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实验5 微分方程 - 33 -实验5 微分方程实验目的1理解方向场、积分曲线的含义2掌握利用软件求解微分方程的解析解的方法3掌握利用软件求微分方程数值解的方法4了解一种微分方程解的稳定性分析方法实验准备1微分方程、方向场、积分曲线的定义2复习一阶微分方程的解法3复习常系数线性微分方程的解法4自学常微分方程的数值解法实验内容1常微分方程的方向场与解曲线2常微分方程的解析解法3常微分方程的数值解法软件命令表5-1 Matlab常微分方程命令函数名称调用格式说 明symssyms 变量名1,变量名2,定义符号变量symsym(x,)定义符号变量dsolvedsolve(常微分方程表达式)求通解dsolvedsolve(常微分方程表达式,初始条件)求特解odeode23,ode45数值解quiverquiver(X0,Y0,X1,Y1,)绘制向量实验示例【例5.1】微分方程的斜率场和积分曲线画出方程的斜率场,以及积分曲线;【原理】:对一阶微分方程如果解存在,设解为,点的切线与x轴的夹角为,斜率为。斜率场就是在平面上的每一点处的切线矢量或构成的矢量场,从斜率场可以大致看到过某个点的解曲线的走向。注意:方程中,:当时,夹角为锐角;当时,夹角为钝角;而 为奇解。【步骤】:【Step1】:确定绘制区域并划分网格;【Step2】:计算切线矢量;【Step3】:绘制斜率场;【Step4】:定义微分方程;【Step5】:选定初始值求解微分方程;【Step6】:在同一个坐标系中绘制解曲线。【程序】:参见Exm05Demo01.m。【输出】:见图5-1。图5-1 斜率场和解曲线【例5.2】常微分方程的解析解(1)求方程组满足条件,的特解。(2)求欧拉方程的通解。【步骤】:【问题1】程序代码:syms x y;f=D2x+y=0,D2y-4*x=0; x,y=dsolve(f,x(0)=0,Dx(0)=1,y(0)=0,Dy(0)=2)输出结果:x =-1/2*exp(-t)*cos(t)+1/2*exp(t)*cos(t);y =exp(-t)*sin(t)+exp(t)*sin(t)【问题2】程序代码:syms t y;f=t3*D3y-t2*D2y+2*t*Dy-2*y=t3;y=dsolve(f)输出结果:y =1/4*t3+C1*t+C2*t2+C3*t*log(t) 【例5.3】常微分方程的数值解法(1)求方程在区间0,20上满足条件的数值解,并画出数值解的图形。(2)求解初值问题,并绘制斜率场及解曲线。【步骤】:【Step1】:单独定义微分方程;【Step2】:利用ode函数求解微分方程;【Step3】:绘制解曲线。【程序】:【问题1】程序:参见Exm05Demo03_1.m;【问题2】程序:参见Exm05Demo03.m。【输出】:见图5-3。问题(1)的图形问题(2)的图形图5-3实验练习1求解下列微分方程的解析解:(1)求方程的通解,其中为常数,并绘制积分曲线;(2)求方程,并绘制方向场及解曲线;(3)求方程组的特解,并绘制解曲线。2用欧拉法求下列微分方程的数值解,步长:(1);(2)。3流行病的一般模型。流行病的数学模型描述如下:设有一含L个成员的群落,其中有P个感染个体,Q为未感染个体。令表示时刻感染个体的数量。对于温和的疾病,如普通感冒,每个个体保持活性,流行病从感染者传播到未感染者。由于两组间有PQ
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