数学2.3.1离散型随机变量的均值与方差[2].ppt

离散型随机变量的方差,E(X)x1p1x2p2xipixnpn,复习巩固,2.离散型随机变量的均值有哪几条基本性质？,（1）E(aXb)aE(X)b；,（2）若随机变量X服从两点分布，则E(X)p；,（3）若随机变量XB(n，p)，则E(X)np.,复习巩固,如果其他对手的射击成绩都在8环左右，应派哪一名选手参赛？,已知甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数x1、x2的分布列如下：,试比较两名射手的射击水平.,如果其他对手的射击成绩都在9环左右，应派哪一名选手参赛？,显然两名选手的水平是不同的,这里要进一步去分析他们的成绩的稳定性.,一组数据的方差：,在一组数：x1,x2,xn中，各数据的平均数为，则这组数据的方差为：,类似于这个概念,我们可以定义随机变量的方差.,离散型随机变量取值的方差的定义,设离散型随机变量X的分布为：,则称,为随机变量X的方差。,称,为随机变量X的标准差。,随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，即越集中于均值。,练习1.已知随机变量x的分布列,求D(x)和(x).,解：,2.若随机变量x满足P（xc）1，其中c为常数，求E(x)和D(x).,E(x)c1c,D(x)（cc）210,方差或标准差的大小变化，对随机变量偏离于均值的平均程度产生什么影响？,方差或标准差越小(大)，随机变量偏离于均值的平均程度越小(大).,新知探究,5、随机变量的方差与样本数据的方差有何联系和区别？,联系：都是反映离散程度和稳定性的定量指标.,区别：随机变量的方差是常数，样本的方差是随机变量，随着样本容量的增加，样本方差愈接近总体方差.,新知探究,对随机变量X的方差、标准差的理解(1)随机变量X的方差的定义与一组数据的方差的定义是相同的(2)随机变量X的方差和标准差都反映了随机变量X取值的稳定性和波动、集中与离散程度(3)D(X)越小，稳定性越高，波动越小(4)标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛,名师点睛,1,数学期望与方差的关系(1)数学期望和方差是描述随机变量的两个重要特征数学期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均值，而方差表现了随机变量所取的值相对于数学期望的集中与离散的程度(2)E(X)是一个实数，即X作为随机变量是可变的，而E(X)是不变的，它描述X的取值的平均水平，D(X)表示随机变量X对E(X)的平均偏离程度，D(X)越大表明平均偏离程度越大，说明X的取值越分散，反之，D(X)越小，X的取值越集中(3)D(X)与E(X)一样也是一个实数，由X的分布列唯一确定(当然方差是建立在数学期望这一概念上的),2,如果其他对手的射击成绩都在8环左右，应派哪一名选手参赛？,已知甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数x1、x2的分布列如下：,试比较两名射手的射击水平.,如果其他对手的射击成绩都在9环左右，应派哪一名选手参赛？,如果对手在8环左右,派甲.如果对手在9环左右,派乙.,6、若随机变量X服从两点分布B(1，p)，则D(X)等于什么？,D(X)p(1p),7、若随机变量X服从二项分布B(2，p)，则D(X)等于什么？,D(X)2p(1p),新知探究,8、据归纳推理，若随机变量X服从二项分布B(n，p)，则D(X)等于什么？,D(X)np(1p)(1p)E(X),新知探究,若随机变量服从二项分布，且E()=6，D()=4,则此二项分布是。,设二项分布为B(n,p),则,练习,9、若YaXb，其中a，b为常数，则D(Y)与D(X)有什么关系？由此可得什么结论？,D(aXb)a2D(X),D(Y)a2D(X),新知探究,五、几个常用公式：,1.已知随机变量x的分布列为则E(x)与D(x)的值为()(A)0.6和0.7(B)1.7和0.3(C)0.3和0.7(D)1.7和0.212.已知xB(100,0.5),则E(x)=_,D(x)=_,s(x)=_.E(2x-1)=_,D(2x-1)=_,s(2x-1)=_,D,50,25,5,99,100,10,3、有一批数量很大的商品，其中次品占1，现从中任意地连续取出200件商品，设其次品数为X，求E(X)和D(X)。,2，1.98,1.E(X)只反映离散型随机变量的平均取值，D(X)则刻画了随机变量的取值与均值的偏离程度，D(X)越小，说明随机变量的取值越集中于均值附近，标准差(X)即也具有同等意义.,课堂小结,2.在实际应用中，E(X)和D(X)是比较产品质量，水平高低，方案优劣等问题的定量指标，在许多决策问题中起着重要的作用.,课堂小结,3.随机变量的均值和方差与样本数据的均值和方差有相近的含义和作用，但应用背景不同，计算公式不同，不可混为一谈.,课堂小结,4.对于两点分布和二项分布的方差，可以直接利用方差性质进行计算，对具有线性关系的两个随机变量的方差，常利用D(aXb)a2D(X)进行转化.,课堂小结,离散型随机变量的方差习题课,(2)意义：随机变量的方差和均值都反映了随机变量取值偏离于_的平均程度方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的_(3)离散型随机变量方差的性质设a，b为常数，则D(aXb)_,(xiE(X)2,均值,平均程度越小,a2D(X),服从两点分布与二项分布的随机变量的方差,2,p(1p),np(1p),题型一求离散型随机变量的方差,袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n1，2，3，4)现从袋中任取一球表示所取球的标号(1)求的分布列、期望和方差；(2)若ab，E()1，D()11，试求a，b的值思路探索(1)根据题意，由古典概型概率公式求出分布列，再利用均值，方差公式求解(2)运用E()aE()b，D()a2D()求a，b.,【例1】,解(1)的分布列为：,规律方法求离散型随机变量的均值或方差的关键是列分布列，而列分布列的关键是要清楚随机试验中每一个可能出现的结果同时还能正确求出每一个结果出现的概率,已知X的分布列为,【变式1】,求：(1)E(X)，D(X)；(2)设Y2X3，求E(Y)，D(Y),思路探索判断某一离散型随机变量是否服从二项分布，是利用公式E()np，D()np(1p)的先决条件,题型二两点分布与二项分布的方差,【例2】,规律方法记准方差的性质：D(ab)a2D()若服从两点分布，则D()p(1p)若B(n，p)，则D()np(1p),设一次试验的成功率为p，进行100次独立重复试验，求当p为何值时，成功次数的标准差的值最大？并求其最大值,【变式2】,A，B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2.根据市场分析，X1和X2的分布列分别为,题型三均值与方差的综合应用,【例3】,(1)在A，B两个项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差D(Y1)，D(Y2)；(2)将x(0x100)万元投资A项目，100x万元投资B项目，f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取得最小值(注：D(aXb)a2D(X),规范解答(1)由题设可知Y1和Y2的分布列分别为,(2分),E(Y1)50.8100.26，D(Y1)(56)20.8(106)20.24.(4分)E(Y2)20.280.5120.38，D(Y2)(28)20.2(88)20.5(128)20.312.(6分),【题后反思】解均值与方差的综合问题时的注意事项(1)离散型随机变量的分布列、均值和方差是三个紧密联系的有机统一体，一般在试题中综合在一起考查，其解题的关键是求出分布列；(2)在求分布列时，要注意利用等可能事件、互斥事件、相互独立事件的概率公式计算概率，并注意结合分布列的性质，简化概率计算；(3)在计算均值与方差时要注意运用均值和方差的性质以避免一些复杂的计算若随机变量X服从两点分布、二项分布可直接利用对应公式求解,从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数(1)求X的分布列；(2)求X的均值与方差；(3)求“所选3人中女生人数X1”的概率,【变式3】,某农科院对两个优良品种甲、乙在相同的条件下进行对比实验，100公顷的产量列表如下：甲：,误区警示忽略对方差的比较致误,【示例】,乙：,试判断这两个品种哪一个较好？错解设甲品种每公顷产量为X，则X的概率分布为：,由上表可得E(X)甲9.40.119.50.329.80.4210.20.159.72.同理可以计算出E(X)乙9.20.359.50.2100.35110.19.72.由E(X)甲E(X)乙，可知甲、乙两个品种的质量相同,对于如何评价两个品种的质量的标准只是停在用均值来比较的层面上，误以为均值相同即质量相同，忽视了还可以利用方差对产量的稳定性进行考察,正解由错解知：E(X)甲E(X)乙9.72，D(X)甲(9.49.72)20.11(9.59.72)20.32(9.89.72)20.42(10.29.72)20.150.064.D(X)乙(9.29.72)20.35(9.59.72)20.2(109.72)20.35(119.72)20.10.2956，D(X)甲D(X)乙所以甲品种质量更好一点,对于两个对象的优劣的比较，首先要比较它们的均值，当均值一致时，还必须利用方差，对其稳定性进行分析比较,练习1.随机抛掷一枚质地均匀的骰子，求向上一面的点数X的均值、方差和标准差.,E(X)3.5,D(X)2.92,1.71,典例讲评,例2有甲、乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：,根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？,E(X1)E(X2)1400，D(X1)40000，D(X2)160000.,典例讲评,例3已知随机变量X的分布列为：若Y2X3，求D(Y).,E(X)3，D(X)1.2，D(Y)4D(X)4.8.,典例讲评,例4某射手每次射击命中目标的概率都是0.6，设连续射击10次命中目标的次数为X，求随机变量X的方差.,XB(10，0.6)，D(X)100.60.42.4.,典例讲评,例5袋中有6个红球和4个白球，从中任取一个球，记住颜色后再放回，连续抽取4次，设取得白球的次数为X，求随机变量X的期望和方差.,XB