数学建模--湖水的自我净化问题

湖水的自我净化问题摘要本问题是一个数学模型问题，即容积大的湖被某种物质污染，从某个时刻开始污染源被切断，湖水开始更新，更新速度要求污染物浓度的降低需要多长时间。 解决本问题需要运用微元法的思想。 即，短时间内流出的湖水污染物的浓度不变，然后利用湖水污染物的变化量和流出的湖水污染量的关系，导出该方程式求微分方程式，利用Matlab中的dsolve函数求解该微分方程式，求污染物浓度降低到原来的所需时间。 本模型涉及解微分方程，因此模型应用广泛，可以应用于动态分析问题，利用该模型可以解决许多实际生活和生产问题。关键词：微元法微分方程动态分析Matlab一、问题的再讨论1.1背景资料和条件容积为“单位”的大湖被某种物质污染，污染物均匀分布在湖中。 从某个时刻开始污染源被切断的情况下，湖水更新的速度设为(单位：) 试制了求出污染物浓度降低到原来浓度需要多长时间的数学模型。1.2需要解决的问题湖泊容积要求，在湖水更新速度低的条件下，污染结束后，污染物降低到原来的所需时间。二、基本假设2.1模型假设1 )假设1 :湖水体积不变。2 )假设2 :污染物总是均匀分布在湖泊中。 (合理性假设看背景资料和条件。 中所述情节，对概念设计中的量体体积进行分析3 )假设3 :污染物浓度在很短的时间内没有变化。 (微元法思想)2.2本文的引用数据、资料都是真实可靠的。三、符号说明3.1型号的符号说明A:B:C:是污染源中断、湖水更新的时间(单位：天)。四、建立和解决模型4.1建立模型一开始天内湖水中污染物的变化量由于流入湖中的水没有污染物，白天更新流出污染物的量如下利用湖水污染物的变化量=流出湖水的污染量：微分方程式求得如下，转换后，您可以，然后，用Matlab的dsolve函数求出微分方程式，代入求出时间。4.2型号概述本问题利用微元法的思想，利用湖水污染物的变化量和流出湖水的污染量排列方程，求出微分方程式，然后利用Matlab中的dsolve函数求出微分方程式，最后通过代入条件求出时间。4.3模型的运用与解决求出该微分方程式后，利用Matlab的dsolve函数求出，在Matlab中执行后，利用Matlab编程求出，代入条件求出结果，标绘湖水的自净化过程(图1 ) (程序参照附录)。图1这里，横轴是时间(单位：日)，纵轴是关系的百分比。 红色星号标志着污染浓度恢复原样时的点。 由图可知，湖水的自净化率呈下降趋势。4.4模型的结果代入、求出保留一位小数。 也就是说，污染物质的浓度下降到原来的浓度所需要的时间是每天。五、模式分析5.15.1 .假设的合理性分析湖水体积变化，主题不可能，因此这一假设是必要和合理的。 污染物始终均匀分布在湖泊中，主题条件已经给出，因此这一假设合理可靠。 在短时间内污染物浓度不会发生变化，因为这是一种利用微小区法的思想，所以假设的合理性是毫无疑问的。5.2模型的误差分析本模型的误差主要是数字处理，即留下几个问题，即有舍入误差，本问题在最后的结果中留下了一位小数。六、模型的检查由于难以求出实际的数据，因此通过模型计算求出的数据难以与实际的数据进行对照，因此无法计算误差的大小。 但是，本模型取得的数据精度不同，结果也不同。 模型分析表明，产生该模型误差的原因主要是数据精度，其他因素的影响较小。 在本问题中，在我取得的精度上产生的误差在模型的推定和实际许可的范围内。七、模型的推广由于我的模型利用微分方程，微分方程常用于动态分析，可以解决动态分析的问题，所以我的模型很多时候可以应用。 除了应用于正题湖水自净化问题之外，还可以利用实时监测将模型应用于其他模型(例如海洋石油泄漏、水污染等)，对于被动模型(例如切尔诺贝利核电站事故)，可以在某一时刻初始值实现今后各时刻的实时预报，降低风险此外，该模式也可用于社会活动。 例如，公共场所的应急安全分析将大量的人应用于被动场所的模型，指导避难和避难。总之，如果是与动态分析相关的问题，因为可以引用本模型来解决，所以本模型的应用也是广泛有用的。 而且数学既不枯燥又不单纯的数字，数学通过数学建模可以解决很多实际的生活和生产问题，所以数学很重要，需要学好数学。八、模型评价与优化8.1模型评估本模型简单实用，能够解决大量的动态分析问题，在实际生活和生产中具有重要作用，许多实际问题使用了该模型。 模型的制作简单，模型的求解也容易，但该模型的作用很大。8.28.1 .模型的优缺点分析8.2.1机型的优点利用微元法思想建立模型，模型为微分方程，微分方程解决动态分析，因此模型应用广泛有意义。 该模型可应用于实时监测，也可应用于公共场所的应急安全分析。8.2.2模型的缺点因得不到实际结果而无法进行误差分析是本模型的主要缺点。 因为误差分析不顺利，所以不知道求出的结果的好坏，而且也不知道制作的模型的好坏，模型的评价不顺利。8.3模型优化模型中存在舍入误差，因此如果想求得的结果正确，模型中有意义，则数值的选择特别注意，数据的精度高，选择精度高的数据时，所得结果正确，模型也被优化。参考文献1赵静，但琦.数学建模与数学实验M .北京：高等教育出版社，20082胡运权.运营计划学教程(第三版) M .北京：清华大学出版社，20073白峰杉.数值计算引论M .北京：高等教育出版社，20104陈冬彦、李冬梅、王树忠.数学建模M .北京：科学出版社，20075萧邦数学实验M .北京：高等教育出版社，1999附录Ask1.mw=dsolve(Dw=-r*w/V，t )Ask2.mr=4.121*1010；V=5.176*1012；t=-V*log(0.03)/rAsk