学而思-第五讲-因数与倍数

五年级秋季班 第五讲 因数与倍数（一） 曹威 第五讲 因数与倍数（一） 5.1 2 3 3 72 126 36 63 12 21 47 694 694 347 1735 2429 第五讲第五讲 因数与倍数（一）因数与倍数（一） 如果说前四讲的知识点对于大家来说还是有点难得话，如果说前四讲的知识点对于大家来说还是有点难得话，那么今天大家就会感觉很轻松啦。原因有三，第一：暑那么今天大家就会感觉很轻松啦。原因有三，第一：暑 期课程中的分解质因数那讲，大家已经对因数期课程中的分解质因数那讲，大家已经对因数、倍数有所了解；第二：有的老师在讲前期课程时都有过补充最大公倍数有所了解；第二：有的老师在讲前期课程时都有过补充最大公 因数，最小公倍数的概念和求法（如方程组的加减法）因数，最小公倍数的概念和求法（如方程组的加减法） ；第第三三：本学期学校课程里也已经介绍过因数：本学期学校课程里也已经介绍过因数、倍数。所以倍数。所以 这讲大家不会觉得这讲大家不会觉得很很陌生。 但这陌生。 但这些知识只能算是因数些知识只能算是因数、 倍数的最基本的知识点 （如倍数的最基本的知识点 （如最大公因数最大公因数与与最小公倍数最小公倍数求法） 。求法） 。 而而如何灵活运用这些知识点去解决实际问题大家可能还欠缺一点如何灵活运用这些知识点去解决实际问题大家可能还欠缺一点。今天，。今天，我我们就开始系们就开始系统的学习因数与倍数统的学习因数与倍数，并将，并将 知识点拓展，以解决更多实际问题。知识点拓展，以解决更多实际问题。 大家或许已经注意到，本讲是因数大家或许已经注意到，本讲是因数与倍数（一） ，也就是说今天讲的只是其概念，求法以及简单的运用，到后与倍数（一） ，也就是说今天讲的只是其概念，求法以及简单的运用，到后 面我们还会再见到面我们还会再见到因数因数与倍数（二） ，会在本讲的基础之上继续学习因数，倍数中更多的性质，即解题规律。与倍数（二） ，会在本讲的基础之上继续学习因数，倍数中更多的性质，即解题规律。所以所以 今天我们的学习大致可分为如下两项。今天我们的学习大致可分为如下两项。 因数的认知（概念，最大公因数及其求法）因数的认知（概念，最大公因数及其求法） 因数因数 因数的应用因数的应用 倍数的认知（概念，最小公倍数及其求法）倍数的认知（概念，最小公倍数及其求法） 倍数倍数 倍数的应倍数的应 一一、因数与倍数的认知因数与倍数的认知 1、概念：概念：在整除那一讲我们学过，若自然数在整除那一讲我们学过，若自然数 a,b,c 满足关系式满足关系式 a b=c 没有余数，则我们说没有余数，则我们说 a,b 满足整除满足整除 关系，同时我们也就定义出关系，同时我们也就定义出 a=b c。即：。即：a 是是 b 与与 c 的倍数，的倍数，b 与与 c 是是 a 的因数的因数。因此因数总。因此因数总 是是成对成对出现的。如：出现的。如：24 的因数有的因数有 1 和和 24；2 和和 12；3 和和 8；4 和和 6 （1）若干个数都有的因数我们叫做这几个数的若干个数都有的因数我们叫做这几个数的公因数。公因数。 如如：42,54 还有还有 60 的公因数有的公因数有 2，3 还有还有 6。 （2）在公因数中在公因数中最小的都为最小的都为 1,没有研究价值，所以我们只研究没有研究价值，所以我们只研究最大公因数最大公因数（公因数中最大的那个） 。（公因数中最大的那个） 。 如如：42,54,60 这三个数的最大公因数记为：这三个数的最大公因数记为： （42,54,60）=6 （3）若干个数都有的倍数我们叫做这几个数的）若干个数都有的倍数我们叫做这几个数的公倍数。公倍数。 如：如：12 的倍数有：的倍数有：12,24,36. 10 的倍数有：的倍数有：10,20,30. 则则 12 和和 10 的公倍数有的公倍数有 60,120,180.。 但公倍数可以无限大， 所以我们只研究。 但公倍数可以无限大， 所以我们只研究最小公倍数。最小公倍数。 如如：10,12,24 的最小公倍数记为：的最小公倍数记为： =120 2、最大公因数与最小公倍数的求法、最大公因数与最小公倍数的求法 （1 1）短除法）短除法：如：求如：求 7272 和和 126126 的最大公因数的最大公因数。 则则 7272 与与 126126 的最大公因数为短除式中左边的数相乘； 最小公倍数为边上与底下的数的最大公因数为短除式中左边的数相乘； 最小公倍数为边上与底下的数 都乘。即：都乘。即： = = （2 2）分解质因数法：）分解质因数法：72=72= ； =2=2 （3 3）辗转相除法：此方法主要用于求两个较大数的最大公因数。辗转相除法：此方法主要用于求两个较大数的最大公因数。 如：求如：求 24292429 和和 17351735 的最大公因数？的最大公因数？ 我们假设我们假设 24292429 和和 17351735 分别是长方形的两个边长，若此长方形的长和宽都可以分别是长方形的两个边长，若此长方形的长和宽都可以 分解出若干个边长一样且最大的分解出若干个边长一样且最大的小正小正方形方形，则此正方形的边长即为长，则此正方形的边长即为长 24292429 和宽和宽 17351735 的最大公因的最大公因数，由图可知：数，由图可知： 也就是说也就是说 24292429 和和 17351735 都可以分解成边长最大为都可以分解成边长最大为 347347 的正方形。的正方形。 即即 五年级秋季班 第五讲 因数与倍数（一） 曹威 第五讲 因数与倍数（一） 5.2 728 35 45 6 108 360 6 18 60 310 6 24 36 90 1546 最后，我们在回顾一下求最后，我们在回顾一下求 347347 的过程，始终都是用除数除以余数，除数除以余数，直到的过程，始终都是用除数除以余数，除数除以余数，直到 余数为余数为 0 0 时的那个除数即为最大公因数，若除到最后余数为时的那个除数即为最大公因数，若除到最后余数为 0 0 时的除数为时的除数为 1 1，则说明，则说明 两数互质，即最大公因数为两数互质，即最大公因数为 1 1。 二二、例题讲解例题讲解 例例 1 1 和例和例 4 4、求最大公因数求最大公因数与最小公倍数与最小公倍数 （1 1）短除法：）短除法： 1 1 （28,3528,35）=7=7 ， 2 2 （108,360108,360）=6=6 6=366=36 =6=6 6 6 =1080=1080 3 3 （24,36,9024,36,90）=6=6 注：三个数的最下公倍数与两个数的最小公倍数求法有一点区别：必须除到两两互质为止。注：三个数的最下公倍数与两个数的最小公倍数求法有一点区别：必须除到两两互质为止。 （2 2）分解质因数法：）分解质因数法： 1 1 28=28= （28,3528,35）=7=7 35=535=5 ， 2 2 108=108= （108,360108,360）= = =36=36 360=360= = = =1080=1080 3 3 24=24= （24,36,9024,36,90）=2=2 3=63=6 36=36= 90=90= （3 3）辗转相除法：）辗转相除法： 求求 35533553 和和 14111411 的最大公因数？的最大公因数？ 拓展练习：拓展练习：计算下列各数的最大公因数与最小公倍数计算下列各数的最大公因数与最小公倍数 （36,6036,60）和和 、 （96,16896,168）和）和 、 （30,60,7530,60,75）和）和 、 （12,18,4012,18,40）和）和 、 （600,1515600,1515） 624 36 90 2 3 46 15 23 15 215 最大公因数取公有的质因数次数最小的那个最大公因数取公有的质因数次数最小的那个 最小公倍数取全部质因数中次数最高的那个最小公倍数取全部质因数中次数最高的那个 除到余数为除到余数为0 0时的那时的那 个除数即为两数的最个除数即为两数的最 大公因数。大公因数。 五年级秋季班 第五讲 因数与倍数（一） 曹威 第五讲 因数与倍数（一） 5.3 2 336 252 210 3 7 168 126 105 564235 865 （24,1224,12）和）和 、 （36,7236,72）和）和 、 最大公因数与最小公倍数的应用最大公因数与最小公倍数的应用 （一）最大公因数的应用（一）最大公因数的应用 引题：引题：用一个数去除用一个数去除 30,60,7530,60,75，都能整除，则这个，都能整除，则这个数最大是多少？数最大是多少？ 分析分析： “： “一个数去除一个数去除 30,60,7530,60,75，都能整除，都能整除”的意思是说：存在一个数，”的意思是说：存在一个数，3030 可以除以这个数；可以除以这个数；6060 可以除以这个数；可以除以这个数； 7575 也可以除以这个数；即这个数应该是也可以除以这个数；即这个数应该是 30,60,7530,60,75 的公因数，又因为找这样的最大的数，所以本题实际的公因数，又因为找这样的最大的数，所以本题实际 就是在求就是在求 30,60,7530,60,75 的最大公因数。的最大公因数。 解答： （解答： （30,60,7530,60,75）=15=15 例例 2 2、分析分析：问最多可以分成多少份？也就是说如果可以分成：问最多可以分成多少份？也就是说如果可以分成 n n 份的话，那么份的话，那么 336336 是应该可以除是应该可以除尽尽 n n 的（表示每份有的（表示每份有 多少个苹果） 。同理，多少个苹果） 。同理，252252 和和 210210 应该也是可以除尽应该也是可以除尽 n n 的（分别表示每份中桔子和梨各多少个） 。那么，的（分别表示每份中桔子和梨各多少个） 。那么，n n 应该是应该是 336,252,210336,252,210 的公因数，同样是找最多的份数，所以是在求的公因数，同样是找最多的份数，所以是在求 336,252,210336,252,210 的最大公因数。的最大公因数。 解答解答： （： （1） （） （336,252,210）= （2）每份中三样水果个数实际上就是短除式中最下面的三个数）每份中三样水果个数实际上就是短除式中最下面的三个数 苹果苹果 8个，桔子个，桔子 6个，梨个，梨 5个。个。 拓展练习：拓展练习： （1）有三根铁丝，长度分别为）有三根铁丝，长度分别为 18,24,30。现要把它们。现要把它们截成长度相等的小段若干截成长度相等的小段若干 根，每根都不允许有剩余，问每一小段最长是多少厘米？一共截了多少段？根，每根都不允许有剩余，问每一小段最长是多少厘米？一共截了多少段？ 提示：即为提示：即为 18,24,30 的最大公因数的最大公因数 解答：解答：6厘米厘米 12 段段 （2）把）把 20个梨和个梨和 25个苹果平均分给若干个小朋友，分完后发现剩下个苹果平均分给若干个小朋友，分完后发现剩下 2 个梨，缺个梨，缺 2个苹果，问最多多少个个苹果，问最多多少个 小朋友？小朋友？ 提示：也就是说提示：也就是说 20-2=18 个梨和个梨和 25+2=27个苹果正好分给若个苹果正好分给若干个小朋友。即干个小朋友。即 18和和 27的最大公因数。的最大公因数。 解答：解答：9个个 （3）把一个把一个 2002 847 的长方形分解成若干个完全相同的小正方形且没有剩余，则最少可以分解出多少个这的长方形分解成若干个完全相同的小正方形且没有剩余，则最少可以分解出多少个这 样的小正方形？样的小正方形？ 提示：若想让小正方形最少，则小正方形的边长应最长，且无剩余，则长和宽都可以除尽小正方形的边长提示：若想让小正方形最少，则小正方形的边长应最长，且无剩余，则长和宽都可以除尽小正方形的边长 则小正方形的边长即为则小正方形的边长即为 2002和和 847的最大公因数， （辗转相除法的应用）的最大公因数， （辗转相除法的应用） 尖子班学案尖子班学案 1 和作业和作业 3与此题原理相同。与此题原理相同。 解答： （解答： （2002,847）=77 2002 847 （77 77）=286 例例 3、分析分析：此题关键之处在于：若三个数的和是：此题关键之处在于：若三个数的和是 11111111，则三个数的最大公因数肯定也是，则三个数的最大公因数肯定也是 11111111 的因数。若三个数的最的因数。若三个数的最 大公因数为大公因数为 d d，则三个数肯定都能分解成，则三个数肯定都能分解成 d d 乘以一个数的形式，如短除式所示：乘以一个数的形式，如短除式所示： ； ； （ 是互质的）是互质的） 。 所以三数相加求和时公因数所以三数相加求和时公因数d是可以提出来的即是可以提出来的即 （ =1111。 所以。 所以 d肯定是肯定是 1111 的因数。 又因为的因数。 又因为 1111的因数有的因数有 1、 1111、 101101、 11111111。 所以。 所以 d d 最大只能为最大只能为 101101。 （三数之和才达到（三数之和才达到 11111111，所以，所以 d d 不可能为不可能为 11111111） 。） 。 解答：三数的最大公因数为解答：三数的最大公因数为 101101 注：同理两数的最大公因数同样也是两数差的因数，通常可以借用此方法来求多个大数的最大公因数注：同理两数的最大公因数同样也是两数差的因数，通常可以借用此方法来求多个大数的最大公因数 拓展练习：拓展练习： （1 1）求）求 435,783,928435,783,928 的最大公因数？的最大公因数？ 提示：提示：435435 与与 783783 的最大公因数一定是的最大公因数一定是 78783 3- -435=348435=348 的因数。同样，的因数。同样，783783 与与 928928 的最大公因数也一定是的最大公因数也一定是 928928- -783=145783=145 的因数，所以三数的最大公因数应该是的因数，所以三数的最大公因数应该是 348348 与与 145145 的最大公因数。的最大公因数。 解答：解答：783783- -435=348 928435=348 928- -783=145 783=145 （435,783,928435,783,928）= =（348,145348,145）=29=29 （2 2）将将 的长方体，分成一些完的长方体，分成一些完全相同的小正方体，那么至少可以分成多少个？全相同的小正方体，那么至少可以分成多少个？ 提示：提示：同例同例 2 2 的练习的练习 3 3，找此三数的最大公因数，方法用两两做差即可。，找此三数的最大公因数，方法用两两做差即可。 解答： （解答： （2004,1169,3342004,1169,334）= =（20042004- -1169,11691169,1169- -334334）=167=167 个个 若两数存在倍数关系若两数存在倍数关系 两数中较大的数为最大两数中较大的数为最大公因数；公因数； 两数中较两数中较小小的数为最的数为最小公倍数。小公倍数。 五年级秋季班 第五讲 因数与倍数（一） 曹威 第五讲 因数与倍数（一） 5.4 （3 3）有三根铁丝分别长）有三根铁丝分别长 336336 厘米，厘米，444444 厘米，厘米，516516 厘米，把它们截成等长且尽可能长的整厘米小段（无剩余） 。厘米，把它们截成等长且尽可能长的整厘米小段（无剩余） 。 若把这些整厘米小段铁丝焊接成正方体框架，能得到多少个这样的正方体框架？若把这些整厘米小段铁丝焊接成正方体框架，能得到多少个这样的正方体框架？ 提示：同例提示：同例 2 2 的练习的练习 1 1，先求出能截出多少段，再用总段数除以，先求出能截出多少段，再用总段数除以 1212 即可。求即可。求 336,444,516336,444,516 的最大公因数可的最大公因数可 用两两相减的方法。用两两相减的方法。 解答： （解答： （336,444,516336,444,516）=12=12 （ ） 12=912=9 个个 （二）最小公倍数的应用二）最小公倍数的应用 例例 5 5、分析分析：此题关键是求出总人数，由题意可知总人数应该是可以分别和：此题关键是求出总人数，由题意可知总人数应该是可以分别和 7,3,27,3,2 约分的，所以总人数为约分的，所以总人数为 7 7，3 3，2 2 的的 公倍数，又因为总人数要小于公倍数，又因为总人数要小于 5050，所以为三数的最小公倍数。则差等生可求。，所以为三数的最小公倍数。则差等生可求。 解答：解答： =42 =42 拓展练习：拓展练习： （1 1）有一个商店准备今年）有一个商店准备今年 7 7 月月 1 1 日开业，有三个批发商从这个商店批发货。甲批发商每日开业，有三个批发商从这个商店批发货。甲批发商每 6 6 天来一次，乙批发商天来一次，乙批发商 每每 8 8 天来一次，丙批发商每天来一次，丙批发商每 9 9 天来一次，问三个人在天来一次，问三个人在 7 7 月月 1 1 日见面后，在过多少天还在这家商店见面？日见面后，在过多少天还在这家商店见面？ 提示：找提示：找 6,8,96,8,9 的最小公倍数的最小公倍数 解答：解答： =72=72 （2 2）动物园里的饲养员给三群猴子分花生。如果只分给第一群猴子，则每只猴子可分得）动物园里的饲养员给三群猴子分花生。如果只分给第一群猴子，则每只猴子可分得 1212 粒；粒；如果只分给第如果只分给第 二群猴子，则每只猴子可分得二群猴子，则每只猴子可分得 1515 粒；如果只分给第三群猴子，则每只猴子可分得粒；如果只分给第三群猴子，则每只猴子可分得 2020 粒；那么，把花生同粒；那么，把花生同 时分给三群猴子，平均每只猴子最少可分得花生多时分给三群猴子，平均每只猴子最少可分得花生多少粒？少粒？ 提示：花生的总数应该是提示：花生的总数应该是 的最小公倍数，则花生总数求出后，每群猴子的数量即可求，则此题的最小公倍数，则花生总数求出后，每群猴子的数量即可求，则此题 可解可解 解答：解答： =60, =60, 个 个 （3 3）文化补习班的教材不够，暂时每两人用一本语文课本，每三人用一本数学课本，每四人用一本英语课本，）文化补习班的教材不够，暂时每两人用一本语文课本，每三人用一本数学课本，每四人用一本英语课本， 全班共用了全班共用了 9191 本课本，问全班有多少人？本课本，问全班有多少人？ 提示： 全班人数最提示： 全班人数最少应为少应为 2,3,42,3,4 的最小公倍数的最小公倍数 1212， 此时对应的课本本数也是最少的本数， 此时对应的课本本数也是最少的本数 本本 但此时共用了但此时共用了 9191 本，扩大了本，扩大了 7 7 倍，则人数也相应扩大倍，则人数也相应扩大 7 7 倍，为倍，为 1212 7=847=84 人。人。 解答：解答： =12=12， ， 9191 1313 12=8412=84 人人 （4 4） 加工一种零件有三道工序，第一道工序每个工人每小时完成加工一种零件有三道工序，第一道工序每个工人每小时完成 4848 个零件；第二道工序每个工人每小时完成个零件；第二道工序每个工人每小时完成 3232 个零件；第一个零件；第一道工序每个工人每小时完成道工序每个工人每小时完成 2828 个零件；问每个零件；问每道道工序至少要安排多少名工人，才能搭配合工序至少要安排多少名工人，才能搭配合 适，使每道工序不产生积压和停工等料？适，使每道工序不产生积压和停工等料？ 提示：此题关键是： “每道工序不产生积压和停工等料” 。即每道工序生产出来的零件个数必须一样多才可提示：此题关键是： “每道工序不产生积压和停工等料” 。即每道工序生产出来的零件个数必须一样多才可 以，则每道工序的零件个数应为以，则每道工序的零件个数应为 48,32,2848,32,28 的最小公倍数，则每道工序的工人数可求。的最小公倍数，则每道工序的工人数可求。 解答：解答： =672,=672,第一道工序：第一道工序： 人；人； 第二道工序：第二道工序： 人；人； 第三道工序：第三道工序： 人；人； 例例 6 6、分析分析：因为甲乙二人都是从：因为甲乙二人都是从 A A 点出发，所以要想还在点出发，所以要想还在 A A 点相遇，则二人必须都要走整圈数才可以。分别找出甲和点相遇，则二人必须都要走整圈数才可以。分别找出甲和 乙各走一圈的时间，找其最小公倍数即可。乙各走一圈的时间，找其最小公倍数即可。 解答：解答： 分钟分钟 分钟分钟 分钟分钟 拓展练习：拓展练习： （1 1）A,B,CA,B,C 三匹马在一个环形跑马场上同时同地出发，三匹马在一个环形跑马场上同时同地出发，A A 每每 2 2 分钟跑一圈，分钟跑一圈，B B 每每 3 3 分钟跑一圈，分钟跑一圈，C C 每每 4 4 分钟跑一圈，分钟跑一圈， 那么它们多久以后能再同时经过出发点？那么它们多久以后能再同时经过出发点？ 提示：提示：2,3,42,3,4，的最，的最小公倍数小公倍数 解答：解答： =12=12 （2 2）有一个电子钟，每走）有一个电子钟，每走 9 9 分钟亮一次灯，每到整点响一次铃，中午分钟亮一次灯，每到整点响一次铃，中午 1212 点整，电子钟既响铃又亮灯，则下一次既响点整，电子钟既响铃又亮灯，则下一次既响 铃又亮灯是几点？铃又亮灯是几点？ 解答：解答： =180=180， =3, 12+3=15=3, 12+3=15 点点 五年级秋季班 第五讲 因数与倍数（一） 曹威 第五讲 因数与倍数（一） 5.5 （3 3）甲乙丙三人在操场跑道上步行，甲每分钟走）甲乙丙三人在操场跑道上步行，甲每分钟走 8080 米，乙每分钟走米，乙每分钟走 120120 米，丙每分钟走米，丙每分钟走 7070 米，已知操场跑道周长为米，已知操场跑道周长为 400400 米如果三个人同时同向从同一地点出发，问几分钟后三米如果三个人同时同向从同一地点出发，问几分钟后三人可以首次相聚？人可以首次相聚？ 提示：三人都是追及过程，若三人再次相聚，则应该是相互追上为止，所以我们应该找它们追及时间的最小公倍提示：三人都是追及过程，若三人再次相聚，则应该是相互追上为止，所以我们应该找它们追及时间的最小公倍 数。数。 解答：乙追上甲的时间：解答：乙追上甲的时间： 分钟分钟 乙追上丙的时间：乙追上丙的时间： 分钟分钟 甲甲追上追上丙丙的时间：的时间： 分钟分钟 三人三人再次再次相聚相聚时间时间： 分钟分钟 （4 4） 大雪后的大雪后的一天一天， 小明小明和和爸爸爸爸同时同时步测步测一个一个圆形圆形花圃花圃的的周长周长， 他俩的他俩的起点起点和和步行方向步行方向完全相同完全相同， 小明小明每每步步长长 5 54 4 厘米厘米， 爸爸爸爸每每步步长长 7 72 2 厘米厘米，由于由于两人两人脚印脚印有有重合重合的的，所以所以各走完各走完一圈后一圈后，雪地上雪地上留下留下 6 60 0 个个脚印脚印，求求圆形花圃圆形花圃的的周长周长？ 提示提示：最近的最近的重合的重合的脚印脚印距距起点起点应该应该是是 5 54 4 和和 7 72 2 的的最小公倍数最小公倍数 2 21 16 6，也就是说也就是说每每走走 2 21 16 6 厘米厘米就就重合重合一次一次，每重合每重合一一 次次一共一共可以出现可以出现多少个脚印呢多少个脚印呢？进而进而转化为转化为周期问题周期问题，看看最后最后 6 60 0 个个脚印脚印里里能能产生产生几次重合几次重合，则则周长周长可求可求。 解答解答： 厘米厘米 个个脚印脚印 个个脚印脚印 3 3+ +4 4- -1 1= =6 6 个个脚印脚印 个个周期周期 厘米厘米 补充练习补充练习： （1 1）有一个