 ,有 L P(x , y) dx = a 0P x , y( x ) + P x, y (x ) dx = 2 a 0P x , y( x ) dx = 2 L1 P x , y dx 注 1 对于 L Q(x , y) dy 有类似定理 2的结 论. 注 2 定理 1与定理 2虽然都是对坐标x 的曲 线积分 ,但定理 1中积分曲线弧的对称性及其投 影都是针对x 轴而言的 2 ,而定理 2中积分曲线弧 的对称性及其投影是分别针对 y 轴和 x 轴而言 的.另外 ,被积函数 P (x , y )的奇偶性也是分别针 对不同的变量而言的 ,故定理 2的结论恰好与定 理 1相反 ,定理 2用口诀简言之是: “同 对 奇 零”与“同 对 偶 倍”.其中: “同”指 L1, L2分 别在 x 轴的投影方向相同;“对”指 L 关于 y 轴对 称; “奇”指被积函数 P ( x , y )关于 x 为奇函数 ; “零”指曲线积分结果等于零 .“同 对 偶 倍” 的涵义类似解释. 2 第二类曲面积分的对称性问题 与第二类曲线积分类似有以下结论. 定理 3 设E为关于 xoy平面对称的有向光 滑曲面 ,其方程是一双值函数 ,设为 z= z ( x, y ) , (x , y) Dxy(其中 Dx y为E在 xoy 平面上的投 影区域 ) ,记E1 ,E 2分别为E位于 xoy平面的上半 部分与下半部分 ,E1与 E2的侧关于 xoy 平面相 反 ,函数 R( x ,y ,z)在E上连续 ,那么 1) 当 R(x , y,z )关于 z 为偶函数时 ,则 E R(x , y,z )dx dy = 0 2) 当 R(x , y,z )关于 z 为奇函数时 ,则 E R( x , y,z) dx dy = 2 E1 R(x , y, z) dxdy 证明 依定理条件不防设 E1: z = z( x ,y ) , ( x, y ) Dx y,E1取上侧. E2: z = - z(x , y) , (x , y) Dxy,E2,取下侧 . 于是由对坐标的曲面积分的性质及计算方法 有 E R(x , y,z ) dxdy = E1 R(x , y,z ) dxdy+ E2 R( x , y,z) dx dy = Dxy R x , y,z (x , y) dx dy - Dxy R x , y, - z (x , y) dx dy = Dxy R x ,y ,z(x , y ) - R x , y, - z(x , y ) dxdy 故 1)当 R( x , y,z)关于 z为偶函数时 ,有 E R(x , y,z ) dxdy = Dxy R x , y,z (x , y) - 1070 武汉理工大学学报 (交通科学与工程版 )2006年 第 30卷 R x , y,z( x ,y ) dx dy = Dxy 0dx dy = 0 2)当 R( x , y,z)关于 z为奇函数时 ,有 E R(x , y,z ) dxdy = Dxy R x , y,z (x , y) + R x , y,z (x , y) dxdy = 2 Dx y R x , y,z (x , y) dxdy = 2 E1 R( x ,y ,z) dxdy 注 1 对于 E P(x , y,z ) dydz , E Q(x , y,z) dzdx 有类似定理 3的结论. 注 2 定理 3类似可用口诀“反 对 偶 零”与“反 对 奇 倍”简言之.这里: “反”指E1, E2的侧关于 xoy 平面相反;“对”指 E1 与E 2关于 xoy平面对称;其余涵义类似前面的解释 . 3 结论的应用 例 1 3 计算 I = Lxydx .其中 L 为抛物线 y 2= x从点 A( 1, - 1)到点 B( 1, 1)的一段弧 . 解 依题设条件知 ,该曲线积分满足定理 1 中“反 对 奇 倍”的结论 ,故有 I =2 L1xydx = 2 1 0 x x dx = 4 5 其中 , L1: y =x , x 从点 0变到点 1. 例 2 计算 I = L (x +y) 2dx - ( x 2 + y2siny )dy. 其中 L 为 x2+ y2= a2(a 0)按逆时针 方向从点 A(a, 0)到点 B( - a, 0)的上半圆周. 解 可将原式改写为 3个曲线积分的代数 和 ,即 I = L (x 2+ y2) dx - 2 Lxydx - L (x 2+ y 2siny) dy 依题设条件分析知 ,等式右端第一、第二、第 三个曲线积分依次满足定理 2中“同 对 偶 倍”、“同 对 奇 零”及定理 1的注 1中“反 对 偶 零”的结论 ,故有 I = L (x 2+ y2) dx = 2 L1 (x 2 +y2) dx = 2 0 a (x 2 + a2- x 2) dx = - 2a3 其中 , L1: y =a2- x2, x 从点 a变到点 0. 例 33 计算 I = E xyzdx dy.式中: E为球面 x 2+ y2+ z2= 1的外侧位于 x 0, y 0的部分 . 解 依题设条件分析知 ,该曲面积分满足定 理 3中“反 对 奇 倍”的结论 ,故有 I = 2 E1 xyzdx dy = 2 Dx y xy1- x 2 - y2dx dy = 2 0 sin2 d 1 0r 3 1- r2dr = 2 15 其中 , E1: z =1- x 2 - y 2, ( x , y) Dxy= (x , y)| x 2+ y2 1, x 0,y 0. 例 4 4 计算 I = E (x 2 - yz) dydz+( y2- zx ) dzdx +2zdx dy. 其中 ,E为锥面 z =1 - x 2 +y 2 被平面 z =0所截得的部分 , 取上侧. 解 原式可写为三个曲面积分之和 ,即 I = E (x 2 - yz) dydz+ E ( y2- zx ) dzdx +2 E zdxdy 依题设条件可知右端第一、第二曲面积分均 满足定理 3中“反 对 偶 零”的结论 ,故有 I = 2 E zdx dy = 2 Dxy ( 1-x 2+ y2) dxdy = 2 2 0 d 1 0 ( 1 - r)rdr = 2 3 其中: Dx y= (x , y)| x 2+ y2 1. 例 5 计算 I = E x r3 dydz + y r3 dzdx + z r3 dxdy.其中: r =x 2 +y2+ z2;E为球面 x 2+ y 2 + z 2 = a 2(a 0) ,取外侧 . 解 首先由轮换对称性有 I =3 E z r3 dx dy, 其次可知 E z r3 dxdy满足定理 3中“反 对 奇 倍”的结论 , 故有 1071 第 6期 刘富贵 ,等: 利用对称性计算第二类曲线积分与曲面积分的方法 I =6 E1 z r3 dx dy = 6 Dxy a2- x2- y2 a 3dx dy = 4 c 其中 , E1: z =a2- x2- y2, ( x , y) Dx y= (x , y)| x 2+ y2 a2 . 注: 此题不可直接应用高斯公式做. 由以上几例可看出利用对称性计算第二类曲 线积分与曲面积分不仅是可行的 ,而且有时还可 起到简化计算的作用. 参 考 文 献 1 翁莉娟 ,韩云瑞 .光滑曲线与可求长曲线. 数学的实 践与认识 , 2006, 36(5): 308-310 2 时统业 ,周本虎 .第二类平面曲线积分的对称性质及 其应用 .高等数学研究 , 2006, 112( 2): 25- 29 3 同济大学数学教研室 .高等数学. 北京: 高等教育出 版社 , 2002 4 钱吉林 ,肖新平.高等数学辞典.武汉: 华中师范大学 出版社 , 1999 Methods of Applying Symmetry to Calculate the Second Kind of Curvilinear Integral and Surface Integral Liu Fugui 1) Lu Kaisheng2) (School of Natural Science 1) , School of Energy and Power Engineering 2) ,WUT ,Wuhan 430063) Abstract The second kind of curvilinear Integral and surface Integral are concerning orientation, so it is hard to calculate them with symmetry. A good