2009-2014全国大学生数学竞赛试题及答案(最完整版)

162 第一届(2009)全国大学生数学竞赛预赛试卷 第一届(2009)全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 一、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 1计算= + yx yx x y yx D dd 1 )1ln()( ，其中区域D由直线1=+ yx与两坐标轴所 围成三角形区域。 2设)(xf是连续函数，且满足 = 2 0 2 2d)(3)(xxfxxf, 则=)(xf ； 3曲面2 2 2 2 +=y x z平行平面022=+zyx的切平面方程是 ； 4设函数)(xyy =由方程29ln )(yyf exe=确定，其中f具有二阶导数，且1 f ，则 = 2 2 d d x y 。 二、 （本题满分 5 分）二、 （本题满分 5 分）求极限 x e nxxx x n eee )(lim 2 0 + ? ，其中n是给定的正整数。 三、 （本题满分 15 分）三、 （本题满分 15 分）设函数)(xf连续， = 1 0 d)()(txtfxg，且A x xf x = )( lim 0 ，A为常 数，求)(x g 并讨论)(x g 在0=x处的连续性。 四、 （本题满分 15 分）四、 （本题满分 15 分）已知平面区域0,0| ),(=yxyxD，L为D的正向边 界，试证： （1） = L xy L xy xyeyxexyeyxedddd sinsinsinsin ； （2） 2sinsin 2 5 dd L yy xyeyxe。 五、 （本题满分 10 分）五、 （本题满分 10 分）已知 xx exey 2 1 +=， xx exey += 2 ， xxx eexey += 2 3 是某二 阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程。 六、 （本题满分 10 分）六、 （本题满分 10 分）设抛物线cbxaxyln2 2 +=过原点。当10 x时,0y,又已 知该抛物线与x轴及直线1=x所围图形的面积为 3 1 。 试确定cba,使此图形绕x轴旋转一 周而成的旋转体的体积最小。 七、 （本题满分 15 分）七、 （本题满分 15 分）已知)(xun满足), 2 , 1()()( 1 ?=+= nexxuxu xn nn , 且 n e un=) 1 (, 求函数项级数 =1 )( n n xu之和。 八、 （本题满分 10 分）八、 （本题满分 10 分）求 1x时, 与 =0 2 n n x等价的无穷大量。 163 第一届(2010)全国大学生数学竞赛决赛试卷 第一届(2010)全国大学生数学竞赛决赛试卷 一、计算题（每小题 5 分，共 20 分） 一、计算题（每小题 5 分，共 20 分） 1求极限 1 2 1 lim(1)sin n n k kk nn = + 。 2 计算 2 222 ()axdydzzadxdy xyz + + ， 其中为下半球面 222 zayx= 的上侧，0a 。 3 现要设计一个容积为V的一个圆柱体的容器。 已知上下两底的材料费为单位面积a元， 而侧面的材料费为单位面积b元。试给出最节省的设计方案：即高与上下底的直径之比为何 值时所需费用最少？ 4 已知( )f x在 1 1 ( , ) 4 2 内满足 33 1 ( ) sincos fx xx = + ，求( )f x。 二、求下列极限（每小题 5 分，共 10 分） 二、求下列极限（每小题 5 分，共 10 分） 1 1 lim1 n n ne n + ； 2 111 lim 3 n nnn n abc + , 其中0,0,0abc。 三 、 （ 本 题 满 分 10 分 ） 三 、 （ 本 题 满 分 10 分 ） 设( )f x在1x =点 附 近 有 定 义 ， 且 在1x =点 可 导 ， (1)0,(1)2ff=，求 2 2 0 (sincos ) lim tan x fxx xxx + + 。 四、 （本题满分 10 分）四、 （本题满分 10 分）设( )f x在0,)+上连续，无穷积分 0 ( )f x dx 收敛。 求 0 1 lim( ) y y xf x dx y + 。 五 、（ 本 题 满 分 12 分 ） 五 、（ 本 题 满 分 12 分 ）设 函 数( )f x 在0,1上 连 续 ， 在(0,1)内 可 微 ， 且 1 (0)(1)0,( )1 2 fff= 。 证明： (1) 存在 1 ( ,1) 2 使得( )f= ；(2) 存在 (0, ) 使得( )( )1ff =+ 。 六、（本题满分 14 分）六、（本题满分 14 分） 设1n 为整数， 2 0 ( )1. 1!2! n x t ttt F xedt n =+ 。证明： 方程( ) 2 n F x = 在( , ) 2 n n内至少有一个根。 七、 （本题满分 12 分） 七、 （本题满分 12 分） 是否存在 1 R中的可微函数 ( )f x使得 2435 ( ( )1f f xxxxx= + ？若存在，请给出一个例子；若不存在，请给出证明。 八、 （本题满分 12 分）八、 （本题满分 12 分）设( )f x在0,)上一致连续，且对于固定的0,)x，当自然数 164 n 时()0f xn+。 证明： 函数序列 ():1,2,.f xnn+=在0,1上一致收敛于 0。 第二届(2010)全国大学生数学竞赛预赛试卷 第二届(2010)全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题（每小题 5 分，共 25 分） 一、填空题（每小题 5 分，共 25 分） 1. 设 22 (1)(1)(1), n n xaaa=+?其中| 1,a ，求 0 (1,2,) sxn Iex dx n = ?。 4. 设函数( )f t有二阶连续导数， 22 1 , ( , )rxyg x yf r =+= ，求 22 22 gg xy + 。 5. 求直线 1 0 : 0 xy l z = = 与直线 2 213 : 421 xyz l = 的距离。 二、 （本题满分 15 分）二、 （本题满分 15 分）设函数( )f x在(,) +上具有二阶导数，并且 ( )0, lim( )0, lim( )0, xx fxfxfx + =证明： （1）当1时，级数 1 n n n a S + = 收敛； （2）当1且() n sn时，级数 1 n n n a S + = 发散。 五、 （本题满分 15 分）五、 （本题满分 15 分）设l是过原点、方向为( , ) ， （其中 222 1)+=的直线， 均匀椭球 222 222 1 xyz abc +，其中（0,cba， 222 2: z xy=+， 为 1 与 2 的交线，求椭球面 1 在上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值。 五、 （本题满分 16 分）五、 （本题满分 16 分）已知S是空间曲线 22 31 0 xy z += = 绕y轴旋转形成的椭球面的上半 部分（0z ）取上侧，是S在(), ,P x y z点处的切平面，(), ,x y z是原点到切平面 的距离，, , 表示S的正法向的方向余弦。计算： （1） (), , S z dS x y z ； （2） ()3 S zxyz dS+ 。 166 六、 （本题满分 12 分）六、 （本题满分 12 分）设( )f x是在(,) +内的可微函数，且( )( )fxmf x ，其中 01m所围立体的表面积 二、 （本题满分 13 分）二、 （本题满分 13 分）讨论 22 0 cossin x dx xxx + + 的敛散性，其中是一个实常数. 三、 （本题满分 13 分）三、 （本题满分 13 分）设( )f x在(,) +上无穷次可微，并且满足:存在0M ，使得 ( )( )k fxM，(,)x +，(1,2,)k =?,且 1 ()0 2n f=，(1,2,)n =?求证：在 (,) +上，( )0f x 四、 （本题满分16分，第1小题6分，第2小题10分） 四、 （本题满分16分，第1小题6分，第2小题10分） 设D为椭圆形 22 22 1 xy ab +(0)ab，面密度为的均质薄板；l为通过椭圆焦点(,0c） (其中 222 cab=)垂直于薄板的旋转轴. 1. 求薄板D绕l旋转的转动惯量J； 2. 对于固定的转动惯量，讨论椭圆薄板的面积是否有最大值和最小值. 五、 （本题满分 12 分）五、 （本题满分 12 分）设连续可微函数( , )zf x y=由方程(,)0F xzy xyz=（其中 ( , )0F u v =有 连 续 的 偏 导 数 ） 唯 一 确 定 , L为 正 向 单 位 圆 周 . 试 求 ： 22 (2)(2) L Ixzyz dyxzyzdx=+ ? 六、 （本题满分 16 分，第 1 小题 6 分，第 2 小题 10 分） 六、 （本题满分 16 分，第 1 小题 6 分，第 2 小题 10 分） 168 (1)求解微分方程 2 (0)1 x yxyxe y = = (2)如( )yf x=为上述方程的解，证明 1 22 0 lim( ) 12 n n f x dx n x = + 第四届（2012）全国大学生数学竞赛预赛试卷 第四届（2012）全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、 （本题满分 30 分，每小题 6 分） 一、 （本题满分 30 分，每小题 6 分） 1. 求极限() 2 1 lim!n n n ； 2. 求通过直线 2320 : 55430 xyz L xyz += += 的两个相互垂直的平面 12 , ，使其中一个平面过 点()4, 3,1 ； 3. 已知函数() 2 ,0 ax by u zu x y e x y + = 且，确定常数ab和，使得函数(),zz x y=满足方 程 2 0 zzz z x yxy += ； 4. 设函数( )uu x=连续可微，( )21u=，且() () 3 2xy udxxu udy+ 在右半平面上与 路径无关，求( )u x； 5. 求极限 1 3 sin lim cos x xx t xdt tt + + + . 二、 （本题满分 10 分）二、 （本题满分 10 分）计算 2 0 sin x ex dx + 三、 （本题满分 10）三、 （本题满分 10）求方程 2 1 sin2501xx x =的近似解，精确到 0.001. 四、 （本题满分 12 分）四、 （本题满分 12 分）设函数( )yf x=的二阶可导，且( )( )( )0,00, 00fxff=， 求 ( ) ( ) 3 3 0 lim sin x x f u f xu ，其中u是曲线( )yf x=上点( )(),p x f x处的切线在x轴上的截距. 五、 （本题满分 12 分）五、 （本题满分 12 分）求最小实数C，使得满足( ) 1 0 1f x dx = 的连续函数( )f x都有 () 1 0 fx dxC 六、 （本题满分 12 分）六、 （本题满分 12 分）设( )f x为连续函数，0t . 区域是由抛物面 22 zxy=+和球面 169 () 2222 0 xyztt+=所围起来的部分. 定义三重积分 ( )() 222 F tf xyz dV =+ ，求导数( )Ft 七、 （本题满分 14 分）设 1 n n a = 与 1 n n b = 为正项级数 （1）若 11 1 lim0 n n nnn a abb + ，则 1 n n a = 收敛； （2）若 11 1 lim0 n n nnn a abb + ，证明( ) 2 sin b a f x dx m 五、 （满分 14 分）设是一个光滑封闭曲面，方向朝外。给定第二型的曲面积分 ()()() 333 23Ixx dydzyy dzdxzz dxdy =+ 。 试确定曲面， 使积分I的值最小， 并求该最小值。 六. （满分 14 分）六. （满分 14 分） 设( ) () 22 aa C ydxxdy Ir xy = + ? ， 其中a为常数， 曲线 C 为椭圆 222 xxyyr+=， 取正向。求极限( )lim a r Ir + 171 七.（满分 14 分）七.（满分 14 分）判断级数 ()() 1 11 1 2 12 n n nn = + + ? 的敛散性，若收敛，求其和。 第五届（2014）全国大学生数学竞赛决赛试卷 第五届（2014）全国大学生数学竞赛决赛试卷 一.解答下列各题（每小题 7 分，共 28 分，要求写出重要步骤） 一.解答下列各题（每小题 7 分，共 28 分，要求写出重要步骤） 1.计算积分 2 22 2 0 sin x t xdtdx t . 2.设( )f x是0,1上的连续函数，且满足 1 0 ( )1f x dx= ，求一个这样的函数( )f x使积分 () 1 22 0 1( )Ixfx dx=+ 取得最小值. 3.设( , , )F x y z和( , , )G x y z有连续偏导数， ( ,) 0 ( , ) F G x z ，曲线 ( , , )0 : ( , , )0 F x y z G x y z = = 过点 0000 (,)P xyz，记在xoy面上的投影曲线为 S，求 S 上过点 00 (,)xy的切线方程. 4.设矩阵 121 34 122 Aa = ，其中a为常数，矩阵B满足关系式ABABE=+，其中E是 单位矩阵且BE.若秩()3Rank AB+=，试求常数a的值. 二. （12 分）二. （12 分） 设() 42 1 ( ),()( )( )() 2 f xCf xhf xfx hfxh h +=+， 其中是 与, x h无关的常数，证明( )f x是不超过三次的多项式. 三.（12 分）三.（12 分）设当1x 时，可微函数( )f x满足条件： 0 1 ( )( )( )0 1 x fxf xf t dt x += + ， 且(0)1f=，试证：当0 x 时，有( )1 x ef x . 四.（10 分）四.（10 分）设( , ) 01,01,Dx yxy=，( , ) D If x y dxdy=，其中函数( , )f x y在 D上有连续二阶偏导数，若对任何, x y有(0, )( ,0)0fyf x=，且 2 ( , )f x y A x y .证明 4 A I . 五.(12 分)五.(12 分)设函数( )f x连续可导， () 22 ()PQRfxyz=+，有向曲面 t 是圆柱体 172 222 xyt+，01z的表面， 方向朝外， 记第二型曲面积分 t PdydzQdzdxRdxdy + ， 求极限 4 0 lim t t I t + . 六.（12 分）六.（12 分）设,A B为两个 n 阶正定矩阵，求证AB正定的充要条件是ABBA=. 七.（12 分）七.（12 分）假设 0 n n n a x = 的收敛半径是 1，lim0 n n na =，且 1 0 lim n n x n a xA = = ，证明 0 n n a = 收敛于常数A。 第六届（2014）全国大学生数学竞赛预赛试卷 第六届（2014）全国大学生数学竞赛预赛试卷 一填空题（满分 30 分，每小题 6 分） 一填空题（满分 30 分，每小题 6 分） 1.已知 1 x ye=和 2 x yxe=是齐次二阶常系数线性微分方程的解， 则该方程是 ； 2. 设有曲面 22 :2S zxy=+和平面:220Lxyz+=，则与L平行的S的切平面方程 是 ； 3.设函数( )yy x=由方程 2 1 sin () 4 y x t xdt =所确定，求 0 x dy dx = = ； 4. 设 () 1 1 ! n n k k x k = = + ，则lim n n x = ； 5.已知 1 3 0 ( ) lim 1 x x f x xe x + += 则 2 0 ( ) lim x f x x = ； 二 （本题满分 12 分）（本题满分 12 分）设n为正整数，计算 2 1 1 cos ln n e d Idx dxx = 。 三 （本题满分 14 分）三 （本题满分 14 分）设函数( )f x在0,1上有二阶导数，且有正常数,A B使得 ( ),( )f xA fxB，证明对任意0,1x，有( )2 2 B fxA+。 四 （本题满分 14 分） （1）四 （本题满分 14 分） （1）设有一球缺高为h，所在球半径为R。证明该球缺的体积为 2 (3) 2 Rh h ，球冠的面积为2 Rh。 （2）（2）设球体 222 (1)(1)(1)12xyz+被平面:6P xyz+=所截的小球缺为。 记球缺上的球冠为，方向指向球外，求第二型曲面积分Ixdydzydzdxzdxdy =+ 。 五 （本题满分 15 分）五 （本题满分 15 分）设f在 , a b上非负连续，严格单增，且存在 , n xa b使得 173 1 () ( ) b nn n a f xf xdx ba = ，求lim n n x 。 六 （本题满分 15 分）六 （本题满分 15 分）设 22222 12 n nnn A nnnn =+ + ?，求lim 4 n n nA 。 第一届(2009)全国大学生数学竞赛预赛试卷（答案） 第一届(2009)全国大学生数学竞赛预赛试卷（答案） 一、填空题 一、填空题 116 15 ； 2 3 10 3)( 2 = xxf； 32250 xyz+=； 4 2 23 ( )1( ) 1( ) fyfy xfy 。 二、解: 二、解: 原式 2 2 2 =lim(1) xxnx xxnx neeen e xxnx nx eeen x eeen n + + + + ? ? ? 22 00 21 21 limlim 2 = xxnxxxnx xx eeeneenenn eeee nxnn eeee + + = ? 。 三、 解: 三、 解: 由A x xf x = )( lim 0 和函数)(xf连续知， 0 )( limlim)(lim)0( 000 = x xf xxff xxx ， 因 = 1 0 d)()(txtfxg， 故0)0(d)0()0( 1 0 =ftfg， 因 此 ， 当0x时 ， = x uuf x xg 0 d)( 1 )(，故0)0( 1 )( lim d)( lim)(lim 0 0 00 = f xf x uuf xg x x xx 当0x时， x xf uuf x xg x )( d)( 1 )( 0 2 += ， 2 0 0 0 00 d)( lim d)( 1 lim )0()( lim)0( x ttf x ttf x x gxg g x x x xx = = 22 )( lim 0 A x xf x = ， 22 d)( 1 lim )( lim )( d)( 1 lim)(lim 0 2 000 2 00 AA Auuf xx xf x xf uuf x xg x xx x xx =+= 。 这表明)(xg在0=x处连续. 四、证明: 四、证明: 因被积函数的偏导数连续在D上连续，故由格林公式知 （1）yxye y xe x xyeyxe D xy L xy dd)()(dd sinsinsinsin = yxee D xy dd )( sinsin += L xy xyeyxedd sinsin yxye y xe x D xy dd)()( sinsin = yxee D xy dd )( sinsin += 而D关于yx=是对称的，即知yxee D xy dd )( sinsin +yxee D xy dd )( sinsin += ， 174 因此 = L xy L xy xyeyxexyeyxedddd sinsinsinsin 。 （2）因)1 (2) ! 4! 2 1 (2 2 42 t tt ee tt +=+ ? 故 2 2cos5 2 2cos1 2sin2 2sinsin xx xee xx = +=+ 由 +=+= D xy LD xyyy yxeeyxeexyeyxedd)(dd )(dd sinsinsinsinsinsin 知 += D xy LD xyyy yxeeyxeexyeyxedd)( 2 1 dd )( 2 1 dd sinsinsinsinsinsin +=+= D xx D xx D yy yxeeyxeeyxeedd)(dd)( 2 1 dd )( 2 1 sinsinsinsinsinsin 2 00 sinsin 2 5 d 2 2cos5 d)( = += x x xee xx 即 2sinsin 2 5 dd L yy xyeyxe。 五、解： 五、解： 设 xx exey 2 1 +=， xx exey += 2 ， xxx eexey += 2 3 是二阶常系数线性非 齐次微分方程)(xfcyyby=+ 的三个解，则 xx eeyy 2 12 = 和 x eyy = 13 都是 二阶常系数线性齐次微分方程0=+ cyyby的解，因此0=+ cyyby的特征多项式 是0) 1)(2(=+，而0=+ cyyby的特征多项式是0 2 =+cb ，因此二阶常 系 数 线 性 齐 次 微 分 方 程 为02= yyy， 由)(2 111 xfyyy= 和 xxx exeey 2 1 2+=， xxx exeey 2 1 42+= 知， 111 2)(yyyxf =)(2)2(42 222xxxxxxxx exeeexeeexe+= x ex)21 ( = 二阶常系数线性非齐次微分方程为 xx xeeyyy22= 。 六、解： 六、解： 因抛物线cbxaxyln2 2 +=过原点，故1=c，于是 2323 dt)( 3 1 1 0 23 1 0 2 ba x b x a bxax+= +=+=，即)1 ( 3 2 ab=。而此图形绕x轴旋转一 周而成的旋转体的体积 +=+= 1 0 22 1 0 22 dt)1 ( 3 2 (dt)()(xaaxbxaxaV += 1 0 22 1 0 3 1 0 42 dt)1 ( 9 4 dt)1 ( 3 4 dtxaxaaxa 22 )1 ( 27 4 )1 ( 3 1 5 1 aaaa+=,即 22 )1 ( 27 4 )1 ( 3 1 5 1 )(aaaaaV+=， 令0)1 ( 27 8 )21 ( 3 1 5 2 )(=+=aaaaV，得04040904554=+aaa ，即 054=+a，又 54 ()0 4135 V=，因此 4 5 =a, 2 3 =b,1=c时体积最小。 175 七、解： 七、解： xn nn exxuxu 1 )()( +=，即 xn exyy 1 =，由一阶线性非齐次微分方程公式知 )d( 1 xxCey nx +=，即)( n x Cey n x +=， 因此)()( n x Cexu n x n +=。 由) 1 () 1 ( n Ceu n e n +=知 ，0=C， 于 是 n ex xu xn n =)(。 下 面 求 级 数 的 和 ： 令 = = = 11 )()( n xn n n n ex xuxS， 则 x e xSexxS n ex exxS x n xn n xn xn +=+=+= = = 1 )()()()( 1 1 1 1 ，即 x e xSxS x = 1 )()( ， 由一阶线性非齐次微分方程公式知)d 1 1 ()(x x CexS x +=， 令0=x， 得CS=)0(0， 因此级数 =1 )( n n xu的和)1ln()(xexS x = 。 八、解： 八、解： 令 2 )( t xtf=，则因当10 x，(0,)t+时， 2 ( )2ln0 t f ttxx= 0 0 11 ( )( ) y x y x xF xF x dx yy = = 0 1 ( )( ) y F yF x dx y = 故 0 00 ( ) 11 lim( )lim ( )( )lim y yy yyy F x dx xf x dxF yF x dxl yyy + = 0 ( ) lim()=lim( )0 y yy F x dx llF yll y + = = = 洛比达法则。 五、 证明: 证明: (1)令 ( )( ),F xf xx= 则在上连续0,1上连续，且 1 ( ) (1)0 2 FF， 2 (1.)1 1!2! n t ttt e n + ， 故 有 2 2 0 ( )1. 21!2!2 nn t ntttn Fedt n =+即可。 22 00 ( )1.1. 1!2!1!2! nn nn tt tttttt F nedtde nn =+= + 221 0 11.1. 1!2!1!2!(1)! nn n nt nnnttt eedt nn = + 221 11.11. 1!2!1!2!(1)! nn nn nnnnnn ee nn = + + ? 11+1 1! nn n ee + 178 记 ! i i n a i = ，那么 012 1 n aaaa= + = 。证毕。 七 、解 ：七 、解 ： 不 存 在 。 解 法 一 ： 假 设 存 在 1 R 中 的 可 微 函 数( )f x使 得 2435 ( ( )1f f xxxxx= +。考虑方程( ( )ff xx=。即 2435 1xxxxx+= ， 24 (1)(1)0 xxx+= ，此方程有唯一实根 1x = ，即( ( )f f x有唯一不动点 1x = 。下面 说明 1x = 也是( )f x的不动点。 事实上， 令(1)=ft， 则( )( (1)=1f tff=，( ( )= (1)1f f tf= ，因此 1t = 。记( )( ( )g xff x=，( )( ( )( )g xff xfx = ，则 2 (1)(1)0gf=。另一 方面， 324 ( )2435g xxxxx=+，从而(1)2g= 。矛盾。 解法二： 首先， 不存在 k x +， 使得() k f x有界， 否则 2435 ( ()1 kkkkk f f xxxxx= + 有界，矛盾。因此 lim( ) x f x + = ，从而由连续函数的介值性有 lim( ) x f x + = + ，或 lim( ) x f x + = 。若 lim( ) x f x + = + ，则 lim( ( )lim( ) xy f f xf y + = ，矛盾。若 lim( ) x f x + = ， 则lim( ( )lim( ) xy f f xf y + = +， 矛盾。 因此无论哪种情况都不可能。 八、证明：八、证明：由于( )f x在0,)上一致连续，故对任意给定的0，存在0使得 12 ()() 2 f xf x ，只要 12 xx， 并在0,1中取m个点： 12 01 m xxx=?，其中(1,2,) j j xjm m =?。这样，对 179 于每一个j， 1 1 jj xx m + =， 又由于lim()0 n f xn +=， 故对于每一个 j x， 存在一个 j N 使得() 2 j f xn +， 这里的是前面给定的。 令 12 max, m NN NN=?， 那么() 2 j f xn +，其中1,2,jm=?。设0,1x是任意一点，这时总 有一个 j x使得 1 , jj xxx + 。由于( )f x在0,)上一致连续及 j xx可知， ()()(1,2,) 2 j f xnf xnn + 知， 必有一个充分大的 0 ax ， 使得 ( )0fa ， 又 ( )0fx ， 故 ( )fx 单 调 增 加 ， 又 由 拉 格 朗 日 中 值 定 理 知 ， 当 xa 时 ， ( )( )( )()( )()f xf afxafa xaa=， ，即 ( )( )( )()f xf afa xa+ ，故当 +x 时，( )+f x ，从而存在 0 bax ，使得 ( )( )( )()0f bf afa ba+ 。同 理存在 0 dx 。在 00 , , ,x bd x 上应用零点定理知至少存在两点 1020 (, ),( ,)xx b xd x ，使得 12 ( )0,()0f xf x= 。下面证明方程 ( )0f x= 在( ,) + 只 有两个实根。 用反证法。 假设方程 ( )0f x= 在( ,) + 内有三个实根， 不妨设为 123 ,x xx， ， 且 123 xxx 时， 11 1 111 (1)(1) n n nnn a a SSS = 。显然 11 1 11 nn SS 的前 项和有界，从而收敛，所以级数 1 n n n a S + = 收敛。 （2）当1= 时，因为 0 n a ， n S 单调递增，所以 11 1 1 npnp npn kn k k nk n knpnpnp SS aS a SSSS + + = += + + = ，因为 n S +，对任意的n，存在nN ， 1 2 n n p S S + ，从而 1 1 2 np k k n k a S + = + ，所以级数 1 n n n a S + = 发散。当 1 时， nn nn aa SS ，由 1 n n n a S + = 发 散及比较判别法， 1 n n n a S + = 发散。 五、解：五、解： （1）设旋转轴l的方向向量为( , )l = ? ，椭圆内任意一点( , , )P x y z的径向量为 r ? ，则点( , , )P x y z到旋转轴l的距离的平方为 2222222 (1)(1)(1)222dxyzxyyzzx=+ 0 xydVyzdVzxdV = 222 222 2 2223 2 1 4 (1) 15 cc cc xyz abc z z dVz dzdxdyabz dzabc c + = 由轮换对称性， 2323 44 , 1515 x dVa bcy dVab c = 由转动惯量的定义 2232323 444 (1)(1)(1) 151515 Id dVa bcab cabc =+ 22