正交试验设计

正交试验设计法17正交试验设计利用“正交表”选择试验条件，利用正交表特征进行数据分析，找到最佳或满意的试验条件，适用于多要素的设计问题。 正交试验法的理论基础是正交拉丁方论和群论。 找到工作中可利用的多种要素优良的工作方法，一是从优选区的某一点开始考试，逐步达到优点，这种实验方法被称为逐步连贯考试法，例如要素交替法、登山法等，另一种是在优选的区域内一次性配置考点，分析这些考试结果科学研究普遍采用正交试验法。 这是因为具有以下优点实用上根据表格安排考试，使用方便布点均衡，试验次数少正交试验法中的最佳点不一定是全面试验的最佳点，但多是相当好的点。 特别是只有1、2个要素发挥主要作用的情况下，正交试验法可以保证主要要素的各种可能性不泄露。 这是一项探索性的工作很重要，其他考试方法不行正交试验法提供分析结果(包括相互作用)的方法，结果易于直观分析。 通过在各测试水平重复相同次数，可消除一部分测试误差的干扰由于具有正交性，易于分析各要素的主要效果。名词解释：1试验要因：影响评价指标取值的量称为试验要因(因子)，一般记为a、b、c等。 定量因素、可控因素、定性因素、不可控因素等。2要素的位次(等级):试验要素所处的状态。4评价指标：用于测定根据试验目的选定的试验效果的测定值(指标)。5完整元素级别组合：参与实验的所有元素与所有级别之间的所有组合次数，即所有实验次数。6部分要素水平的组合：单要素转换法正交试验法7正交表的符号：正交表是采用组合数学理论根据正交拉丁名构筑的标准化表。 符号： Ln(ji )在此：L-正交表的符号n-正交表的行数(试验次数、试验方案数)j-正交表中的数字(元素的位数)i-正交表的列数(试验要素数)N=ji-全部试行次数(完全原因位级别组合数)也就是说，利用正交试验法的设计方案，结合代数方法分析数据，具有加快试验收敛速度、极大提高试验效率的效果。 利用实验结果获取更多信息，准确掌握效果趋势规律，并大大减少实验次数超出选定水平的范围和精度。 该并用技术在能够得到定量结果和结果的定量化容易，测试成本高的情况下有效。正交实验设计如果设计要求的实验次数太多，那么一个非常自然的想法是从设计级别的组合中选择一些代表性级别的组合来进行实验。 因此，出现了分式分析因子设计(fractional factorial designs )，但对于实验设计知识较少的实务人员来说，选择合适的分式分析因子设计是很困难的。正交试验设计(orthogonalexperiencedesign )是研究多因素多水平的另一种设计方法，基于正交性从全面试验中选取代表性的点进行试验。 这些具有代表性的特点是“均匀分散，可比较”，正交试验设计是分析原因设计的主要方法。 是一种高效、快速、经济的实验设计方法。 日本着名的统计学家田口玄一将正交考试中选出的水平组合称为正交表。 例如，通过三元三级实验，对于全面实验要求，必须做33=27种组合的实验，而不能考虑每个组合的重复次数。 如果用L9(3)3正交表并列实验的话，9次，用L18(3)7正交表实验18次的话，功能明显大幅度减少了。 因此，正交实验设计在许多领域的研究中得到广泛应用。1 .正交表正交表是一系列规则的设计表。 l是正交表的符号，n是实验的次数，t是水平数，c是列数，即能够配置最多的要素的数量。 例如，L9(34 )、(表11 )表示需要9次实验，最多可以观察到4个因素，各因素为3级。 在一个正交表中，各列的电平数也不相等，被称为L8(424 ) (表12 )那样的混合型正交表，在该表的5列中，1列是4电平，4列是2电平。 如从正交表的数据结构可知，正交表由n行c列的表构成，第j列由数字1、2、SJ构成，这些数字分别出现N/S次，例如，在表1-1中，第2列的数字的数目由3、S=3，即，1、2、3构成，各数字分别出现2次。正交表具有以下两个性质(1)每列出现不同数字的次数相等。 例如，在两个水平正交表中，每一列都有数字“1”和“2”，每一列都有数字“1”、“2”、“3”，每一列的出现次数相等，如同三水平正交表一样。(2)任意两列数字的排列齐全平衡。 例如，在两水平正交表中，任意两列(同一横行内)顺序对有四种： (1，1 )、(1，2 )、(2，1 )、(2，2 ) . 各对数的出现次数相等。 在三级的情况下，任意两列(同一横行内)的秩序对共计9种，为1.1、1.2、1.3、2.1、2.2、2.3、3.1、3.2、3.3，各对的出现数也相同。以上两点充分体现了正交表的两个优势，即“均匀分散性、整齐的比较”。 一般而言，正交性是各要素的各级与其他要素的各级分别相撞一次。2 .相互作用表各正交表附有相互作用表，专门用于相互作用试验的安排。 表14是L8(27 )表相互作用表.在安排交互实验时，将两个要素的交互作为新要素，占有一列，作为交互列，可以从表14中检测出L8(27 )正交表的任意两列交互列。 表中具有()的主要元素的列号。 在与另一个主要元素的交互列中，第一列编号为从左到右，第二列编号为从下到上，两个交叉编号为交互列。 例如，如果a要素是第(1)列、b要素是第(2)列、两个数字交叉点是3，则第3列是AB相互作用列。 此外，还发现第4列和第6列交替排列为第2列等。3 .正交实验报头设计是正交设计的关键，因为报头设计承担着将各要素和相互作用合理分配到正交表各列的重要任务，报头设计就是设计方案。题头设计的主要步骤如下：(1)根据决定列数的实验目的，选择处理要素和不可忽视的相互作用，明确其总数，对研究中的一些问题不太了解的话，列数可以多，但一般不能太多。 每个试验编号没有重复，只有1个试验数据的情况下，设置2个以上的空白列，可以用于计算误差项。(2)决定各要素的水平数据研究目的，一般的二水平(有无)可用于要素筛选的试验次数较少，也适用于批量进行的研究。 三水平可观察变化趋势，选择最佳组合的多水平可一次满足试验要求。(3)根据决定的列数和水平数(t )，选择对应的正交表。 例如，如果观察五个元素的八个层次的交互并且保留两个空白列，并且每个元素取两个层次，则适当地选择L16(215 )表。 由于存在多个相同等级正交表，所以如L8(27 )、L12(211 )、L16(215 )那样，一般比表中的列数需要观察的个数稍多即可，因此省去了工夫。(4)标题的配置应优先考虑不能忽略交互的处理要素，根据不能混淆的原则，首先将标题放置在标题中，然后将其馀各要素任意放置在各列中。 例如，某项考虑4个要素a、b、c、d及AB的相互作用，各要素均为2级，选择L8(27 )表。 因为AB的2要素需要观察相互作用，所以将两者优先配置在第1、2列，从相互作用表来看，AB应该配置在第3列，c配置在第4列，AC的相互作用配置在第5列，BC的相互作用配置在第6列，虽然没有考虑AC和BC，但是为了避免混淆，d配置在第7列。(5)组织实施方案根据选定的正交表中各要素占有列的水平列构成实施方案表，按实验编号顺序进行n次实验，每次实验按表中横行的各水平组合进行。 例如，L9(34 )表示配置4个要素时，第一次实验a、b、c、d要素全部为1级，第二次实验a的要素为1级，b、c、d为2级，第九次实验a、b的要素为3级，c的要素为2级，d的要素为1级。 实验结果的数据记录在该行的末尾。 因此，整个设计过程可以用“要素顺序向上排列，水平指定，实验横行”这一词汇总结。4 .两级交互式正交实验设计与方差分析例8某研究室研究了影响某试剂回收率的三个因素，包括温度、反应时间、原料配比在内，各因素均为两个水平，各因素及其水平如表16所示。 用L8(27 )正交表进行实验，实验结果如表17所示。首先，Ij和IIj，Ij计算第j列第1电平的各测试结果与值之和，IIj计算第j列第2电平的各测试结果与值之和。 然后进行方差分析。 过程包括：求：总方差平方和各列的方差平方和SSj=本例各列的平均差平方和如表10的最下行所示。 即各空列SSj之和。 即误差平方和自由度v是各列的水平数减去1，相互作用项的自由度是交叉要素的自由度的积。分析结果如表18所示。由表18可知，=0.05水平时，只有c因子和AB的相互作用具有统计学意义，其馀各因子没有统计学意义，a因子的影响最小，相互作用AB的影响大，其二水平优异。 在C2的情况下，B1A2和B1、A1这两种组合的情况下回收率最高。 考虑到b因子的影响大于a因子的影响，b中选择B1较好，因此选择A2B1。 这样最终决定最佳配方的是A2B1C2，即80，反应时间为2.5h，原料配比为1.2:1。用计算机进行统计分析，数据只是输入试验要素和实验结果的内容，不输入互动界的内容，根据标题定义分散分析分析模型。1 .正交试验法评价正交试验法的理论基础是正交拉丁方论和群论。 找到工作中可利用的多种要素优良的工作方法，一是从优选区的某一点开始考试，逐步达到优点，这种实验方法被称为逐步连贯考试法，例如要素交替法、登山法等，另一种是在优选的区域内一次性配置考点，分析这些考试结果科学研究普遍采用正交试验法。 这是因为具有以下优点实用上根据表格安排考试，使用方便布点均衡，试验次数少；正交试验法中的最佳点不一定是全面试验的最佳点，但多是相当好的点。 特别是只有1、2个要素发挥主要作用的情况下，正交试验法可以保证主要要素的各种可能性不泄露。 这是一项探索性的工作很重要，其他考试方法不行正交试验法提供分析结果(包括相互作用)的方法，结果易于直观分析。 通过在各测试水平重复相同次数，可消除一部分测试误差的干扰由于具有正交性，易于分析各要素的主要效果。但是，存在一些缺点：它提供的数据分析方法所得到的优选值只是试验中使用的一些水平的组合，优选的结果不超出取得的水平范围，而且不能给进一步的试验提供明确的方向性，试验还有很强的摸索性色彩，不太准确这样，正交试验法在初步筛选中收敛速度慢，难以确定数据的变化规律，增加试验次数。 尤其在考试工作繁杂、费用高时更为明显。2 .正交试验法的代数基础实验的优点可以用数学语言求出多维连续空间上的最大或最小值(极值)。 然而，现实实验的工作往往没有可用的数学模型，不能准确地了解数据变化的数学规律。 因此，在处理上，能够首先求出其数学模型，计算极值，或者从试验点的组合直接推定良好的值作为良好的解。实际上，高等数学中的泰勒级数： f(x)=f(n)(x0)(x-x0)n/n！ n=0 ，为了求复杂函数的近似解，利用了其收敛原理。 即使考试优秀，也可以使用泰勒级数的数项代数式对记述考试对象的“数学函数”进行近似拟合，代入各考试的结果，得到一组线性方程式，使用解析法求出方程式的优势值，即曲线的极点。显然，如果数据量很大，则可以使用高阶幂级数一次求解精确拟合曲线或函数。 只需通过微小的进一步实验来证实，寻求优秀的东西，就能完成实验。缺点：代数方法不能提供好的试验规划方案。 因为正交试验法的规范直观，数据难以处理，所以不怎么被人们使用。以上分析表明，两者都很优秀，各有优点。 如何弥补长短呢？3 .两者的共同运用原理以L9(34 )三水平标准正交表为例进行说明. 应当理解，L9(34 )有9次实验，如果对各要素使用二次方程拟合，则各要素之间没有相互作用有独立的作用。 用代数方程表示的话f(x1，x2，x3，x4)=a0a1x2a 12 x3a4x 22 a5x3x 32 a7x4a8x 42将每个xi的值代入，可以得到包括9个未知数的9个线性方程式，可以求解每个ai。 用多元函数求极值的方法可以获得更好的值。 这样，一组考试就能得到好的结果，而且不限于水平取值的范围，对考试还有更强的指向性。显然，从正交表获得的线性方程式的所有系数矩阵均为全秩，且对应的线性方程式具有唯一解，即实验的优点是唯一的： AX=B X=A-1B其次，关于要素间的相互作用，在代数处理中可以用要素间的乘法项来表现： ximxjn。 (很明显，代数法也可用于分析多元相互作用等问题。 中所述情节，对概念设计中的量体体积进行分析以上分析表明，正交试验法有其代数基础。标准正交表中，各要素的基本适合级数的最高幂次从其水平数中减去1，这一点很容易看出来。备注关于均匀设计在均匀设计中，如3要素7级的试验方案那样，仅7次试验就是U7(73 )。 这种均匀设计的7次实验也可以用代数法求解，各要素分配二次幂，设定常数项，但难以保证数据的正交性。 正交试验法的处理容易明确理解。第五章正交试验的设计方法5.1试验设计方法概要实验设计是数理统计学的一个重要分支。 许多数学统计方法主要用于分析已经获得的数据，而实验设计则是决定数据收集的方法。 试验设计方法主要探讨试验配置合理的方法和分析试验中获得的数据的方法等。例5-1某化工厂为提