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孟生旺、刘乐平、肖争艳 编著,非寿险精算学(第三版) ,中国人民大学出版社,2015。 1 非寿险精算非寿险精算学学 (第三版)(第三版)参考答案参考答案 第第1章章 非寿险简介非寿险简介(略)(略) 第第2章章 损失模型损失模型 2.1 首先将 2005 年和 2006 年的损失折现到 2004 年中: 2005 年平均损失金额的折现值为:9 .1090 %101 1 1200 2006 年平均损失金额的折现为: 7 .1239 %101 1 1500 2 2004 年的平均损失金额为: 12 E1090.91239.71190.1 33 x 而Pareto, 分布的期望是 E 1 x 用损失次数进行加权,得 13 1 .11907 .1239 3 2 9 .1090 3 1 ,得 = 2380.2 2.2 2 3 0 2 E( )d ()2 1 xxx x 由题意可知,2007 年平均索赔金额的期望值为: ( 5001.053100+6001.052150+7001.05200 ) 450 = 675.8 即:E(x) = 675.8 = 从而, 的矩估计值为 675.8。 2.3 (1,2,;) = =1 L(1,2,;) = (1,2,;) = =1 对L(1,2,;)关于 求偏导并令其等于 0,有: =1 = 0 解得, x x n n i i 1 1 2.4 1 0 11 ( )E()d(1) ,() i nn xtxtx xiiii ii i t M teeaexat 2.5 孟生旺、刘乐平、肖争艳 编著,非寿险精算学(第三版) ,中国人民大学出版社,2015。 2 2 2 22 ( )()20 1002000 ( )() ()()() ()() 20(100100 )400000 E SE X Var SVar X E NVar NE X Var XE X 分位数=( )2.326( )3471E SVar S 2.6 令 20,20 20, 0 XX X Y为保险人的赔款随机变量。 E(Y) = E(X-20|X20)P(X20)+0P(X20)dx + 20 P(X20)= (x-20)f(x)dx + 20 P(X20) P(X20) =(x-20)f(x)dx=(x-20)0.2e-0.2xdx=5e-4 + 20 + 20 2.7 4 4 4! P xe , 1 1 41 24 P xe, 2 24 16 24 exP P(l =1|x =4)= e-1 24 0.6 e-1 24 0.6+ 16e-2 24 0.4 =0.2031 P(l =2|x =4)= 16e-1 24 0.4 e-1 24 0.6+ 16e-2 24 0.4 =0.7969 E1412420.2031 1 0.7969 21.7969PxPx 2.8 2 2 2 22 337 333/2 ( )()20 1002000 ( )() ()()() ()() 20(100100 )400000 ( ) ()12 10 0.474 400000 E SE X Var SVar X E NVar NE X Var XE X E SE SE X 3 0 2 422 17.7786.667 10666.67x , 因此 S 的分布函数为 G(x+666.67; 17.778, 6.667 10-3),99%分位数=3687 2.9 为简化计算,假设一个货币单位为 5000 元,则有 fX(1)=0.8,fX(2)=0.2 孟生旺、刘乐平、肖争艳 编著,非寿险精算学(第三版) ,中国人民大学出版社,2015。 3 0.20.2 (0)0.818731,(1)(1)(0)0.2 0.80.130997 (2)(1)(1)2(2)(0)0.043229 2 SSXS SXSXS feefffe fffff 依此类推,其他计算结果如下表所示。 x ( ) S fx ( ) S F x 0 0.818731 0.818731 1 0.130997 0.949728 2 0.043229 0.992957 3 0.005799 0.998756 4 0.001097 0.999853 5 0.000128 0.999981 6 0.000018 0.999999 2.10 设 1 0 I ,火灾发生 ,火灾不发生 ,q = P (I = 1) = 0.04。对最高赔偿额为 Ai 的第 i 类保单,设 Xi为其理赔总额, i j Y,j = 1,ni为第 j 份保单获得的赔付额,则 = 1 + 2 + + 其中对每个 i, i j Y, (j = 1,ni)独立分布,设其分布与 IBi相同, Bi U (0,Ai),ui = E (Bi) = Ai / 2, 22 var()/12 iii BA,则总赔付额 S 为: 125 SXXX 55 11 E( ) 2 0.04 (80 1000035 2000025 3000015 500005 100000)70000 2 ii iiii ii n A Snu qq 22 555 229 111 Var( )(1)0.040.960.041.7072 10 412 iiii iiiiiii iii n An A Snu qqnq E( )E( ) (1) E( )99%99% Var( )Var( ) SSS P SSP SS E( ) 99% Var( ) S S , 1 E( ) (0.99)2.325 Var( ) S S 2.325 Var( ) 1.3724 E( ) S S 2.11 X 的矩母函数为() = 1 /d = 1 ( 1 )d = 0 0 (1 )1, 1 N 的母函数为 1 ( )1(1) N Pzz S 的矩母函数为 1 1 1 1 ( )( )1(1)11(1) 11 SNS MzPMzzz 孟生旺、刘乐平、肖争艳 编著,非寿险精算学(第三版) ,中国人民大学出版社,2015。 4 这是一个两点混合分布。 2 1 =0 1 ( ) exp0 (1)(1) s x fx x x , , FS(x)=1- 1+ exp(- x (1+),x0 2.12 设 N 表示下个月出行的航班数, 11 ( ,)NB n p, 1 70n , 1 0.98p 11111 E()68.6,Var()(1)70 0.98 0.021.372Nn pNn pp P 表示飞机上的人员数,M 表示飞机上的乘客数, 22 (,)MB np, 2 200n , 2 0.9p , 则 6PM, E( )6200 0.9186 Var( )200 0.9 0.1 18 P P 令 K 表示出行中发生事故的航班数,则 12 . N KIII, 99999. 01 , 0 00001. 0, 1 q q I j Nj,.,2 , 1 2 2 E()E()0.00001 68.60.000686 Var()EVar()VarE()(1)*E()*Var() 0.00001 0.99999 68.60.000011.3720.000686 KqN KI NI NqqNqN 令 S 表示下个月发生事故死亡的人员数: K PPPS. 21 则 22 E( )E( )E()186 0.0006860.1276 Var( )E()Var( )E( ) Var()0.000686 18 1860.00068623.745 SPK SKPPK 第第3章章 费率厘定费率厘定基础基础 3.1 赔付率=已发生损失/已赚保费=125000/200000=0.625 综 合 成 本 率 = 赔 付 率 + 经 营 费 用 率 = 赔 付 率 (1+ 理 赔 费 用 率 )+ 承 保 费 用 率 =0.625 (1+0.14)+0.25=0.9625 3.2 (1)2011 日历年,保单 A 已赚车年=520.5=5;保单 B 已赚车年=1020.5=10; 2011 日历年总已赚车年=5+10=15 (2)截至 2010 年 12 月 31 日, 2010 保单年保单 A 承保车年数=52=10;2010 保单年保单 B 承保车年数=102=20; 因此,2010 保单年承保的总车年数=10+20=30 (3)2010 日历年,保单 A 承保车年数=52=10;保单 B 承保车年数=102=20; 2010 日历年承保的总车年数=10+20=30 3.3 由 x aby 有 bxaylnlnln , 由最小二乘法, 设 5 1 2 lnlnln i ii bxayS。 孟生旺、刘乐平、肖争艳 编著,非寿险精算学(第三版) ,中国人民大学出版社,2015。 5 令 0 0 b S a S , 有, iiii ii yxbxax ybxa lnlnln lnlnln5 2 由 xi=15,xi2=55,ln yi=34.78659,xiln yi=105.24673 代 入 上 面 方 程 组 解 得 , 088695. 0ln 691233. 6ln b a 223404. 76088695. 0691233. 6lny,148.1371y 3.4 Y = 1.1X, f(x)= () x-1e-x 1 1.1 0 ( )()(1.1)()d 1.1( ) y x y F yP YyPxyP xxex f(y)= () ( y 1.1 ) -1 e- y 1.1 1 1.1 = () y-1( 1 1.1 ) e- y 1.1= ( 1.1 ) () y-1e- 1.1y 因此,Y 服从参数为(, 1.1 )的伽玛分布。 3.5 把 2008 年 7 月 1 日生效后的费率看作 1, 则 2009 年 7 月 1 日生效的费率为 1.08, 2011 年 7 月 1 日生效的费率为 1.081.1=1.188 年度 平均费率(1) 等水平因子 (2)=1.188/(1) 保费(3) 等水平保费 (4)=(3)(2) 2010 1.07=1 0.125+1.0 8 0.875 1.1103 200 222.0561 2011 1.0935=1.08 0.87 5+1.188 0.125 1.0864 250 271.6049 2012 1.1745=1.08 0.12 5+1.188 0.875 1.0115 300 303.4483 合计 797.1093 3.6 525 812 903 981 1029 1060 622 984 1100 1182 1235 1272.206 721 1132 1242 1327 1388.963 1430.808 861 1273 1383 1487.418 1556.872 1603.774 970 1504 1656.87 1781.965 1865.173 1921.364 1289 1988.036 2190.105 2355.459 2465.446 2539.721 进展因子(加 权平均) 1.542309 1.101642 1.075501 1.046694 1.030126 累计赔款累计赔款 孟生旺、刘乐平、肖争艳 编著,非寿险精算学(第三版) ,中国人民大学出版社,2015。 6 事故年 进展年 0 1 2 3 4 5 2010 525 812 903 981 1029 1060 2011 622 984 1100 1182 1235 1272.206 2012 721 1132 1242 1327 1389.216 1431.068 2013 861 1273 1383 1488.736 1558.535 1605.487 2014 970 1504 1659.490 1786.365 1870.118 1926.458 2015 1289 1992.209 2198.173 2366.232 2477.171 2551.800 进展因子(简单 算术平均) 1.545546 1.103385 1.076454 1.046884 1.030126 3.7 175 12.5 241.94 11 17.5%5% PF R VQ 3.8 如果理赔费用作为纯保费的一部分,目标赔付率为 1-15%-2.25%-5.6%-6.8%=70.35%。 如果把理赔费用作为附加费用处理,则目标赔付率为 1 15%2.25%5.6%6.8% 66.11% 1 6.42% 3.9 由 X 的分布计算得到: 121000 E()(123456) 1000 66 X 15 15008500 E(1500)1000 666 X 150015 15008550 E1000 1.0566 1.056 1.05 X 2003 年每次损失事故的实际赔付额为: * 0, 1500 1500, 1500 X Y XX * 21000850012500 E()E()E(1500) 66 YXX 2004 年每次损失的实际赔付额为: * 150013500 E()1.05E()E 1.056 YXX , * 1 * E()13500 1.08 E()12500 Y Y 故增长率为 8%。 3.10 首先计算引起赔付的概率: (50)0.20.150.1 0.05)0.5vP X PN*(z)=1-0.3(1+0.5(z-1)-1-10=1-0.15(z-1)-10 所以 N* 服从负二项分布,参数 = 0.15,r = 10。 3.11 2013 年签发的保单,其赔款平均在 2014 年 1 月 1 日支出。 2015 年 7 月 1 日签发的新保单,其赔款平均在 2016 年 7 月 1 日支出。 因此, 把 2013 保单年度的最终赔款调整到 2016 年 7 月 1 日的水平即为: 10001.052.5 孟生旺、刘乐平、肖争艳 编著,非寿险精算学(第三版) ,中国人民大学出版社,2015。 7 = 1129.73。 同样, 把 2014 保单年度的最终赔款调整到 2016 年 7 月 1 日的水平即为: 20001.051.5 2151.86。 保单年度 根据当前费率计算的保费 最终赔款 权重 经趋势调整后的最终赔款 经验赔付率 2013 2000 1000 0.3 1129.73 0.5649 2014 3000 2000 0.7 2151.86 0.7173 平均经验赔付率 = 0.56490.3+0.71730.7 = 0.6716。 费率上调幅度 = 0.6716/0.6-1 = 12%。 第第4章章 分类费率分类费率 4.1 地区 甲 乙 合计 车型 A 的风险单位数 1000 1500 2500 车型 B 的风险单位数 2000 3000 5000 车型 C 的风险单位数 1200 2500 3700 前两年的风险单位数 4200 7000 11200 车型 A 的相对费率 1.0000 0.8500 车型 B 的相对费率 0.7500 0.6375 车型 C 的相对费率 0.6500 0.5525 前两年的基本风险单位数 3280 4569 7849 前两年的赔款 75000 95000 170000 前两年的索赔次数 100 150 250 经验纯保费 22.87 20.79 21.66 当前业务的基本风险单位数 450 690 1140 初步的调整系数 1.0557 0.9600 信度系数 0.3040 0.3723 可信调整系数 1.0169 0.9851 经(9)调整的当前业务的基本风险 单位数 458 680 1137 平衡后的可信调整系数 1.0193 0.9874 当前的相对费率 1.0000 0.8500 调整后的相对费率 1.00000 0.82340 4.2 车型 甲 乙 合计 第一年的已赚保费 50000 70000 120000 第一年的费率 100 120 第二年的已赚保费 60000 80000 140000 第二年的费率 120 130 当前业务的已赚保费 110000 150000 260000 当前的费率 130 140 孟生旺、刘乐平、肖争艳 编著,非寿险精算学(第三版) ,中国人民大学出版社,2015。 8 按当前费率折算的前两年的已赚保费 130000 167821 297821 前两年的索赔次数 100 149 249 经验赔付率 0.5819 0.5622 0.5708 初步的调整系数 1.0195 0.9849 信度系数 0.3040 0.3711 可信调整系数 1.0059 0.9944 当前业务经可信调整系数调整后的保费 收入 110649 149160 259809 平衡后的可信调整系数 1.0066 0.9951 当前的相对费率 1.0000 1.0769 调整后的相对费率 1.0000 1.0646 4.3 纯保费法 风险类别 A B C 合计或平 均 地区 1 已赚风险单位数(1) 50000 30000 20000 100000 地区 2 已赚风险单位数(2) 60000 40000 20000 120000 已赚风险单位数合计(3)=(1)+(2) 110000 70000 40000 220000 地区 1 相对费率(4) 1.0000 1.2500 1.8750 地区 2 相对费率(5) 2.0000 2.5000 3.7500 基本风险单位数(6)=(1)(4)+(2)(5) 170000 137500 112500 420000 最终损失(7) 374000 0 380000 0 280000 0 10340000 经验纯保费(8)=(7)/(6) 22.00 27.64 24.89 24.62 调整系数(9)=(8)/(8)的加权平均值 0.8936 1.1226 1.0110 当前相对费率(10)=(4) 1.0000 1.2500 1.8750 调整后的相对费率(11)=(10)(9) 0.8936 1.4032 1.8956 以 A 为基础类别的相对费率 (12)=(11)/0.8936 1.0000 1.5702 2.1212 赔付率法 风险类别 A B C 合计或平 均 地区 1 已赚风险单位数(1) 50000 30000 20000 100000 地区 2 已赚风险单位数(2) 60000 40000 20000 120000 地区 1 当前费率(3) 40 50 75 地区 2 当前费率(4) 80 100 150 当前费率下的已赚保费(5)=(1)(3)+(2) (4) 680000 0 550000 0 450000 0 16800000 最终损失(6) 374000 0 380000 0 280000 0 10340000 经验赔付率(7)=(6)/(5) 0.55 0.69 0.62 0.62 调整系数(8)=(7)/(7)的平均项 0.8936 1.1226 1.0110 当前的相对费率(9)=(3)/40 1.0000 1.2500 1.8750 调整后的相对费率(10)=(8)(9) 0.8936 1.4032 1.8956 孟生旺、刘乐平、肖争艳 编著,非寿险精算学(第三版) ,中国人民大学出版社,2015。 9 以 A 为基础类别的相对费率 (11)=(10)/0.8936 1.0000 1.5702 2.1212 注:由此题可以验证纯保费法与损失率法是等价的。 4.4 最小二乘法 对Q = ( )2 , 关于求偏导并令其等于 0,可得: 2(2 ) = 0 两边同时乘以并除以 2,可得: 0 = (22 ) = ( ) 同理,关于求偏导并令其等于 0 再经过变形可得: ( ) = 0 令=,可得原题中的方程组。 最小2法 对Q = ()2 , 关于求偏导并令其等于 0,可得: 2 2 = 0 两边同时乘以有: 0 = 2 = ( + ) = ( + ) = (1 + )( ) 同理,关于求偏导并令其等于 0 再经过变形可得: (1 + )( ) = 0 令=1 + ,可得原题中的方程组。 边际总和法 由 = = 和 = = 可变形得: ( ) = 0 ( ) = 0 令=1,可得原题中的方程组。 直接法 由= ( ) = 两边同时乘以 、除以并移项可得: 0 = = 1 ( ) 孟生旺、刘乐平、肖争艳 编著,非寿险精算学(第三版) ,中国人民大学出版社,2015。 10 同理,由= ( ) = 可得: 1 ( ) =0 令= 1 ,可得原题中的方程组。 4.5 令地区的初始相对费率为:1 321 ,则由 ij ij j i ij ijjiji ji C C nn 和 可得第一次的迭代结果如下: 12 31 2 1902029130 1.2513,1.3241 8000 1 5200 1 2000 113600 1 6000 1 2400 1 2229033990 1.6390,0.9831 4000 1 8000 1 1600 18000 1.2513 13600 1.3241 4000 1.6390 25620 5200 1.25136000 1.3241 8000 1.63 3 0.9295 90 10830 1.3044 2000 1.25132400 1.3241 1600 1.6390 其他各次的迭代结果如下表所示。 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 车型 1.2513 1.2426 1.2423 1.2423 1.2423 车型 1.3241 1.3194 1.3188 1.3187 1.3187 车型 1.6390 1.6566 1.6579 1.6580 1.6580 地区 0.9831 0.9849 0.9851 0.9851 0.9851 地区 0.9295 0.9272 0.9271 0.9270 0.9270 地区 1.3044 1.3045 1.3044 1.3044 1.3044 因此“车型”和“地区”这两个分类变量的相对费率为 123 123 1.2423, 1.3178,1.6580 0.9851,0.9270,1.3044 车型: 地区: 由此可得各风险类别的纯保费如下表所示。 类别 地区 A 地区 B 地区 C 车型 1 1.2238 1.1517 1.6205 车型 2 1.2990 1.2225 1.7202 车型 3 1.6333 1.537 2.1628 4.6 (1)最小二乘法:令地区的初始相对费率为:1 321 ,则由 22 ijijj ijiji j i ij ijjiji ji n y n y nn 和 可得第一次的迭代结果如下: 孟生旺、刘乐平、肖争艳 编著,非寿险精算学(第三版) ,中国人民大学出版社,2015。 11 1= 80001.05001+52001.35001+20001.80001 800012+520012+200012 =1.2513 2= 136001.27501+60001.20001+24001.91251 1360012+600012+240012 =1.3241 3= 40002.06251+80001.42501+16001.65001 400012+800012+160012 =1.6390 1 222 2 22 8000 1.0500 1.2513 13600 1.2750 1.32414000 2.0625 1.6390 0.9974 8000 1.251313600 1.32414000 1.6390 5200 1.3500 1.25136000 1.2000 1.3241 8000 1.4250 1.6390 5200 1.25136000 1.32418000 1.63 2 3 222 0.9216 90 2000 1.8000 1.25132400 1.9125 1.3241 1600 1.6500 1.6390 1.2812 2000 1.25132400 1.32411600 1.6390 其他各次的迭代结果如下表所示。 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 车型 1.2513 1.2428 1.2422 1.2421 1.2421 1.2421 1.2421 车型 1.3241 1.3211 1.3203 1.3202 1.3202 1.3202 1.3202 车型 1.6390 1.6505 1.6522 1.6524 1.6524 1.6525 1.6525 地区 0.9974 0.9994 0.9997 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 地区 0.9216 0.9195 0.9192 0.9191 0.9191 0.9191 0.9191 地区 1.2812 1.2800 1.2798 1.2798 1.2798 1.2798 1.2798 用最小二乘法厘定的相对费率为: 123 123 1.2421, 1.3202,1.6525 0.9998,0.9191,1.2798 车型: 地区: 各风险类别的纯保费如下表所示。 类别 地区 A 地区 B 地区 C 车型 1 1.2418 1.1416 1.5896 车型 2 1.3199 1.2134 1.6896 车型 3 1.6521 1.5188 2.1148 (2)最小卡方法。令地区的初始相对费率为:1 321 ,则由 0.5 0.5 2 2 ijij ijij j ji i ij ijjiji ji n y n y nn 可得第一次的迭代结果如下: 孟生旺、刘乐平、肖争艳 编著,非寿险精算学(第三版) ,中国人民大学出版社,2015。 12 0.5 222 1 0.5 222 2 22 3 8000 1.0500 /1 5200 1.3500 /12000 1.8000 /1 1.2767 8000 1 5200 12000 1 13600 1.2750 /1 6000 1.2000 /12400 1.9125 /1 1.3404 13600 1 6000 12400 1 4000 2.0625 /1 8000 1.4250 /1 0.5 2 1600 1.6500 /1 1.6631 4000 1 8000 1 1600 1 0.5 222 1 222 2 8000 1.0500 /1.276713600 1.2750 /1.340440002.0625 /1.6631 8000 1.276713600 1.34044000 1.6631 0.9789 5200 1.3500 /1.27676000 1.2000 /1.34048000 1.4250 /1.6631 2000 1.27672400 1.3404 0.5 0.5 222 3 1600 1.6631 0.9190 2000 1.8000 /1.27672400 1.9125 /1.34041600 1.6500 /1.6631 2000 1.27672400 1.34041600 1.6631 1.2998 其他各次的迭代结果如下表所示。 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 车型 1.2767 1.2642 1.2642 1.2642 1.2642 车型 1.3404 1.3286 1.3277 1.3277 1.3277 车型 1.6631 1.6964 1.6977 1.6978 1.6978 地区 0.9789 0.9810 0.9811 0.9811 0.9811 地区 0.9190 0.9157 0.9155 0.9155 0.9155 地区 1.2998 1.3024 1.3025 1.3025 1.3025 用最小2法厘定的相对费率为: 123 123 1.2642, 1.3277,1.6978 0.9811,0.9155,1.3025 车型: 地区: 各风险类别的纯保费如下表所示。 类别 地区 A 地区 B 地区 C 车型 1 1.2403 1.1574 1.6466 车型 2 1.3025 1.2155 1.7292 车型 3 1.6657 1.5544 2.2114 4.7 应用边际总和法的预测结果如下表所示。 A B C 索赔次数观 察值 索赔频率预 测值 索赔次数预 测值 A1 B1 C1 230 0.6276 282.4 A1 B1 C2 380 0.5114 393.7 A1 B2 C1 1050 0.3919 968 A1 B2 C2 760 0.3193 775.9 孟生旺、刘乐平、肖争艳 编著,非寿险精算学(第三版) ,中国人民大学出版社,2015。 13 A2 B1 C1 180 0.399 183.5 A2 B1 C2 190 0.3251 120.3 A2 B2 C1 390 0.2491 416.1 A2 B2 C2 240 0.203 280.1 第第5章章 经验费率经验费率 5.1 在索赔额为常数的情况下: nF =( -1(1+0.90 2 ) k ) 2 =( -1(0.95) k ) 2 =( 1.645 0.05 ) 2 =1082.4, 6 .2704 .1082 2 1 2 2 FZ nZn 5.2 当10,r10时,索赔频率的完全可信度标准为 271,因此索赔强度的完全可信 度标准为 27112 271 次索赔。 5.3 EE( |)1,EVar(N|( )1xvE 14 6 14 042 x 2 (20)1 VarE(|)Var( ) 123 aX 1 3 1 3 v k a ,14365m,8235. 0 314 14 km m z 2007 年估计值为:588. 1)8235. 01 (18235. 0 14 6 3 5.4 类别 概率 均值 方差 1/4 2.2 0.36 1/4 2.6 0.84 1/4 3 1 1/4 3.6 0.64 =2.85 ,v =0.71 22222 1 (2.22.633.6 )2.850.2675 4 a 6011. 0 2675. 0 71. 0 4 4 kn n z (1)1.738xz xz 58.69x 孟生旺、刘乐平、肖争艳 编著,非寿险精算学(第三版) ,中国人民大学出版社,2015。 14 5.5 681125 0.0463 120180240540 x , = EVar( | ) = E() = (6 + 1)/100 (6) = 6 100 2 222 1 ()(62) 66 100 VarE( | )Var( )E()E ( )() (6)10010000 ax 84375. 0 0006. 0 06. 0 540 540 kn n z, E( )EE( | )0.06xx 第四个月: 300zx +(1-z)=3000.843750.0463+(1-0.84375)0.06=14.53 5.6 R = 2,N = 3 12 22 12 22 1 2 65467857 5,7,6 332 11 (1 0 1)1,(1 0 1)1 22 1 1 E(Var |)1 2 15 Var(E |)(56)(76) 133 135 0.6, 5/330.66 5131 1(1)56 666 2 xxx vx v ax vn kz ank zxz x zx 估计值 : 估计值 : 5141 (1)76 666 z x 5.7 xA = 7+8+5+6 12+18+9+11 =0.52,x = 6+9+7 13+16+15 =0.5,x = 26+22 50+44 =0.51,v=x =0.51 a = 50(0.52-0.51)2+44(0.5-0.51)2-(2-1)0.51 94- 1 94(50 2+442) = -0.010695 这就意味着 a 很接近于 0(即个体风险之间几乎没有差异) ,故取 Z0。 A 和 B 的估计值都是 0.51。 5.8 x = 73+80+65+70 4 =72,y = 65+65+63+75 4 =67, =72+67 2 =69.5 x= (73-72)2+(80-72)2+(65-72)2+(70-72)2 4-1 =39.333 孟生旺、刘乐平、肖争艳 编著,非寿险精算学(第三版) ,中国人民大学出版社,2015。 15 y= (65-67)2+(65-67)2+(63-67)2+(75-67)2 4-1 =29.333 v = x+ y 2 = 39.333+29.333 2 =34.33,a = (72-69.5)2+(67-69.5)2 2-1 =12.5 Z = 4 4+ 34.33 12.5 =0.5929 则 B 的信度保费为:Z y + (1 Z ) =0.592967+(1-0.5929)69.5=68.02 5.9 22 22 E|1450,BE|2480 E(2/3)E|1(1/3)E|2 (2/3)450(1/3)480460 (2/3) (460450)(1/3) (460480)200 Var|10.5 (500450)0.5 (400450)2 AXX XXX a X 的期望损失:的期望损失: 风险集合的期望损失: 假设均值的方差: 22 500 Var|20.8 (500480)0.2 (400480)1600 (2/3)2500(1/3) 16002200,/2200/20011 11 1 1112 115360 (1)E()300(1)460446.67 121212 X vkv a n Z nk XZX 过程方差的均值: 信度估计值为: Z 5.10 0%组:若无索赔,将来保费为 800,700,700,700 若有索赔,将来保费为 1000,800,700,700 损失临界值为 300 元。同理,20%折扣组的临界值为 400,30%折扣组的临界值为 100。 其次,计算赔案发生时保单持有人索赔的概率:xmP赔案发生索赔P 其中 m 为损失额,服从 2 3 , 5ln分布,x 为损失的临界值。 x xmPxmP ln 1lnln。 那么,0%组别:407. 0235. 01 3 5300ln 1 20%组别:371. 0330. 01 3

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