利用分块矩阵讨论矩阵秩的几个结论

第4卷第4期2002年12月石家庄师范专科学校学报journalofshijiazhuangteachercollegevol.4，No. 4 Dec. 2002 利用块矩阵讨论矩阵秩的一些结论许景彦(石家庄职业技术学院基础部，河北石家庄050081) 块矩阵是讨论矩阵的重要手段。 块矩阵可用于系统地验证关于矩阵秩的一些结论。 关键字块矩阵秩结论中图分类编号O 151. 21 文献识别码a文献编号100826188(2002)04286501引理1 R(A B)m inR(A )，R(B )特别是在A0时，R(A B )=R(B )。 证：略。 引理2 i) R A O C B R(A ) R(B )。 (ii) R O A B C R(A ) R(B )。 设定： A=1是什么n、B=1？ m，C=1？ m，A O C B=1？ nm是：1=(1，0 )、2=(2，0 )、n=(n，0 )； 设n1=(1，1 )、n2=(2，2 )、nm=(m，m )为R(A )=t、R(B )=s .时，存在：1、t1，n线性关系1、s1，m线性关系。 于是，如果在1=( 1，0 )、2=( 2，0 )、t=(t，0)t1=(1，1)、t2=(2，2)、ts=(s，s)1，n m中存在k1，则k2， kt sR中，TSI=1kiI=0(零矢量)即3360 k 11 kttsk t 11 ktss=0kt 11 ktss=0(1)、(2)表示式(2)及1， 为了不依赖于s的线性，将：kt1=kt2=kts=0上式代入(1)式，根据1、t的线性，由于：k1=k2=kt=0，因此与1、ts的线性无关，即，R A O C B R(A ) R(B )引理3 I ) raoo ii)R O A B O=R(A ) R(B )证据引理2得：ROObobr(a)r(b)(3):收到日2005321213作者简档许景彦(19662 )，女，河北定州人，石家庄职业技术学院基础部讲师。 A=1？ n，B=1？ m，A O O B=1？ nm即： 1？ n m=10？ 什么n01？ 将0m设为R(A )=t，R(B )=S，然后将：1，t设为1，n最大线性不相关组.1，s是1，m最大线性不相关组。 1、n可以用1、t线性表示，1、m可以用1、s线性表示。 因此，1=(1，0 )、n=(n，0 )、n1=(0，1 )、n m=(0，m )可以线性表示为1=( 1，0 )、t=(t，0 )、t1=(0，1)、ts=(0，s )。R 1？ 由于nmts，因此：raobr(a)r(b)(4)根据(3)、(4)将：raob=r(a)r(b)2命题和证明命题1设为a、b都是mn矩阵，则为：R(A B)R(A ) R(B )。 证明：ab=(e)aobobe，处理1增益： r (ab )=r (e ) aobo beRao bobeRao bob，处理3增益：R(A B)R(A ) R(B )到a，b是mn矩阵：r(a)-r(b)r(a-b )证明A=(A-B ) b是命题1到： r (a )=r (a-b ) b )r (a-b ) r (b )的：r(a)-r(b)r(a-b )命题2是a是mn矩阵，b是ns矩阵3360 r (a b )r (a ) r (b )-n证明： abbooebe=abbe且E O B E 0 引理1引理3中： R(A B ) R(E )=R A BO BE即： R(A B ) n=R A BO BE (5)另外-eaoebobbe=oabe且-EA OE 0引理1，引理2中：rbobe=rober(a)r(b)(6)为(5)、(6) 根据：R(A B)R(A ) R(B )- n引理3，设a、b、c分别为mn、nx、st矩阵，则为：r(abc)r(ab)r(b)-r(b )。证书eaoaabcoob=abcabob且E A O E 0； 引理3到： R(A B C ) R(B )=R A B CA B OB (7)还包括abcabob-eoce=oabcb和-EO CE 0引理1引理2到：rbcb=rbcbr(abb)r(bcc)(8) 9根据第四期许景彦：使用块矩阵讨论矩阵秩的一些结论，(7)、(8) : r (ABC )r (abb )-r (b )命题4为a为mn矩阵的b为ns矩阵，且a-b=03360 r (a )-r (b )-n证明- aobeb 第一增益：raobebraoaoo(9)为第二增益：R A O E B R(A ) R(B) (10 )，并且- eaooo=oeo并且-EA OE 0在引理1中，raooo=rcooooo=n(11 )表示(10 )和(11 )，(9) 接下来代入3360 r (a ) r (b )n推论a是n阶正方阵且A 2=E的：R(A E ) R(A-E )=n证A 2=E， (A E) (A-E )=0根据命题4， r (a-e )n (12 )444铿锵锵锵6即：R (2 A )=n或2A=(A E) (A-E )，根据命题1，3360 r (2a )r (a e ) r (a-e ) 即，nR(A E ) R(A-E )根据(12 )、(13 )成为3360 r (a e ) r (a-e )=n (13 ) conclussoftmatrixorderbyusinglumpmatrixxujing2Yan Shijiazhuang， 050081中国) abst ratt : matrixorderisthemostimportantcontenthediscussionaboutmatrinanditsproblems.lumpmatrixisamainway