第五章：不定积分-自测题

第五章选择题1设，则当时是的(B)(A)等价无穷小 (B)同解无穷小非等价无穷小(C)高阶等价无穷小 (D)低阶等价无穷小2设，则(D)(A) (B) (C) (D) 解：奇函数在对称区间积分为0得：00（当时）5设在区间上，令，则(B)(A) (B) (C) (D) S2S3S1abf(x)(x)x)法二：由积分中值定理.6设连续，则等于(A)(A) (B) (C) (D) 7设连续，则下列函数中必为偶函数的是D(A) (B) (C) (D) 以A为例， 令 ，则8：把时的无穷小量，排列起来，使得在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的次序是(B)(A) (B) (C) (D) ,=2/3， 1/4二 计算题1设连续， ，且（A为常数），求并讨论在处的连续性。解当时由且当时，故故在处的连续。2：设是区间上的任一非负函数。（1） 证明，使得在区间上，以为高的矩阵面积等于在区间上以为曲边梯形面积。（2） 又设在区间可导，且，证明（1）中的是唯一的。证明：令，显然在区间上连续在可导，且，故由罗尔定理得存在使得 其中即（2）0故在区间是单调递减，故是唯一的。3：求4设函数在上连续，且，证明在内至少存在两个不同的点证明：令，则在上连续在可导。连续在不能恒为正或恒为负，故存在，使得，又当时，故对在及罗尔定理有，使得，即在在内至少存在两个不同的点。5：求6已知两曲线与在点处的切线相同，写出切线方程并求极限解7求8设求的表达式。解：当时当9设函数由参数方程所确定，求解：故10 如图曲线的方程为，点是它的一个拐点，直线分别是曲线在点与处的切线，其交点为，设函数具有三阶连续导数，计算定积分解：函数具有三阶连续且点是它的一个拐点，故故11.设f(x)为正值连续函数，求。解：由换元积分法，=，而+=12.设。13.设函数f(x)在0,1上连续，且满足试证明第六章1.计算由下列曲线所围成的平面图形的面积。（1）； （2）2.在第一象限内求曲线上一点，使该点处的切线与所给曲线及两坐标轴所围成图形面积为最小，并求此最小面积。解：x=t对应点处得切线方程为令y=0,得，抛物线在第一象限内与X轴的交点为（1,0）。则3.设Oxy平面上有正方形D=，及直线。若S(t)表示正方形D位于直线左下方部分的面积，试求。解：4.求下列旋转体的体积。（1）过点p(0,1)作抛物线的切线，该切线与抛物线及x轴所围成的平面图形绕1解：过点p的抛物线的切线与抛物线交于点（），则（2）曲线与x轴所围成的封闭图形绕直线y=3旋转一周；（3）曲线y=(x-1)(x-2)和x轴所围成的图形绕y轴旋转一周；解：抛物线顶点为（3/2,-1/4）,x= （4）由所确定的平面图形绕直线x=2旋转一周；5.设抛物线过原点，且当时，又已知该抛物线与x轴及直线x=1所围成图形的面积为，试确定a,b,c的值，使此图形绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积V最小。Z第七章1.求下列微分方程的解2.求一个连续函数，使得时，有3.求以为通解的二阶微分方程。4.设三阶常系数微分方程有两个解，求a,b,c的值。5.设，而对应的齐次方程有一特解，试求：（1）p(x),f(x)的表达式；（2）该微分方程的通解。6