高等数学曲线积分与曲面积分习题课_第1页
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.,第八章曲线积分与曲面积分,习题课,一、主要内容,二、线、面积分的基本计算法,.,一、对弧长的曲线积分的概念,1.定义,.,被积函数,积分弧段,积分和式,曲线形构件的质量,.,2.存在条件：,3.推广,.,注意：,.,二、对弧长的曲线积分的性质,.,三、对坐标的曲线积分的概念,1.定义,.,类似地定义,.,2.存在条件：,3.组合形式,.,4.推广,.,即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.,四、对坐标的曲线积分的性质,.,五、对面积的曲面积分的定义,1.定义,.,六、对面积的曲面积分的性质,.,基本概念,观察以下曲面的侧(假设曲面是光滑的),曲面分上侧和下侧,曲面分内侧和外侧,.,曲面的分类:,1.双侧曲面;,2.单侧曲面.,典型双侧曲面,.,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,播放,.,曲面法向量的指向决定曲面的侧.,决定了侧的曲面称为有向曲面.,曲面的投影问题:,.,七、对坐标的曲面积分的定义,.,被积函数,积分曲面,类似可定义,.,存在条件:,组合形式:,物理意义:,.,八、对坐标的曲面积分的性质,.,九、曲线积分的计算法,1.基本方法,曲线积分,第一类(对弧长),第二类(对坐标),(1)选择积分变量,定积分,用参数方程,用直角坐标方程,用极坐标方程,(2)确定积分上下限,第一类:下小上大,第二类:下始上终,.,对弧长曲线积分的计算,定理,.,注意:,特殊情形,.,推广:,.,例1,解,.,例2,解,例3,解,.,例4,解,由对称性,知,.,对坐标的曲线积分的计算,定理,.,特殊情形,.,.,例5计算,其中L为摆线,上对应t从0到2的一段弧.,提示:,.,例6计算,其中由平面y=z截球面,提示:因在上有,故,原式=,从z轴正向看沿逆时针方向.,.,十、曲面积分的计算法,1.基本方法,曲面积分,第一类(对面积),第二类(对坐标),二重积分,(1)选择积分变量代入曲面方程,(2)积分元素投影,第一类:始终非负,第二类:有向投影,(3)确定二重积分域,把曲面积分域投影到相关坐标面,.,定理:设有光滑曲面,f(x,y,z)在上连续,存在,且有,对面积的曲面积分的计算法,则曲面积分,.,例7,解,.,.,若,则有,若,则有,(前正后负),(右正左负),对坐标的曲面积分计算:一投、二代、三定号,(上正下负),则有,若,.,解:把分为上下两部分,思考:
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