第21讲-类比与猜想

让我们共同努力，把甘肃省华亭县皇甫学校建成甘肃省著名的大学。第21课类比和猜想每当理性缺乏可靠的推理时，类比通常会引导我们前进。康德知识方法扫描传说鲁班发明了木匠用的锯子。一天，他去山上，他的手指突然被一块羊毛草抓伤了，割破了一个洞。他想知道一片草叶怎么会这么强壮。鲁班仔细看了看，发现草叶边上有许多锋利的小牙齿。鲁班立刻想到，如果我们用铁板做一个有锋利牙齿的工具，然后在树上来回拉动，难道我们不能很快把树砍倒吗？当他回来的时候，他立刻撞上了一个像这样的工具，那是一把锯子。聪明的鲁班使用的推理方法叫做类比。类比是基于两个不同物体在一个方面的相似性，推测这两个物体在其他方面可能有相似性。例如，根据齿草叶和齿铁板之间的相似性，前者能切手指，而后者能切树。这种模拟生物机制的类比，在现代已经发展成为一门新的学科，即所谓的现代仿生学。例如，潜艇的设计思想来源于鱼在水中漂浮和下沉的生物机制的类比。类比是一种相似性，即类比对象在某些部分或关系上的相似性。文学、艺术和科学研究中有大量的类比。类比运用得很好，它可以使文章在文学作品中变得丰富多彩，并导致科学研究中的新发现。“问你能有多少悲伤就像一条向东流的河流”(李煜)用比喻。医学测试不应该直接在人体上进行。老鼠、猴子和人类在身体结构上有相似之处。因此，有理由相信这些动物的测试结果与人类相似。在代数中，根据分数和分数具有相同形式的分子和分母的事实，推导出分数具有类似分数的性质。分数可以像分数一样被简化和操作，这是类比。当我们研究立体几何时，我们经常可以把它与平面几何相比较，推广在平面几何中建立的结论，并得到许多类似的结论。例如，矩形和长方体之间的类比如图23-1所示。图23-1矩形的每一边都与另一边完全平行，并与其余部分垂直。长方体的每一边都与另一边平行，并与其余部分垂直。这两个几何图形可以类比。请填写以下表格：矩形长方体每条相邻的两条边互相垂直。每两个相邻的边互相垂直。每个相邻的表面相互垂直。相对的两边互相垂直。相对的边缘彼此平行。两边的长度相等。对边彼此相等。两条对角线相等。两条对角线相等。对角线将彼此平分。对角线将彼此平分。对角线的平方等于长度和宽度的平方。对角线的平方等于长度、宽度和高度的平方。面积等于两条相邻边的乘积。S=ab体积等于长度、宽度和高度的乘积。V=abc类比就是从人们已经掌握的事物的属性中推断出正在研究的事物的属性。它以旧知识为基础，通过类比得出新结果。类比推理的一般步骤如下：首先，找出两个可以准确表达的类比对象之间的相似性；然后，一个类对象的性质被用来推断另一个类对象的性质，从而获得推测。最后，测试这个猜想。类比是数学发现和数学问题解决的重要手段之一。著名哲学家康德曾指出：“当理性缺乏可靠的推理思想时，类比往往会引导我们前进。”在数学中，我们经常可以从命题条件的相似性中猜出结论的相似性。根据命题的形式相似性，猜测和证明推理方法的相似性。用类比法解决数学问题的关键是善于引入“辅助问题”。通过与“辅助问题”的类比，我们可以形成猜想，找到解决方案，预见可能的答案，从而解决我们面临的问题。经典实例分析1高维和低维之间的类比我们通常把直线称为一维空间，平面称为二维空间，立体几何称为三维空间。此外，“维数”还指未知数、变量、方程或不等式等的数量。当我们研究一个更高维度的问题时，我们首先检查并解决一个更低维度的类似问题，然后尝试用于解决后者的方法或结果来解决更高维度的原始问题。这是高维和低维之间的类比方法。这种技术通常被称为降维。例1:试着推导一维n次方程的根和系数之间的关系。在分析中，我们先用待定系数法来推导二次方程的根和系数之间的关系。两个根集合是，然后是。展开右端，比较同一项的系数。这启发我们用类似的方法来推导一维n次方程的根和系数之间的关系。求解子多项式(1)的根源是，有。展开并排列上述公式的右端，比较等式两边相同项的次数：这是次多项式的根和系数之间的关系定理(vieta定理)。对此，我们通过一元n阶方程和一元二次方程的类比，导出了一元n阶方程的根和系数之间的关系。这是用高阶和低阶之间的类比来解决问题的一个例子。维埃塔定理在多项式理论中有着广泛的应用，并且经常被用于讨论相应子方程的根和系数。请注意，维塔定理的逆定理也是正确的，也就是说，如果这些数满足上述方程，它们就是多项式(1)的根。示例2设置为三个彼此不相等的实数，并且验证：分析等式(1)的直接解、三个未知数和两个等式，所需的值不起作用。注意，题目有旋转的特点，暂时把命题简化为减少一元，原来的命题变成：设置为彼此不相等的实数，并验证：这个简化的命题比原来的命题简单得多。为了找出两者之间的关系，我们不得不转移术语，也就是说。简化的二元问题的结构与原来的三元问题的结构相似，所以上述思维方法可以用来指导原来问题的证明。证明一下。同样。这三种形式的相乘是由它们彼此不相等和因子减少的事实来证明的。例3:设置所有不等于1的正数和所有非零数字。如果和的值。由于问题中有大量的信件，很难立即找到解决办法。因此，首先考虑一个类似于这个问题的简化问题：让所有不等于1的正数都是非零数。如果和，则为要获取的值。这个问题很容易回答。事实上，因为，所以。但是。受此启发，回到原来的问题，我们可以得到原来问题的答案。解决办法因此。关于这一专题的评注可进一步扩展如下：不等于1的正数都是非零实数，如果还有。实施例4沿着垂直、水平和垂直方向切割西瓜。刀子互相交叉。切了多少个西瓜？没有皮的西瓜有多少块？分析和解决首先考虑平面情况；分别在纵向和横向用小刀和小刀切一个圆，分别计算切下的块数和没有瓜皮的块数之和。空间情况的结果是通过类比获得的：总块数为，其中不带皮肤的块数为。一般和特殊类比当研究一个普遍的问题时，它通常是复杂的，而且很难开始。这时，可以先检查和解决一个更简单的特殊情况，然后可以尝试用解决特殊问题的方法或结果来解决原来的一般问题，这是一般和特殊之间的类比。示例5在下表中排列不相等的实数：首先，取每行的最大值，得到最小的数字，然后取每列的最小值，得到最大的数字。试着比较一下总数的大小。先分析和解决讨论的情况，拿任何一张表。从主题集中，n可以看出，关键是把行和列相交的数字作为比较和大小的媒介，因此讨论一般情况并不困难。如果为，则根据、get的定义，表交叉中的行数和列数为。其中，表中的数字完全相同。例6有个人参加了会议，每个人都认识至少10个参与者，这证明他们中的四个人可以被选来围坐在圆桌旁，这样每两个邻居就可以互相认识。分析首先考虑最简单的特殊情况：看看是否能给出证明，从而得到一些关于一般情况的启示。那时，总共只有一个人，所以我们必须把他们都带走。选定人选后，还应考虑安排方法。如果四个人都认识，那么任何安排都是可以接受的。今天，如果不是四个人都认识，那么至少有两个人不认识。由于甲、乙双方各自至少认识两个人，甲、乙双方必须共同认识另外两个人，让甲、乙双方相对而坐，然后在甲、乙双方之间分配另外两个人关于这里的证词，有三点值得注意：(1)问题的答案不仅与选择方法有关，还与排列方法有关；(2)这个命题在所有人都互相认识时是显而易见的，相反的情况是，至少a和b互不认识；(3)至少有两个人互相认识。据此，原始命题可以证明如下：事实证明，如果所有的参与者都相互认识，他们可以选择其中的4个，并随机安排座位，以满足要求。目前，如果不是所有的参与者都认识对方，那么至少有两个人不认识对方，那么问题是，在剩下的个体中，至少有一个人认识对方。我们断言，这个人至少有两个也认识B，否则B最多只会认识一个人，与主题相矛盾。让甲、乙两人一组坐，然后邀请甲、乙两个认识的人坐在甲、乙之间3相似结构的类比如果要解决的问题的结构与熟悉的数学问题的结构相似，那么要解决的问题的条件或结论可以与熟悉的数学问题相比较，并且可以通过猜测、适当替换或直接使用熟悉的数学问题的解来解决问题。例7是已知的并得到验证。分析问题是基于一个变量的二次方程有相同的根的条件：它在结构上是相似的。因此，根据已知的条件，可以构造一个具有一个变量的二次方程，并且该方程具有两个相同的根。然后，根据方程的结论建立数学模型。证明了在已知条件下，该结论是有效的。当，二次方程的构造：因此，一元二次方程有两个相等的实根。等式(1)的一个根，也就是另一个根。所以=，即。例8证明了该方程有无穷多个满意的整数解。通过分析勾股定理，我们知道这个方程有一个令人满意的整数解，例如，如果我们得到它，我们就得到它。此外，将3、4和5分别乘以同一个正整数后，仍然是股份数。比较毕达哥拉斯数满足的方程和主体，很容易看出它是主体方程的一组满意解。我们能把3，-1，2分别乘以一些正整数，使它们仍然满足原始方程吗？这样，我们就有了主体的证明。证明是因为，它是原方程的解。考虑任何正整数，而不是输入等式：，这也是满足条件的原始方程的解。因为正整数的数量是无限的，所以方程有无限个满足条件的整数解。通过上面的例子，我们从两个方面理解了类比法的应用，一是发现问题的结论，二是解决问题的方法。任何应用的关键在于找到一个合适的类比。它们包括空间与平面之间的类比、三次与二次之间的类比、三要素与二要素之间的类比、一般与特殊之间的类比、结构之间的类比等。这表明在数学领域有许多可以类比的对象。类比的危险Whe例如，比较和或、比较和通常会导致以下错误：=+，=+，=+.在数学学习中，应该注意防止这种形式主义的类比。主要的方法是深刻理解符号代表什么。类比和归纳一样，也是一种合理的推理。这是一种发现而不是展示的方法。必须严格证明其结论是否正确。同步训练1.计算：(1)(2)(3)2.建立并验证：3.(1)已知找到方程的整数解。(2)已知找到方程的整数解。4.如果和，则为值。5.解方程6.验证：拉格朗日身份7.验证：在一个规则的五边形中，从任何一点到五边的距离之和是一个固定值。8.试着把一个凸形变成一个等积三角形。9.试着用三条直线将已知的三角形分成七块，其中四块是全等三角形，三