凸函数的Hadamard不等式的两种证明方法VIP

第! 卷!第!期 ! # # $年%月! ! 湖 州 师 范 学 院 学 报 ) 8! # # $ 凸函数的! # $ % # ! # $ % #不等式的两种证明方法 郑宁国 湖州广播电视大学!浙江 湖州? A ? # # # 摘要! 利用连续函数的稠密性定理给出了P 3 0 ( )等凸函数的一些性质和$%96%控制不等式的理论和方法! 并应 用这些理论和方法证明了著名的. + L + = + ) L不等式8! 任取%!6$?! 如果恒有L %.6 ! #6 A ! L%#. A ! L6# ! 那么称L是?上的凸函数# 性质A设L %#是 ; , J 2 LW + Q 0 2 = + Q J 3 4! # # %!? (! 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本文的另一个研究主题是广义微分性质。20世纪五十年代以来由于理论和应用的需要逐步发展起来的非光滑分析及优化理论,在数学规划,最优控 制理论,数理经济学,变分学等领域有重要作用,已成为一个研究热点。函数的凸性和微分作为非光滑分析中重要概念在过去的几十年中得到了各种各样 的推广,获得了许多重要的结论。1976年,M.Avriel利用A.Ben-Tal提出的广义代数运算引入了一类重要的广义凸函数：(h,)-凸函数及其广义次梯度 。2001年,张庆祥根据广义代数运算定义了函数f在x点沿方向d的广义(h,)-方向导数和f在x点的广义(h,)-梯度。但因广义(h,)-方向导数的概念 难以刻画广义次微分,于是徐义红等人在2002年针对(h,)-凸函数修改了广义(h,)-方向导数的概念,定义了(h,)-凸函数的广义方向导数及广义次 微分,并讨论了它们具有的一些良好性质。2006年徐义红等人提出了一种广义Lipschitz函数：(h,)-Lipschitz函数,给出了它的广义方向导数和广义 梯度的定义并研究了它们的一些基本性质。但是对于上面(h,)-凸函数的广义微分理论的研究还不够深入,一些重要性质没有涉及,也没有建立 (h,)-凸函数广义次微分和(h,)-LipschitZ函数广义梯度的联系,而在经典的非光滑分析中二者有紧密的关系。本文第三章将对这些问题进一步研 究,给出(h,)-凸函数的广义方向导数的计算公式以及判断(h,)-凸函数的广义次微分和局部(h,)-Lipschtz函数的充分必要条件。进而得到 (h,)-凸函数和局部(h,)-Lipschitz函数及它们的广义方向导数之间的联系。 本文共分三章,内容如下： 第一章介绍一些基本的记号和定义,回顾分式规划问题及广义微分的发展背景。 第二章讨论上面所给出的一类被有限多个非负凸函数所限制的分式规划问题。给出刻画此类问题解的存在性的Farkas型结论,即用有关函数的 (Fenchel-Moreau)共轭给出其解存在的充分必要条件,而且我们指出使用上境图也可以刻画上述问题。 第三章给出(h,)-凸函数和(h,)-Lipschtz函数的一些广义微分性质。 2.学位论文 张峰 正倒向系统相关的偏微分方程与随机最优控制问题 2009 从Pardoux和Peng58的基础性工作以来，倒向随机微分方程(BSDE)和正倒向 随机微分方程(FBSDE)由于其良好的结构和在随机控制、偏微分方程、金融数学等领 域的广泛应用而备受关注。本文将致力于对有限维和无穷维FBSDE，与正倒向系统相 关的偏微分方程(PDE)、随机最优控制和随机对策问题的研究。 Antonelli和Hamadne2研究过一类带连续单调系数的FBSDE，这类方程的唯 性无法得到。我们利用Jia和Yu44的技巧证明这类方程的解的唯一性与解关于正 向部分的初始值和倒向部分的终端值的连续依赖性是等价的，推广了44的结果。 我们考虑一类完全耦合的无穷维FBSDE.作为Guatteri36的延续，研究这类方 程的解在Malliavin空间中的正则性，证明解的Malliavin导数满足一个线性的正倒向 系统。通过研究解的Malliavin导数与(Ga-)teaux导数的关系得到解变量Z的两种表示， 并期待这个结果对研究对应的偏微分方程能起到一定作用。不过我们只得到了两种特 殊情形下的结果：YT不依赖于XT，即YT的情形和不依赖于y,z，即=(t,x) 的情形。 FBSDE可以给出一类拟线性抛物形PDE的概率解释。在光滑系数假定下PDE 存在经典解，否则需要考虑其弱解。我们研究一类推广的拟线性抛物形PDE，证明在 利普希茨连续和单调系数条件下这类PDE存在唯一的局部Soblev弱解，并且该解对 应着一个部分耦合的FBSDE的局部解。这个结果推广了6的结果。与以前的相关文 献不同的是，该PDE的系数b中含有变量u，对应的FBSDE的系数b中含有变量y. 倒向重随机微分方程(BDSDE)可以给出一类拟线性抛物形随机偏微分方程(SPDE) 的概率解释。在光滑系数条件下SPDE有经典解，否则只可能有弱解。我们研究一类 拟线性抛物形SPDE，其中系数f关于变量y局部单调，关于变量z局部利普希茨连 续。证明这类方程存在唯一的Soblev弱解，并且其对应着一个BDSDE的解。该结果 推广了10的结果。这部分的两个结果发展了拟线性抛物形PDE和SPDE的弱解理 论。 连续控制理论已经在工程和金融等领域得到了广泛应用，但因为要不断向系统施 加控制而显得不够现实。有时系统状态需要瞬间改变，此时连续控制不再适用而脉冲 控制就显得必要且有效。我们将脉冲控制理论与随机最优控制和随机对策理论结合，考 虑带脉冲的随机最优控制和随机对策问题。首先研究三类正倒向系统的随机最优控制 问题，其中控制变量由连续控制变量和脉冲控制变量组成。考虑最优控制满足的必要 条件，即庞特里亚金最大值原理；并且探索充分最优性条件。就我们所知，这是对带脉 冲控制正倒向系统的随机最优控制问题的首次研究。带脉冲的确定性对策问题已经被 很多学者研究过，然而带脉冲的随机微分对策问题似乎尚没有人研究。我们考虑一类 带脉冲的的随机微分对策问题。用动态规划原理证明该对策问题存在最优值，且通过 一个验证定理给出了对策的一组最优策略。 以下是本文的结构和主要结论。 第一章：简要介绍本文中所讨论问题的背景及总体思路。 第二章：证明2中提出的带连续单调系数的FBSDE的解的唯一性与解关于参数 的连续依赖性是等价的。 定理2.1.2.假设条件2.1.1成立，则下面关于FBSDE(2.1)的解的两个论断是等价的。 (i)唯一性：FBSDE(2.1)存在唯一解。 (ii)关于(x,)的连续依赖性：对任意的xpp=1，xR和qa=1，L2(，gT，P；R)， 如果当p时有xpx，而当q时有E|q-|20，则当p,q时，(公式略) 其中，(公式略)是FBSDE(2.1)分别对应于(x，)与 (XP,q)的任意解。 第三章：考虑一类完全耦合的无穷维FBSDE.首先研究这类方程的解在Malliavin 空间中的正则性。 定理3.2.5.设条件3.1.1和3.1.2成立。假设(公式略)并属于 D1,2(K)，则存在正数T0T*使得对任意的TT0，FBSDE(3.1)在区间0,T上的 唯一温和解(X,Y,Z)满足下面的性质：(公式略) (ii)存在(DX,DY,DZ)的一个版本使得对几乎所有的s0,T)，DsXt,t(s,T 是L2(三，H)中的连续可料过程，满足(公式略) 过程(DsYt，DsZt)，t(s，T属于空间(公式略) 并且，对几乎所有的st，下面的线性正倒向系统成立：(公式略) 其中定义-(r)：=(r，Xr，Yr)，b(r)：=b(r，Xr，Yr，Zr)，f(r)：=f(r，Xr，Yr，Zr). 通过研究解的Malliavin导数与Gateaux导数的关系，我们得到 定理3.3.2.解过程Z有两个版本(公式略)： 第四章：首先考虑一类推广的拟线性抛物形PD E，其特点是系数b中包含解变量 u.通过与一类部分耦合的FBSDE相联系来研究这类PDE的Sobolev弱解。 定理4.1.6.假设条件4.1.1成立，则 (i)PDE(4.2)存在局部Sobolev弱解u.并且对几乎所有的st,T，xRd，a.s.(公式略) 其中，(Xt,x，Yt,x，Zt,x)是FBSDE(4.1)的唯一局部解。 (ii) PDE(4.2)在利普希茨连续函数类中至多存在一个Sobolev弱解。 然后研究一类拟线性抛物形SPDE，其中系数f关于变量y局部单调，关于变量 z局部利普希茨连续。通过与一类BDSDE系统相联系得到该SPDE的Sobolev弱解。 定理4.2.19.假设条件4.2.18和(4.11)式成立，则SPDE(4.14)存在唯一的Sobolev 弱解u.并且对几乎所有的st,T，xRd，a.s.(公式略) 其中，(Yt,x，Zt,x)是BDSDE(4.16)的唯一解。 第五章：研究带脉冲的随机最优控制和随机微分对策问题。首先研究三类带脉冲的 正倒向系统的随机最优控制问题，得到必要最优条件和充分最优条件，也给出了对这 三类问题的比较。 在第一个随机最优控制问题中，连续控制域和脉冲控制域均为凸集。通过凸变分 容易得到如下的最大值原理： 定理5.2.4.设(u，)是随机最优控制问题(5.3)-(5.4)的最优控制，(xu,，yu，zu，)是 最优的系统轨线，(pu,，qu,，ku,)是伴随方程的解。则有(公式略) 其中，H：0，TRnRmRmdURmRnRndR是如下定义的哈密尔 顿函数：(公式略) 由于假设系统参数关于变量v连续可微，下面的充分最优性定理也容易得到。 定理5.2.6.设条件5.2.1成立；假定，(x，y，z，v)H(t，x，y，z，v，p，q，k)与 l(t，)为凸函数；且存在ARmn与L2(，GT，P；Rm)使得yuTn具有如下特殊 形式:(公式略) 用(Pu，qu，ku)表示(u，)d对应的伴随方程的解。如果(u，)满足(5.7)和(5.8) 两式，则它一定是随机最优控制问题(5.3)-(5.4)的最优控制。 在第二个最优控制问题中，假定脉冲控制域为凸集而连续控制域非凸，且扩散项系 数不含控制变量。对连续控制变量使用针状变分，对脉冲控制变量使用凸变分可得 如下最大值原理： 定理5.3.7.设(u，)是随机最优控制问题(5.13)-(5.14)的最优控制，(公式略) 是最优的系统轨线，(公式略)是伴随方程的解。则有(式略) 其中，H：0，TRnRmRmdURmRnR尼nxdR是如下定义的哈密尔 顿函数：(公式略) 假定连续控制域U为凸集，借助Clarke广义梯度的性质可以得到如下的充分最 优性定理： 定理5.3.9.设条件5.3.3和5.3.8成立；假定，(x，y，z，v)H(t，x，y，z，v，p，q，k) 与l(t，)为凸函数；且存在ARmn与L3(，gT，P；Rm)使得yTu具有如 下特殊形式：(公式略) 用(pu，qu,ku,)表示(u,)(d)对应的伴随方程的解。如果(u，)满()和 (5.20)两式，则它一定是最优控制问题(5.13)-(5.14)的最优控制。 在第三个最优控制问题中，假定脉冲控制域为凸集而连续控制域非凸，并且扩散 项系数中含有连续控制变量v.这种情况下针状变分不再适用，而松弛控制的方法 可以在一定条件下解决这个问题。首先用松弛控制变量qt代替连续控制变量ut得到一 个最优松弛-脉冲控制问题。基于松弛控制具有的良好性质，这个新问题的必要最优 条件和充分最优条件不难得到。而在一定条件下，原最优控制问题是此最优松弛-脉 冲控制问题的特殊情形；这样便可很容易得到期望的结论。 定理5.4.3.设条件5.4.1和5.4.2成立，则随机最优控制问题(5.24)-(5.25)的最优控 制(u，)满足(公式略) 其中，H：0，TRnRmRmdURmRnRndR是如下定义的哈密尔 顿函数：(公式略) 定理5.4.4.设条件5.4.1和5.4.2成立；假设，(x，y，z)H(t，x，y，z，v，k，P,Q) 与l(t，)为凸函数；且存在ARmn与L2(，(f)T，P；Rm)使得ytu具有如 下特殊形式：(公式略) 设(ku,，Pu,，Qu，)是(u，)(d)对应的伴随方程的解。如果(u,)满足(5.26)和 (5.27)两式，则它一定是随机最优控制问题(5.24)-(5.25)的最优控制。 最后考虑一个带脉冲的随机对策问题。通过动态规划原理证明该对策存在值。 定理5.6.4.假设条件5.6.1和5.6.2成立，则V-=V+是对应拟变分不等式(5.36)在 BUC(Rn)中的唯一粘性解，从而该对策存在值。 还通过一个验证定理得到了该对策的最优策略。 定理5。6.12.设条件5.6.1和5.6.2成立。设vBUC(Rn)是对应的拟变分不等式的 经典解。如果v对应的QVI-控制(u*()，*()是容许控制，则v恰好是该对策问题的 值函数，从而(u*()，*()是对策的一组最优策略。 关键词：正倒向随机微分方程，无穷维，Malliavin变分，偏微分方程，随机偏微分方程，Sobolev弱解，脉冲控制，随机最优控制，最大值原理，随 机微分对策，动态规划原理，拟变分不等式。 3.学位论文 张庆华 二阶微分包含的边界值问题 2009 二阶微分包含作为二阶微分方程与集值分析的交叉学科，在力学，工程学以及优化与控制理论中有着广泛的应用.下面举一个牛顿力学的例子。 考察在一个在外力f的作用下运动的质点m，由牛顿第二运动定律，其位移函数x(t)满足下面的方程mx(t)=f(t,x(t),x(t),这里外力f随时间 t，以及t时刻的位移x，速度v=x的变化而变化。 如果我们把质点m置于一个中心力场(引力场或电磁场)中，则外力f可以表示为一个凸势的梯度，即f=C/x3x=(-Cx)=g(x)。 在很多情形下，质点m的运动不仅要受到一个中心力场的作用，还会受到其他力的影响，这种力的作用往往来自于很多方向，它的变化是随机的 ，不连续的，我们称之为扰动，这时该质点的运动状态只能用一个微分包含来描述mx(t)g(x)+F(t，x(t)，x(t)，其中，F(t，x(t)，x(t)表 示一个集值扰动。 如果这个扰动是可控的，即F=F(t，x(t)，x(t)，u(t)，其中量u(t)被一个集值函数U(t，x(t)，x(t)所控制.这样我们就得到一个反馈控制系 统 近三十多年来，作为一个新的数学分支，二阶微分包含越来越受到学者们的关注.罗马尼亚的V.Barbu，N.C.Apreutesei，美国的N.H.Pavel，希腊 的N。S.Papageorgiou，意大利的F.Papalini，中国的S.Hu，法国的D. Motreanu以及加拿大的M. Frigon等学者先后研究了带有边界条件的二阶微分包 含：这里，A是RN上的一个单调算子，F是满足一定条件的集值扰动，BC表示一个边界条件，它具有如下几种形式： (i)x(0)=z(b)=0,(Dirichlete型) (ii)x(0)=x(b)=0,(Neumann型) (iii)x(0)=x(b)=0，(混合型) (iv)x(0)=x(B)，x(0)=x(b)，(周期型) (v)(x(0)，x(b)(x(0)-，x(b)-).(集值型) 在边值问题的研究中，有一个重要的课题，那就是寻找落在给定集合C中的解.这个集合C被称为流不变集，下面是几种特殊的流不变集： (i)球，C=xC(T,RN),x(t)M,(M0)， (ii)解管道，C=xC(T,RN),x(t)v(t)r(t),AtT， 这里，uC(T,RN),rC(T,R+)， (iii)序区间，C=xC(T,R),()(t)x(t)(t),AtT， 这里，(),C(T,R)。 为了解决这类问题，我们通常会采用截断与罚函数技术，得到一个辅助问题，利用逼近技术与不动点原理，可以证明该辅助问题的解是存在的.借 助于先验估计，还可以证明这样得到的解一定落在流不变集中，从而是原问题的解， 近年来，许多学者把注意力集中在带p-Laplace(或类p-Laplace)算子的二阶微分系统上.在美国的J.Mawhin，智利的D. Manasevich以及中国的M。 Zhang等工作的基础上，一系列具有高质量的文章涌现出来.这些工作集中讨论了p-Laplace算子的Fucik谱，共振及非共振条件，正解(或负解)以及符 号变化的解，得到了一批好的结果。 本篇论文主要研究二阶微分包含的边界值问题，根据所使用工具的不同，它大致可以分为两个部分，在第一部分，我们利用不动点原理与 Yosida逼近研究带有单调项的集值边界问题.该部分共分三章。 第一章研究下面的模型：这里，:RNRN是一个类p-Laplace算子，集值扰动F满足Hartman型条件(见第一章H(F)1(iu)。 第二章，我们在解管道存在的假设下考虑半线性问题 第三章主要是研究非线性数值微分包含在这一章，我们总假设与之相应的上，下解是存在的。 为了研究这三个边值问题，我们利用截断函数(见(1.2.1)，(1.2.2)，(2.1.6)，(2.1.7)，(3.2.1)，(3.2.2)，得到一个定义在函数空间上的变 换，通过对的仔细研究，我们发现了函数x与它的截断函数x导数之间的内在联系(见(1.2.5)，(1.4.7)，(2.1.11)，(2.3.11)，(3.3.8)，这就 使得我们能够在逼近方程两边施行对偶积，并得到逼近解的界.利用这一改进的方法，本文改进并推广了Papalini，Papageorgiou，Mawhin以及 Frigon等人工作的部分结果。 本文的第二部分也分为三章.在第四章，我们继续研究边值问题这里，g(t,)是一族下半连续的真凸函数，边界条件是用凸函数的次微分表示的 。解决这一问题的难点在于g(t,)的有效域是随t变化的，逼近解的界无法用上面的方法得到，我们的讨论是围绕函数族g(t,)展开的.在一些合理 的条件之下，我们证明了g(，)的Nemytskij泛函g仍是下半连续的真凸函数，其次微分等同于()g(t,)的Nemytskij算子.这样，再次利用不动点原 理，我们解决了一类微分包含解的存在性问题，同时得到了一个Banach空间上极大单调算子的嵌入定理(见第四章，定理4.15)，该定理具有很高的理 论和应用价值。 最后两章研究的是具有周期边界的二阶微分系统.通过在函数空间上引入合适的能量泛函，我们把解的存在性问题转化为一个求能量泛函临界点的 问题， 这里有两个模型，第五章处理的是第一个模型对于这一模型，我们定义泛函=()+，这()是从函数族g(t,)导出的凸泛函，是一个与 f(t,)相关的局部Lipschitz泛函.利用广义PS-条件以及最小作用原理，我们证明了下面问题的解是存在的，它仍被称为泛函的临界点，这一模型 在边值问题中有更广泛的应用.第五章的结果还可以抽象出来，作为临界点理论的一个补充(见第五章，定理5.10)。 最后一章讨论的模型二也是一个数值微分包含，我们的讨论集中在弱AR条件上(见H(f)(iu)，运用非光滑C-条件以及非光滑形式的山路引理，我 们证明了模型二的正解的存在性，这是第一次在周期问题中讨论弱AR条件.在第六章的最后，多解及同宿解的存在性也一并加以讨论， 综上所述，在这篇文章中，我们研究了二阶微分包含的边界值问题.以集值分析，凸分析与非光滑分析以及临界点理论为理论根据，本文研究了几 类模型的解的存在性及多样性，引入并讨论了两个新的模型(第四、五章).这项工作推广了Papageorgiou，Papalini以及Frigon等学者的部分研究成果 ，其试用的方法可供这一领域的其他研究者借鉴。 4.期刊论文 刘琼.LIU Qiong 一类跳阶乘不等式的控制证明 -邵阳学院学报（自然科学版）2008,5(2) 本文给出了一类跳阶乘不等式,并借助凸函数的一个控制不等式,给予其控制证明. 5.学位论文 钱永立 Banach空间中的若干几何性质 2009 Banach空间凸性与光滑性的研究是Banach空间几何理论的重要内容。Banach空间几何理论的研究是从Banach空间单位球的凸性开始的，由于凸性 具有非常鲜明的直观几何意义，凸性的研究吸引了无数的数学工作者，人们详细地讨论了各种凸性的性质和它们在控制理论、最佳逼近以及不动点理 论中的应用；而光滑性，一方面作为凸性的对偶性质而被提出，另一方面，它与范数（它是一种特殊的凸函数）的各种可微性有密切的联系，因此也 得到了深入的研究。到目前为止，Banach空间凸性与光滑性的研究虽然比较完善，但是由一些已知的凸性和光滑性直接推广到某些凸性和光滑性的研 究还不是很完善。本文进一步探讨了Banach空间的某些凸性和光滑性，并研究了它们与已知凸性和光滑性的关系，得到了较好的结果。 随着J.A. Clarkaon引入一致凸，国内外对凸性和光滑性的研究也日趋盛行。本文引入了Banach空间的平均强凸性，从而推广了原有凸性的结果。 对于本论文的主要内容介绍如下。 首先，介绍了凸性和光滑性在国内外研究现状，简要介绍了本论文的主要研究内容。 其次，给出了平均强凸和平均强暴露泛函的定义，给出平均强凸的等价定义，讨论了平均强凸与强凸、平均一致凸的关系。 再次，主要讨论了K-强凸、K-很凸与K-平均强凸空间。给出了K-强凸与K-一致凸、K-强凸与K-严格凸、K-强凸与K-很凸、K-极凸K-很凸之间的关 系。 最后，主要讨论了Banach空间上凸集的凸性。给出了严格凸集、一致凸集K严格凸集和K一致凸集的定义，得到严格凸集和一致凸集的性质以及K严 格凸集和K-一致凸集的性质及它们之间的关系。 6.期刊论文 石焕南.SHI Huan-nan Bernoulli不等式的控制证明及推广 -北京联合大学学报(自然科学版) 2008,22(2) 利用控制不等式理论并结合分析的方法,给出了经典Bernoulli不等式的3种已知的推广的新的证明.此外,利用初等对称函数的Schur凹性和简单的 控制关系建立了该不等式的一种新推广. 7.学位论文 张勇 不确定系统鲁棒滤波研究 1999 该文对不确定系统的鲁棒滤波算法进行了比较深入和全面的研究,得到以下结果:提 出了线性离散不确定系统的鲁棒最小方差滤波新算法.与现有 同类算法相比,新算法 计算简单,进一步研究和分析比较容易.滤波结果相对于设计中可选参数的变化呈 凸函数特性,可方便地得到鲁棒滤波的全局 最优解.研究了鲁棒滤波器存在的条件 .在不确定参数不改变系统原有稳定特性的前提下,只要受不确定参数影响的子系统 二次稳定,即可保证鲁棒滤 波存在.放宽了目前一些鲁棒滤波算法要求整个系统二次 稳定的条件,可扩大理棒滤波的应用范围.应用鲁棒滤波思想研究了一类特殊不确定 系统区 间系统的鲁棒滤波设计方法.利用区间有理函数的单调包含特性,给出了区 间卡尔曼滤波算法,可得到所有滤波最优解的取值区间.利用不确定系统的鲁 棒滤波 新算法,得到了区间系统的鲁棒验前滤波算法,相对区间系统的标称系统来说该文给 出的鲁棒验后滤波是无偏的.研究了含不确定项仿射非线性 系统的鲁棒H滤波问 题.提出了一个不确定项的通用表达式,并证明了该表达式的通用性.该文对不确定 系统的鲁棒滤波进行了深入研究.仅得到 了鲁棒滤波算法,而且将其在飞行数据处理 中进行了实际应用,取得了满意的效果. 8.学位论文 刘琳 动态不确定环境下生产调度算法研究 2007 生产调度的目的是在有限时域内为生产任务分配有限的车间资源来优化一个或者多个性能指标。以往的关于调度的研究主要集中在理想的调度环 境，一般都是以确定性的数学模型为基础，与实际的车间调度环境存在很大差别。在实际的制造车间中，往往存在着很多动态不确定因素，如加工时 间变动、机器故障或者交货期变更等。如何在生成预调度时考虑到不确定因素的影响，已经成为解决实际问题的关键。不确定因素可以分为部分已知 和完全未知两类，对于第一类情况，在建立预调度优化模型时，就应考虑这些因素的影响，可以有效提高调度的鲁棒性和稳定性：而对于第二类情况 ，采用反应式的重调度是适应环境变化的最好解决方式。在动态不确定环境下的调度问题，其计算复杂度远远超过了静态调度问题，使得以往的研究 方法难以直接应用，对问题的求解提出了更高的要求。本文围绕着动态不确定环境下的调度问题展开研究，主要研究了三种典型的情况：加工时间不 确定、机器随机故障和工件到达时间未知。 本文的主要工作包括如下五个方面： 1.首先研究了加工时间不确定的单机Just-In-time调度问题。因为在加工时间确定时，不存在一个多项式时间算法得到问题的最优调度，所以采 用了绝对鲁棒指标以最小化所有可能加工时间下的最大代价，这是一个minimax优化问题。在给定调度顺序后，内层max优化问题的决策空间是加工时 间构成的凸多面体，而优化目标是关于加工时间的凸函数，则可以在凸多面体的顶点取得max问题的极值，因此大大降低了问题的搜索空间。根据 minimax问题特性设计了一种两层遗传算法，与以期望时间为基础的确定性调度算法相比，在多种加工时间情况下设计的算法得到了更加鲁棒的调度。 2.将对不确定加工时间情况下的鲁棒调度问题的研究从单机扩展到JobShop。相对于单机问题，JobShop中的约束更加复杂，增加了同一工件所有 工序的先后顺序约束，因此不具有类似于单机内层max问题的特性，其搜索空间为整个加工时间的可行域，大大增加了计算复杂度。相对于解决单机问 题的两层算法，从兼顾算法性能和计算效率的角度出发，设计了一种双空间协同进化遗传算法，仿真测试表明了算法的有效性。 3.研究了机器随机故障情况下兼顾稳定性的单机鲁棒调度问题，该问题是一个双目标优化问题。在调度执行之前，无法获得真实的性能指标，因 此采用期望指标。通过将多次故障集结为一次故障，并采用右移重调度处理故障，简化了对调度的鲁棒性和稳定性指标的估算。采用权重和方法将双 目标转化为单目标问题，设计了两阶段多种群遗传算法有效确定双目标优化问题的Pareto最优解。在仿真试验中，对四种不同方法进行了对比分析 ，同时比较了随机权重和固定权重情况下算法的性能，结果表明了随机权重比固定权重具有更好的搜索能力。 4.将单机的研究成果扩展到机器随机故障情况下兼顾稳定性的JobShop鲁棒调度问题。与单机问题求解算法的不同之处在于染色体的编码方式，不 仅包含了表达工序优先关系的基因，还包含了计算插入空闲时间大小的基因。由于JobShop自身约束的复杂性，对调度的鲁棒性和稳定性指标计算更加 困难，因此采用了采样方法进行估算。在仿真试验中，对未考虑空闲时间影响和考虑空闲时间影响的两种算法进行了对比分析，结果表明了后者比前 者较大程度改善了稳定性，对鲁棒性的影响程度很小。 5.对工件到达时间未知的动态JobShop滚动重调度问题进行了深入研究，提出了关键工序集的概念。在滚动时域分解方法框架下，以时间窗口作为 滚动窗口，设计了基于关键工序集的滚动重调度算法。采用混和遗传算法有效地确定关键工序集及其最优调度顺序，对关键工序集之外的工序，采用 了分派规则确定在机器上的加工顺序，最后以完全调度的目标值评价染色体的适应度。与基于完全工序集的算法相比，大大降低了搜索空间。仿真试 验表明，基于关键工序集的算法极大提高了计算效率，对全局性能指标的影响程度很小，为实际生产中的大规模动态调度问题提供了一种新思路。 9.期刊论文 吴善和.石焕南 一类无理不等式的控制证明 -首都师范大学学报(自然科学版)2003,24(3) 利用控制不等式理论建立一类新的无理不等式,它们或推广或加强了已知不等式或给出已知不等式的反向估计. 10.学位论文 南余荣 多电机传动系统协调控制及其在直进式拉丝机中的应用 2007