分析力学教学

.,分析力学,主讲教师：王飞,.,致童鞋们之学生虐我千百遍，我待学生如初恋,教书是一场盛大的暗恋，你费劲心思去爱一群人，最后却只感动了自己。曾经怕自己一个人考不好，现在怕一群人考不好。你若不离不弃我必生死相依你若自我放弃我也无能无力,.,绪论,一什么是分析力学？分析力学是理论力学的一个分支，是对经典力学的高度数学化的表达。,经典力学最初的表达形式由牛顿给出，大量运用几何方法和矢量作为研究工具，因此它又被称为矢量力学（有时也叫“牛顿力学”）。,.,拉格朗日、哈密顿、雅可比等人使用广义坐标和变分法建立了一套同矢量力学等效的力学表述方法。,同矢量力学相比，分析力学的表述方法具有更大的普遍性。很多在矢量力学中极为复杂的问题，运用分析力学可以较为简便的解决。,.,二研究对象,它的研究对象是质点系。质点系可视为宏观物体组成的力学系统的理想模型，例如刚体、弹性体、流体以及它们的综合体都可看作质点系。,工程上的力学问题大多数是约束的质点系，由于约束方程类型的不同，就形成了不同的力学系统。例如，完整系统、非完整系统、定常系统、非定常系统等。,.,三发展历史,1788年拉格朗日分析力学世界上最早的一本分析力学的著作。虚功原理和达朗贝尔原理两者结合，可得到动力学普遍方程，从而导出分析力学各种系统的动力学方程。,1834年，哈密顿正则方程用广义坐标和广义动量联合表示的动力学方程。哈密顿体系在多维空间中，可用代表一个系统的点的路径积分的变分原理研究完整系统的力学问题。,.,1894年赫兹首次将系统按约束类型分为完整约束和非完整约束两大类。,20世纪至今分析力学对非线性、不定常、变质量等力学系统作了进一步研究，对于运动的稳定性问题作了广泛的研究。,.,四应用,分析力学的方法可以推广到量子力学系统和复杂动力学系统中，在量子力学和非线性动力学中都有重要应用。,近20年来，又发展出用近代微分几何的观点来研究分析力学的原理和方法。它广泛用于结构分析、机器动力学与振动、航天力学、多刚体系统和机器人动力学以及各种工程技术领域，也可推广应用于连续介质力学和相对论力学。,.,五研究意义,分析力学是经典物理学的基础之一，也是整个力学的基础之一。,.,六分析力学与理论力学比较,.,.,分析静力学,以一般质点系为力学模型，应用达朗伯原理和虚位移原理方法得出平衡的普遍规律。,在达朗伯原理和虚位移原理的基础上，运用动力学普遍方程和拉格朗日方程，解决非自由质点系的动力学问题。,分析动力学,.,内容,.,第一章虚位移原理,.,1.约束及约束方程,.,实现这些约束条件的物体称为约束体。受到约束条件限制的物体叫做被约束体。习惯上，把约束体简称为约束,将被约束体简称为物体。,注意：这里的约束是名词，而非动词的约束。,.,约束力（或约束反力）把约束对物体的作用力称为约束力。,主动力和约束力（或约束反力）,主动力作用于被约束物体上的除了约束以外的力统称为主动力，如重力，结构承受的风力和水压力、机械结构中的弹簧力以及电磁力等等。,约束反力是主动力引起的，故它是一种被动力。,.,1.约束反力取决于约束本身的性质、主动力和物体的运动状态。,约束反力的特点：,2.大小常常是未知的，往往由平衡方程求得。,3.作用点在物体与约束相接触的那一点。,4.方向总是与约束限制物体的位移方向相反。,.,例如，光滑接触面约束：约束力沿接触面公法线方向指向物体。,在支座约束中，固定铰支座，约束反力过销中心，方向不能确定，通常用正交的两个分力表示。,.,解除约束原理,当受约束的物体在某些主动力的作用下处于平衡，若将其部分或全部约束解除，代之以相应的约束反力，则物体的平衡不受影响。,.,.,1-3约束的分类,.,l,A,B,r,.,瞬心,C,轮C在水平轨道上纯滚动的条件表达为,yC=r,运动约束方程,vCr=0,或,yC=r,.,.,其中摆锤M可简化为质点，软线是摆锤的约束，初始长度为，穿过固定的小圆环，在拉拽过程中,以速度v伸长。在任意瞬时t，其约束方程为:,.,.,2.自由度和广义坐标,质点系由n个质点、s个完整约束组成，则其自由度N=3ns,对平面问题，如Oxy平面内，zi0，则N=2ns,例：图示的平面摆，其中：n=1，s=1。则N=211=1,.,质点系由n个刚体、s个完整约束组成，则其自由度N=6ns,对平面问题，如Oxy平面内，两个平动一个转动，则N=3ns,例1：图示的轮C在水平轨道上纯滚动，其中：n=1，s=2。则N=312=1,P,yC=r,vCr=0,.,例2：图示的平面双摆由刚体OA、AB及铰链O、A组成，其中：n=2，s=4，则N=324=2,.,.,.,则各质点的坐标可由广义坐标表示为：,矢量形式为：,.,3.虚位移,.,.,在图示瞬时，物块M在dt内发生的无限小的实位移dr沿斜面向下。,物块M的虚位移可以是沿斜面向下的r1，也可以是沿斜面向上的r2，因为r1，r2都是约束所容许的。,物块M置于固定的斜面上，斜面对于物块M的约束是定常约束。,.,物块M置于以速度vo移动的斜面上，斜面对于物块M的约束是非定常约束。,在dt内，斜面位移为dre，物块的实位移为dr。根据合成运动理论，有dr=dre+drr=MMdre=v0dt-牵连位移drr-物块相对斜面的位移,物块M的虚位移可以是沿斜面向下的r1，也可以是沿斜面向上的r2，因为r1，r2都是约束所容许的。,.,约束方程,.,为曲面上该点的法向矢量!,其中：,所以,.,.,.,刚体运动时，如果体内任意一点到某一固定平面的距离始终保持不变，则这种运动成为刚体的平面运动。即：刚体作平面运动时，体内任意一点都在与某固定平面平行的平面内运动。,.,.,.,问题的提出？若选取速度为零的点作为基点，求解速度问题的计算会大大简化。于是，自然会提出，在某一瞬时，平面上是否有速度等于零的点？如果有，该点如何确定？,.,AN上任意一点M：,证明：,总有一点I满足：,则I点的（绝对）速度：,.,其中，I为瞬心,刚体上任意一点M的速度:,总结：平面图形的运动可以看成是绕它的速度瞬心作瞬时转动。,注意：速度瞬心的速度为零，但是加速度不为零。,.,注意：是在固定面上的纯滚动，如果不是固定面，接触点并非瞬心。,.,.,.,.,.,.,.,.,选广义坐标q1，q2，qN，则各质点的坐标,对上式中第一式求变分，则,得到：质点在直角坐标中的虚位移与广义坐标中的虚位移之间的关系为,qk称为广义虚位移。,.,4.虚位移原理,设质点m的虚位移为r，力F在虚位移上所作的虚功为,W=Fr,=Frcos,滑块的虚位移为rB，,设曲柄的虚位移为，,W=FrB,力偶M的虚功：,W=M,力F的虚功：,如曲柄滑块机构在力偶M和力F的作用下处于平衡，,A,B,.,若质点系中任意质点Mi，受约束反力Ni，虚位移ri，则理想约束的条件为：,如光滑的接触面,W=Nr,=0,M,对于作纯滚动刚体的固定面约束,D,.,光滑铰链连接,光滑铰支座或光滑轴承,理想刚体,柔性体约束,.,矢量表达式为,坐标分解式为,虚功方程,.,设质点系由n个质点组成，第i个质点Mi平衡，受力有,Fi-主动力的合力,Ni-约束反力的合力,则,Fi+Ni=0,WFi+WNi=,n个方程求和得,系统的约束为理想约束，,Niri=0,(Fi+Ni)ri=0,（i=1,2,，n）,.,反证法：设质点系由n个质点组成，作用于该质点系的主动力在给定的位置的任意虚位移中所作的虚功之和等于零，但该质点系不平衡。,即至少有一个质点Mj不平衡，,则Fj+NjRj0,质点Mj由静止开始运动，其实位移drj应沿着Rj的方向,该质点的合力在实位移中的元功为,Rjdrj=（Fj+Nj）drj0,质点系受定常约束，,drjrj，,（Fj+Nj）rj0,Firi0,这与假设矛盾！,质点系必然平衡。,（Fj+Nj）rj0,又Niri=0,.,5.虚功原理的应用,.,.,例1续已知OA=l=0.6m，螺距h=12mm。P=160N，求举起重物B的重量W。,解：千斤顶受理想约束,给P力点A虚位移rA=l，,由虚功方程WF=0,得：PlWrB=0，,约束条件为：手柄旋转一周，顶杆上升一螺距，即,相应地W力点B有rB，,可知，当P=160N时，能举起50.27KN的重物，是P的314倍！,.,.,例2续已知OA=r，AB=l，M，P，求平衡时，M与P的关系。,解：,系统受理想约束作用，,给OA以虚位移，,由WF=0,得PrBM=0，