小六奥数经典数论习题附答案

1 、 在小于的非0自然数中，能被整除，并且数字和为的数，共有 个。【详解】：小于5000的自然数 ： 一位数、两位数、三位数、四位数被11整除的非0自然数 分类两位数：、 0个 (a+c)+b=13 三位数：设这个三位数为 (a+c)-b=11 有， 个 (a+c)+(b+d)=13 (b+d)-(a+c)=13 四位数：设这个四位数为 或（)()()() 或 注意：a 5有4+7=11个以上几类共：7+11=18 个2、如果六位数能被 整除，那么它的最后两位数是多少?【详解】 被、同时整除所求数字在末位 试除法解题过程： 被、同时整除别急着先看被3整除 被5整除更好判断被5 末位只能为或如果末位填入 要求被3整除 =要求被7整除 如果末位填入 1+9+9+2+5=26+要求被3整除 不可能要求被7整除 =199290（试除法）设=199200 填上()=199290设=199299199299105=1898 9 填上(99-9)=1992903、请用1，2，5，7，8，9这六个数字（每个数字至多用一次）来组成一个五位数，使得它能被75整除，并求出这样的五位数有几个？【详解】 因为，若被3整除，则各位数字和是3的倍数，所以应该去掉一个被3除余2的，因此要么去掉2要么去掉8，先任给一个去掉8的，17925即满足要求 若去掉8则末2位要么是25要么是75，前3位则任意排，有（种）排法因此若去掉8则有（个）满足要求的数 若去掉2则末2位只能是75，前3位任意排，有6种排法，所以有6个满足要求综上所述，满足要求的五位数有18个4、 两个四位数和相乘，要使它们的乘积能被整除，求和.【详解】考虑到， 而 是奇数，所以 必为的倍数，因此可得 ；四位数 各位数字之和为 不是的倍数也不是的倍数，因此必须是的倍数，其各位数字之和 能被整除，所以.5、 用数字6，7，8各两个，组成一个六位数，使它们能被168整除，这个六位数是多少？【详解】 ， 由于这个六位数被8整除，后三位只能是688，768或者776三种情况，分别检验这个六位数被7除的情况可知，只有768768满足要求.6、一个四位数各位数字之和是18，又能被251整除，这个四位数是【详解】注意发现题目中隐含的数量关系由于这个四位数各位数字之和是18，能被9整除，所以这个四位数也能被9整除，而它又能被251整除，所以它能被整除，也就是说这个四位数是2259的倍数四位数中2259的倍数有2259，4518，6777，9036，其中2259，4518， 9036都满足条件。7、有一个四位数，当它被131除时，余数是112；当它被132除时，余数是98。这个四位数是多少?分析与解答：因为第一次除131余数为112，第二次除132余数为98 132比131只大1，所以得知商相等，设为x 则131x+112=132x+98 x=14 代回，14*131+112=19468、有4个不同的数字可共组成18个不同的4位数。将这18个不同的4位数由小到大排成一排，其中第一个是完全平方数，倒数第二个也是完全平方数。那么这18个数的平均数是多少?【详解】（1）由4个不同的数字可以构成：4*3*2*1=24个不同的4位数，只能构成18个4位数说明含有一个数字“0”，即：3*3*2*1=18。（2）这些4位数中，最小的为a0bc,次大的为cb0a（其中0ab400所以1-400，满足要求的数，一共有3个10、 720的所有约数的倒数之和是多少？【详解】：因为720=2222335=243251 所以720的