学而思内部资料-高中数学函数分类解析讲义

1 函数常见题型、解题方法函数常见题型、解题方法 六大基础函数 抽象函数 复合函数 三要素 解析式 值域 定义域 正比例函数 反比例函数 一次函数 二次函数 指数函数 对数函数 xgf 性质 周期性 对称性 奇偶性 单调性 图像 对称 旋转 平移 图象变换 函数本身的图象 基本题型基本题型 一、一、定义域相关的基本题型定义域相关的基本题型 两类：两类： 1.给定函数式，在函数式当中有些限定性的条件：1、存在，2、对数log要求大于零，3、 分母不能为零） 。 2.复合函数求定义域的问题。 如 21 xtfxgf和， 首先就要求其中 21 xtxg和必须符合 xf 的定义域的要求；其次我们才去看 21 xx 和各自要按照哪个函数要求去求定义域， 1 x需要符合函数 xg的定义域要求， 2 x需要符合函数 xt的定义域要求。其实就是两点其实就是两点：首先，只要是同一函数 对应法则，括号内的式子的范围都是一样的。第二点就是求定义域，是求最核心的自变量x的范 围。 （考察常见函数的定义域）（考察常见函数的定义域）例例 1 1. . 函数 2 log2yx 的定义域是( ) （A）(3,+) （B）3, +) （C）(4, +) （D）4, +) 命题意图: 本题主要考查含有无理式和对数的函数的定义域的求法. 2 解：解：由 2 0 4. log20 x x x ，故选 D. （复合函数的定义域）（复合函数的定义域）例例 2 2 函数的定义域是0，1，求的定义域；-函数的定义域0， 的定义域是-1，1，求函数的定义域； 的定义域是-3，1 知定义域是，求定义域-的定义域是1，） 说明： 已知的定义域为(a,b)，求的定义域的方法： 已知的定义域为，求的定义域。实际上是。通过解不等式 求得的范围，即为的定义域。 已知的定义域为(a,b)，求的定义域的方法： 若已知的定义域为，求的定义域。实际上是已知直接变量的取值范围，即 。先利用求得的范围，则的范围即是的定义域。 例例 3 3已知函数定义域是（a,b），求的定义域 解：由题， 当，即时，不表示函数； 当，即时，表示函数， 其定义域为 3 二、二、值域相关的基本题型值域相关的基本题型 1. 2.二次函数的值域问题。简单的二次函数，就可以通过顶点和最值等来求值域。困难的地方 在于函数有参数的问题。图像法。 3.换元法（也是最常用的方法也是最常用的方法） ，转换成二次函数。这种题的特点是，题目中的自变量的次数 关系是倍半关系，如 2 2 , 1 , 1 ,x xx x，都可以利用换元的方法把题目转换成上面第一类的问题。 3.利用函数的单调性求值域。 4.对勾函数。但是均值不等式适用的范围比较窄，且函数的形式也是比较固定的。一般来说 都是函数带有分母的。如 1 1 1 1 x xy x xy或者等这样的形式可以利用均值不等式。 三、三、求解析式（方法比较少，考得也不多）求解析式（方法比较少，考得也不多） 1.配 和 凑 利用它的形式，凑出 2 kf这样的形式，这要求学生做题目比较有感觉。 2.待定系数法。即设 cbxaxxf 2 ，再利用已知条件把cba,的取值确定。 一、定义法：一、定义法： 例 1：设23) 1( 2 xxxf，求)(xf. 解：2 1) 1(3 1) 1(23) 1( 22 xxxxxf =6) 1(5) 1( 2 xx 65)( 2 xxxf 二、待定系数法：二、待定系数法： 例 5：已知1392)2( 2 xxxf，求)(xf. 解：显然，)(xf是一个一元二次函数。 设)0()( 2 acbxaxxf 则cxbxaxf)2()2()2( 2 )24()4( 2 cbaxabax 又1392)2( 2 xxxf 比较系数得： 1324 94 2 cba ab a 解得： 3 1 2 c b a 32)( 2 xxxf 4 三、换元（或代换）法：三、换元（或代换）法： 例 6：已知, 11 ) 1 ( 2 2 xx x x x f 求)(xf. 解：设, 1 t x x 则 1 1 t x 则 xxxx x x x ftf 11 1 11 ) 1 ()( 22 2 1) 1() 1(1 1 1 1 ) 1 1 ( 1 1 22 2 tttt tt 1)( 2 xxxf 四、四、单调性、周期性、奇偶性、对称性单调性、周期性、奇偶性、对称性 例例 1 1函数 f x 对于任意实数x满足条件 1 2f x f x ，若 15,f 则 5ff_. 命题意图命题意图: : 本题主要考查代数式恒等变形和求复合函数的值的能力. 解：解：由 1 2f x f x ,得 1 4( ) 2 f xf x f x ，所以(5)(1)5ff，则 11 5( 5)( 1) ( 1 2)5 ffff f . 例例 2 已知函数 1 , 1 x f xa z ，若 f x为奇函数，则a _. 命题意图: 本题主要考查函数的解析式的求解以及函数的奇偶性应用. 常规解法：常规解法：由 f(x)为奇函数,所以 f(x)+f(-x)=0,即, 0 12 1 12 1 xx aa . 2 1 12 21 2 1 12 1 12 1 2 1 x x xx a 应填 2 1 . 巧妙解法：巧妙解法：因为 f(x)为奇函数,所以 f(0)=0,即 . 2 1 , 0 12 1 0 aa 应填 2 1. 五、五、函数图像问题函数图像问题 5 例例 1：若方程：若方程 ax2-2x+1=0(a0)的两根满足：的两根满足：x11, 1x20）. 例例 2已知 .|1|)( 22 kxxxxf （）若 k = 2，求方程 0)(xf的解； （）若关于 x 的方程0)(xf在（0，2）上有两个解 x1，x2，求 k 的取值范围，并证明 . 4 11 21 xx （I）解：解：当 . 02|1|)(,2 22 xxxxfk时 分两种情况讨论： 当 时或即时11,11 2 xxx， 方程化为, 0122 2 xx 131313 .01,. 222 xx 解得因为舍去 所以 当 11,01 2 xx即时， 方程化为 1+2x = 0， 解得 2 1 x ， 由得， . 2 1 , 2 31 0)(,2 xx xfk 或 的解是方程时当 （II）解：解：不妨设20 21 xx， 因为 , 1|, 1 , 1|, 12 )( 2 xkx xkxx xf 所以1 , 0)(在xf是单调递函数， 故 1 , 00)(在xf上至多一个解， 121212 1 1 22 2 1 ,(1,2),0,0,1 ,(1,2). 2 1 ( )0,1; 17 ()0,2,1. 2 7 1,( )0(0,2). 2 x xx xxx f xkk x f xkxk x kf x 若则故不符合题意 因此 由得所以 由得所以 故当时在上有两个解 方法一： 6 2 2 11 2 22 2 2 12 222 12 18 0,1 ,210; 4 8 (1,2), 4 1141 (8), 2 8 777 8(, 1),8()88, 222 11 4. kk xxxkx k kk xx kkk xx kk ykkkk xx 因为所以而方程的两根是 因为所以 则 而在上是减函数 则 因此 方法二： 因为 01,1 , 0 11 kxx所以 ； 因为012),2 , 1 ( 2 2 22 kxxx所以， 由消去 k，得 2 121222 1212 1111 20 ,2.(1, 2 ) ,4 .x xxxxx xxxx 即又因为所以 5在同一坐标系中，函数 3 logyx与 1 3 logyx的图象之间的关系是（ B ） A关于y轴对称 B关于x轴对称 C关于原点对称 D关于直线yx对称 7 设a为常数，函数 2 ( )43f xxx，若()f xa为偶函数，则a等于（ C ） A1 B1 C2 D2 8已知函数( )21 3f xaxa 在(01)，内存在一个零点，则实数a的取值范围是（ A ） A 1 1 3 a B 1 3 a C1a 或 1 3 a D 1a 9 已知函数( )()()f xxa xb（其中ab） ， 若( )f x的图象如右图所示， 则函数( ) x g xab的图象是 （ A ） 10设定义在R上的函数( )yf x是偶函数，且( )f x在(0)，为增函数，( 1)0f ，则不等式( )0 x f x的 解集为（ D ） A( 10)(1)， B101， C10 ， D 101， 六、令值题六、令值题 O y x 11 x y O 1 x y O 1 x y O A BCD y xO -1 1 7 例题例题 6设函数 y=f(x) (xR 且 x0)对任意非零实数 x1,x2恒有 f(x1 x2)=f(x1)+f(x2)。 (1)求证：f(1)=f(-1)=0。 (2)求证：y=f(x)是偶函数； (3)已知 f(x)为(0,+)上的增函数，求适合 f(x)+f(x-)0 的 x 的取值范围。 证明证明：(1)f(x1 x2)=f(x1)+f(x2)(x1 x20)，令 x1=x2=1, f(1)=f(1)+f(1)=2f(1), f(1)=0, 又令 x1=x2=-1, 得 f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1)=0, f(-1)=0。 (2)令 x1=-1, x2=x0,x 是任意的，则有 f(-x)=f(-1)+f(x)=f(x), f(x)为偶函数。 (3)f(x1 x2)=f(x1)+f(x2) (x1 x20)， f(x)+f(x-)=f(x2-x)。 又 f(x)+f(x-)0, f(x2-x)0。 f(x)为偶函数且 f(1)=0, f(|x2-x|)f(1)。 f(x)在(0,+)上是增函数， 解得x，且 x0, x。 20 （本小题满分 10 分） 已知函数 2 21(0, xx yaaa且1)a 在区间1,1上的最大值是 7，求a的值 解:设 x ta,则 22 ( )2t-1=(t+1)2yf tt.2 分 （1）当01a时，11x ， 1 ta a 此时，f t（）在 1 ,a a 上是增函数 2 max (a)a2a80yf .8 分 a2,a4 或,(舍) .9 分 8 综上所述:a=2.或 1 a= 2 .10 分 指数函数，对数函数，幂函数性质 1、比较大小（单调性、有界性、图像法） 【例 1】2011 重庆文 6设 113 33 124 log,log,log, , 233 abca b c则的大小关系是 A Aabc Bcba Cbac Dbca 【练习】 （1）若 5 5ln , 3 3ln , 2 2ln cba，则( C ) Acba Babc Cbac Dcab 【例 2】设 54 . 0 4 . 0,2,4 . 0lgcba,则（ B ） （A）cba （B）bca （C）acb （D）abc （3）若,ln,ln2,ln),1 ,( 31 xxxex cba则（ C） （A）cba （B）bac （C）cab （D）acb 【例 3】2013（8）设 14 7 10 5 6 3 log,log,logcba,则（D）同真数 （A）cba （B）bca （C）acb （D）abc 数学是很神奇的-数字黑洞。任取一个数，数出这个数中的偶数个数，奇数个数，及所有数字的个数，可以得 到 235，在重复一次，即可得到 123. 2、定点问题 函数) 1()( 32 2 amaxf xx 恒过点（1,10） ，则._m 函数)0, 0( , 2) 1(log)(aaxxf a 恒过点_. 3、复合函数求值域 函数的值域为（ A ） A. B. C. D. 4、零点问题 已知函数 lg,010, 1 6,0 2 xx f x xx 1 若a，b，c互不相等，且 f af bf c， 则abc的取值范围是（ C ） （A）1,10 （B）5,6 （C）10,12 （D）20,24 一张纸有两面， 和一个封闭曲线围成的边。 那是否存在一种纸只有一面， 并且还有封闭曲线围成的边呢？存在。 麦比乌斯带。-拓扑学。著名的七桥问题。四色问题-每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国 家都被着上不同的颜色。 2 log31 x f x 0,0, 1,1, 9 真题赏析： 6函数 3 2 xy 的图象是 （B ） A B C D 8图中曲线分别表示l gayox，l gbyox，l gcyox， l gdyox的图象，, , ,a b c d的关系是 （ ） A.0ab1dc B.0ba1cd C.0dc1ab D.0cd1ab