小学奥数资料：长方体与正方体题库教师版

长方体与正方体对于小学几何而言，立体图形的表面积和体积计算，既可以很好地考查学生的空间想象能力，又可以具体考查学生在公式应用中处理相关数据的能力，所以，很多重要考试都很重视对立体图形的考查例题精讲如右图，长方体共有六个面(每个面都是长方形)，八个顶点，十二条棱在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等(叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形)长方体的表面积和体积的计算公式是：长方体的表面积：；长方体的体积：正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形如果它的棱长为，那么：，板块一 长方体与正方体的表面积【例 1】 右图中共有多少个面？多少条棱？【解析】 如右图所示，可以分前、后、左、右、上、下六个方向看这个立体图形前、后看各有1个面，左面看有1个面，右面看有2个面，上面看有2个面，下面看有1个面所以共有(个)面前后方向的棱有6条，左右方向的棱有6条，上下方向的棱也有6条，所以共有棱(条) 【巩固】右图中共有多少个面？多少条棱？【解析】 9个面，21条棱【例 2】 如右图，在一个棱长为10的立方体上截取一个长为8，宽为3，高为2的小长方体，那么新的几何体的表面积是多少？【解析】 我们从三个方向(前后、左右、上下)考虑，新几何体的表面积仍为原立方体的表面积：10106600【巩固】在一个棱长为50厘米的正方体木块，在它的八个角上各挖去一个棱长为5厘米的小正方体，问剩下的立体图形的表面积是多少？【解析】 对于和长方体相关的立体图形表面积，一般从上下、左右、前后3个方向考虑变化前后的表面积不变：5050615000(平方厘米)【例 3】 如右图，有一个边长是5的立方体，如果它的左上方截去一个边分别是5，3，2的长方体，那么它的表面积减少了多少?【解析】 原来正方体的表面积为556150现在立体图形的表面积减少了前后两个面中的部分面，它们的面积为(32)212，所以减少的面积就是12【例 4】 右图是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长l厘米的正方体，做成一种玩具它的表面积是多少平方厘米?（图中只画出了前面、右面、上面挖去的正方体）【解析】 原正方体的表面积是44696(平方厘米)每一个面被挖去一个边长是1厘米的正方形，同时又增加了5个边长是1厘米的正方体作为玩具的表面积的组成部分总的来看，每一个面都增加了4个边长是1厘米的正方形从而，它的表面积是：9646120平方厘米【例 5】 如图，有一个边长为20厘米的大正方体，分别在它的角上、棱上、面上各挖掉一个大小相同的小立方体后，表面积变为2454平方厘米，那么挖掉的小立方体的边长是多少厘米？【解析】 大立方体的表面积是202062400平方厘米在角上挖掉一个小正方体后，外面少了3个面，但里面又多出3个面；在棱上挖掉一个小正方体后，外面少了2个面，但里面多出4个面；在面上挖掉一个小正方体后，外面少了1个面，但里面多出5个面所以，最后的情况是挖掉了三个小正方体，反而多出了6个面，可以计算出每个面的面积：(24542400)69平方厘米，说明小正方体的棱长是3厘米 【例 6】 下图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为1厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为厘米的正方形小洞，第三个正方形小洞的挖法和前两个相同为厘米，那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？ 【解析】 我们仍然从3个方向考虑平行于上下表面的各面面积之和：2228(平方厘米)；左右方向、前后方向：22416(平方厘米)，1144(平方厘米)，41(平方厘米)，4(平方厘米)，这个立体图形的表面积为：41(平方厘米).【例 7】 （小学生数学报邀请赛）从一个棱长为10厘米的正方形木块中挖去一个长10厘米、宽2厘米、高2厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少？(写出符合要求的全部答案)【解析】 按图1所示沿一条棱挖，为592平方厘米；按图2所示在某一面上挖，为632平方厘米；按图3所示在某面上斜着挖，为648平方厘米；按图4所示挖通两个对面，为672平方厘米 图1 图2 图3图4【例 8】 （北京市第十二届迎春杯）一个正方体木块，棱长是15从它的八个顶点处各截去棱长分别是1、2、3、4、5、6、7、8的小正方体这个木块剩下部分的表面积最少是多少？【解析】 截去一个小正方体，表面积不变，只有在截去的小正方体的面相重合时，表面积才会减少，所以要使木块剩下部分的表面积尽可能小，应该在同一条棱的两端各截去棱长7与8的小正方体(如图所示)，这时剩下部分的表面积比原正方体的表面积减少最多剩下部分的表面积最小是： 151567721252想想为什么不是151567788 ？ 【例 9】 从一个长8厘米、宽7厘米、高6厘米的长方体中截下一个最大的正方体(如下图)，剩下部分的表面积之和是 平方厘米【解析】 可以将这个图形看作一个八棱柱，表面积和为：(平方厘米)也可以这样想：由于截去后原来的长方体的表面少了3个的正方形，而新图形凹进去的部分恰好是3个的正方形，所以新图形的表面积与原图形的表面积相等，为(平方厘米)【巩固】一个长、宽、高分别为厘米、厘米、厘米的长方形，现从它的上面尽可能大的切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大的切下一个正方体，剩下的体积是多少平方厘米？【解析】 本题的关键是确定三次切下的正方体的棱长.由于，为了方便起见.我们先考虑长、宽、高分别为厘米、厘米、厘米的长方体.因为,容易知道第一次切下的正方体棱长应该是厘米（如图），第二次切时，切下棱长为厘米的正方体符合要求.第三次切时，切下棱长为厘米的正方体符合要求.剩下的体积应是（平方厘米）.【例 10】 一个正方体木块，棱长是1米，沿着水平方向将它锯成2片，每片又锯成3长条，每条又锯成4小块，共得到大大小小的长方体24块，那么这24块长方体的表面积之和是多少？ 【解析】 锯一次增加两个面，锯的总次数转化为增加的面数的公式为：锯的总次数2增加的面数原正方体表面积：1166(平方米)，一共锯了(21)(31)(41)6次，6112618(平方米)【巩固】如右图，一个正方体形状的木块，棱长l米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每条又锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块那么，这60块长方体表面积的和是多少平方米?【解析】 我们知道每切一刀，多出的表面积恰好是原正方体的2个面的面积现在一共切了(31)(41)(51)9刀，而原正方体一个面的面积1l1(平方米)，所以表面积增加了92118(平方米)原来正方体的表面积为616(平方米)，所以现在的这些小长方体的表积之和为618=24(平方米)【巩固】(2008年走美六年级初赛)一个表面积为的长方体如图切成27个小长方体，这27个小长方体表面积的和是 【解析】 每一刀增加两个切面，增加的表面积等于与切面平行的两个表面积，所以每个方向切两刀后，表面积增加到原来的3倍，即表面积的和为【例 11】 右图是一个表面被涂上红色的棱长为10厘米的正方体木块，如果把它沿虚线切成8个正方体，这些小正方体中没有被涂上红色的所有表面的面积和是多少平方厘米？【解析】 10106600(平方厘米)【例 12】 有个同样大小的正方体，将它们堆成一个长方体，这个长方体的底面就是原正方体的底面如果这个长方体的表面积是3096平方厘米，当从这个长方体的顶部拿去一个正方体后，新的长方体的表面积比原长方体的表面积减少144平方厘米，那么为多少？【解析】 由于堆成的长方体的底面就是原来正方体的底面，说明这个长方体是由这些正方体一字排开组成的，从这个长方体的顶部拿去一个正方体，减少的面积相当于侧面的四个正方形的面积，所以正方体每个面的面积是(平方厘米)所堆成的长方体的表面积，包含底面的2个正方形和侧面的个正方形，所以【例 13】 边长分别是3、5、8的三个正方体拼在一起，在各种拼法中，表面积最小多少？【解析】 三个正方体两两拼接时，最多重合3个正方形面，其中边长为3的正方体与其它两个正方体重合的面积不超过边长为3的正方形，边长为5和边长为8的正方体的重合面面积不超过边长为5的正方形，三个正方形表面积和为6336556882233255502.【例 14】 如图，25块边长为1的正方体积木拼成一个几何体，表面积最小是多少？ 【解析】 当小积木互相重合的面最多时表面积最小.设想27块边长为1的正方形积木，当拼成一个的正方体时，表面积最小，现在要去掉2块小积木，只有在两个角上各去掉一块小积木，或在同一个角去掉两块相邻的积木时，表面积不会增加，该几何体表面积为54.【例 15】 用6块右图所示(单位：cm)的长方体木块拼成一个大长方体，有许多种拼法，其中表面积最小的是多少平方厘米？最大是多少平方厘米？【解析】 要使表面积最小，需重叠的面积最大，如图的拼接方式新的长方体长为，宽为，高为，所以表面积为；要使表面积最大需重叠的面积最小，如图所示，长为，宽为2，高为，所以最大的表面积为 【巩固】用10块长5厘米，宽3厘米，高7厘米的长方体积木堆成一个长方体，这个长方体的表面积最小是多少?【解析】 教师可以先提问：这个长方体的表面积最大是多少?为使表面积最大，要尽量保证102个75的面成为表面，想要做到这点很容易，只需将75面做底面，而后将10个长方体连排，衔接的面选用35的面(衔接的面将不能成为表面积)，这样得到的长方体表面积最大同样要想最小，可把75面做衔接的面，可得到10个长方体的连排，但此时我们还可以再制造出衔接面，如图：此时增加了2个57的面，减少了10个37的面，总体来讲表面积减少了表面积是：2(7151510107)650(平方厘米)，所以这就是最小的表面积【例 16】 要把12件同样的长a、宽b、高h的长方体物品拼装成一件大的长方体，使打包后表面积最小，该如何打包？当 b2h时，如何打包？当 b2h时，如何打包？当 b2h时，如何打包？【解析】 图2和图3正面的面积相同，侧面面积正面周长长方体长，所以正面的周长愈大表面积越大，图2的正面周长是8h6b，图3的周长是12h4b.两者的周长之差为2（b2h）.当b2h时，图2和图3周长相等，可随意打包；当b2h时，按图2打包；当b2h时，按图3打包. 【巩固】要把6件同样的长17、宽7、高3的长方体物品拼装成一件大的长方体，表面积最小是多少？【解析】 考虑所有的包装方法，因为6123，所以一共有两种拼接方式：第一种按长宽高116拼接，重叠面有三种选择，共3种包装方法.第二种按长宽高123拼接，有3个长方体并列方向的重叠面有三种选择，有2个长方体并列方向的重叠面剩下2种选择，一共有6种包装方法.其中表面积最小的包装方法如图所示，表面积为1034.【例 17】 如图，在一个棱长为5分米的正方体上放一个棱长为4分米的小正方体，求这个立体图形的表面积【解析】 我们把上面的小正方体想象成是可以向下“压缩”的，“压缩”后我们发现：小正方体的上面与大正方体上面中的阴影部分合在一起，正好是大正方体的上面.这样这个立体图形的表面积就可以分成这样两部分：上下方向：大正方体的两个底面；四周方向(左右、前后方向)：小正方体的四个侧面，大正方体的四个侧面上下方向：(平方分米)；侧面：(平方分米)，(平方分米)这个立体图形的表面积为：(平方分米)【巩固】如右图所示，由三个正方体木块粘合而成的模型，它们的棱长分别为1米、2米、4米，要在表面涂刷油漆，如果大正方体的下面不涂油漆，则模型涂刷油漆的面积是多少平方米？【解析】 该图形从前、后、左、右四面观察到的面积都是平方米，从上面观察到的面积是平方米，由于下面不涂油漆，所以涂刷油漆的面积是平方米【例 18】 (2008年“希望杯”五年级第2试)如图，棱长分别为厘米、厘米、厘米、厘米的四个正方体紧贴在一起，则所得到的多面体的表面积是_平方厘米【解析】 (法1)四个正方体的表面积之和为：(平方厘米)，重叠部分的面积为：(平方厘米)，所以，所得到的多面体的表面积为：(平方厘米)(法2)三视图法从前后面观察到的面积为平方厘米,从左右两个面观察到的面积为平方厘米，从上下能观察到的面积为平方厘米表面积为(平方厘米)【例 19】 边长为1厘米的正方体，如图这样层层重叠放置，那么当重叠到第5层时，这个立体图形的表面积是多少平方厘米？【解析】 这个图形的表面积是俯视面、左视面、正视面得到的图形面积的2倍. 该立体图形的上下、左右、前后方向的表面面积都是15平方厘米，该图形的总表面积为90立方厘米【巩固】按照上题的堆法一直堆到层()，要想使总表面积恰好是一个完全平方数，则的最小值是多少？【解析】 每增加一层，每一个“大面”就增加到个小面，总表面积是6个“大面”，所以就增加到个小面，几何题变成数论题，问题转化为“是一个完全平方数，的最小值是几？”因为和互质，所以和必须有一个是完全平方数，一个是平方数的3倍，但不能是平方数的3倍，因为如果是平方数的3倍，设此时被3除余2，不可能是完全平方数，所以是平方数的3倍，是完全平方数，开始试验：当，不符合题意；当，不是完全平方数；当，不是完全平方数；当，是完全平方数，所以的最小值是48，即堆到第48层时，总表面积是完全平方数，为.【例 20】 把19个棱长为1厘米的正方体重叠在一起，按右图中的方式拼成一个立体图形.，求这个立体图形的表面积【解析】 从上下、左右、前后观察到的的平面图形如下面三图表示因此，这个立体图形的表面积为：2个上面个左面个前面上表面的面积为：9平方厘米，左表面的面积为：8平方厘米，前表面的面积为：10平方厘米因此，这个立体图形的总表面积为：(平方厘米) 上下面 左右面 前后面【巩固】用棱长是1厘米的立方块拼成如右图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米?【解析】 该图形的上、左、前三个方向的表面分别由9、7、7块正方形组成该图形的表面积等于个小正方形的面积，所以该图形表面积为46平方厘米【例 21】 现有一个棱长为1厘米的正方体，一个长宽为1厘米高为2厘米的长方体，三个长宽为1厘米高为3厘米的长方体下列图形是把这五个图形合并成某一立体图形时，从上面、前面、侧面所看到的图形试利用下面三个图形把合并成的立体图形(如例)的样子画出来，并求出其表面积例：【解析】 从前面看到的和从侧面看到的图形都只有3层，说明叠成的图形只有3层从上面看到的图形中可以确定2个高为3厘米的长方体的位置，一个水平方向，一个竖直方向，再从前面和侧面的图形可以看出这两个长方体都在第1层；从而可以确定另一个高为3厘米的长方体及其它两个图形的位置，可得立体图形的形状如下图所示从上面和下面看到的形状面积都为9平方厘米，共18平方厘米；从两个侧面看到的形状面积都为7平方厘米，共14平方厘米；从前面和后面看到的形状面积都为6平方厘米，共12平方厘米；隐藏着的面积有2平方厘米一共有(平方厘米)【例 22】 （05年清华附培训试题）将一个表面积涂有红色的长方体分割成若干个棱长为1厘米的小正方体，其中一面都没有红色的小正方形只有3个，求原来长方体的表面积是多少平方厘米？【解析】 长：3115厘米；宽：1113厘米；高：1113厘米；所以原长方体的表面积是：（353533）3278平方厘米【例 23】 有30个边长为1米的正方体，在地面上摆成右上图的形式，然后把露出的表面涂成红色求被涂成红色的表面积【解析】 (平方米)【例 24】 有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如下图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过39，则该塔形中正方体的个数至少是_【解析】 此几何体不论有多少层，其上、下表面积是固定不变的，为，它的每个侧面的面积应该超过最底层的正方体的单个侧面面积为，往上依次为2，1，前五层正方体的单个侧面面积和为，所以要想超过，至少应该是6个【例 25】 如图，这是一个用若干块体积相同的小正方体粘成的模型把这个模型的表面(包括底面)都涂成红色，那么，把这个模型拆开以后，有三面涂上红色的小正方体比有两面涂上红色的小正方体多_ 块【解析】 三面涂上红色的小正方体有：个，两面涂上红色的小正方体有：个， 所以三面涂红色的比两面涂红色的多块【例 26】 右图是正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块？【解析】 三面涂红色的只有8个顶点处的8个立方体；两面涂红色的在棱长处，共块；一面涂红的表面中间部分：块【例 27】 一个长方体，六个面均涂有红色，沿着长边等距离切5刀，沿着宽边等距离切4刀，沿着高边等距离切次后，要使各面上均没有红色的小方块为24块，则的取值是_【解析】 沿着长边等距离切5刀，可切为块；沿着宽边等距离切4刀，可切为块；沿着高边等距离切刀，可切为块由题意可知，长方体每一个面的外层是涂有1面(或2面、或3面)的小方块，所以，各面均没有红色的小方块共个，因各面均没有红色的小方块为24块，所以，解得【例 28】 棱长是厘米（为整数）的正方体的若干面涂上红色，然后将其切割成棱长是1厘米的小正方体至少有一面红色的小正方体个数和表面没有红色的小正方体个数的比为，此时的最小值是多少?【解析】 切割成棱长是1厘米的小正方体共有个，由于其中至少有一面是红色的小正方体与没有红色面的个数之比为，而，所以小正方体的总数是25的倍数，即是25的倍数，那么是5的倍数当时，要使得至少有一面的小正方体有65个，可以将原正方体的正面、上面和下面涂色，此时至少一面涂红色的小正方体有个，表面没有红色的小正方体有个，个数比恰好是，符合题意.因此，的最小值是5【例 29】 有64个边长为1厘米的同样大小的小正方体，其中34个为白色的，30个为黑色的现将它们拼成一个的大正方体，在大正方体的表面上白色部分最多可以是多少平方厘米？【解析】 要使大正方体的表面上白色部分最多，相当于要使大正方体表面上黑色部分最少，那么就要使得黑色小正方体尽量不露出来在整个大正方体中，没有露在表面的小正方体有(个)，用黑色的；在面上但不在边上的小正方体有(个)，其中个用黑色这样，在表面的个的正方形中，有22个是黑色，(个)是白色，所以在大正方体的表面上白色部分最多可以是74平方厘米【例 30】 一个长方体的长是12厘米，宽10厘米，高也是整厘米数，在它的表面涂满颜色后，截成棱长是1厘米的小正方体，其中一面有色的小正方体有448个求原来长方体的体积与表面积【解析】 先求出长方体的高，再求其体积和表面积设长方体的高为厘米，则按题意截成的一面有色的小正方体有个，因为一面有色的小正方体有448个，所以，解得所以，长方体的体积为立方厘米，表面积为平方厘米【例 31】 将一个棱长为整数分米的长方体6个面都涂上红色，然后把它全部切成棱长为1分米的小正方体在这些小正方体中，6个面都没有涂红色的有12块，仅有两个面涂红色的有28块，仅有一个面涂红色的有 块，原来长方体的体积是 立方分米【解析】 先考虑6个面都没有涂红色的正方体，它们最初是位于原长方体的“芯”（就是去掉长方体各面最外面一层后剩下的小长方体）内的正方体，共有12块，所以12就是这个“芯”的长、宽、高（各比原来长方形的长、宽、高小2）的乘积而12分拆成3个整数的乘积只有4种情况： ；再看两面涂红的小正方体两面涂红的小正方体就是最初位于长方体的棱上除了顶角处的那些小正方体，它们的个数和恰好是“芯”的长、宽、高之和的4倍由于这样的小正方体共有28块，所以“芯”的长、宽、高之和为；符合条件的只有，所以“芯”为的长方体，原来的长方体是的长方体一面涂红的长方体就是最初位于长方体各个面中间部分的长方体，它们的数量为：（个），原来长方体的体积为：（立方分米）【例 32】 右图是由27块小正方体构成的 333的正方体如果将其表面涂成红色，则在角上的8个小正方体有三面是红色的，最中央的小方块则一点红色也没有，其余18块小方块中，有12个两面是红的，6个一面是红的这样两面有红色的小方块的数量是一面有红色的小方块的两倍，三面有红色的小方块的数量是一点红色也没有的小方块的八倍问：由多少块小正方体构成的正方体，表面涂成红色后会出现相反的情况，即一面有红色的小方块的数量是两面有红色的小方块的两倍，一点红色也没有的小方块是三面有红色的小方块的八倍？ 【解析】 对于由n3块小正方体构成的nnn正方体，三面涂有红色的有8块，两面涂有红色的有12（n2）块，一面涂有红色的有6块，没有涂色的有块由题设条件，一点红色也没有的小方块是三面涂有红色的小方块的八倍，即88，解得n6【例 33】 有6个相同的棱长分别是3厘米、4厘米、5厘米的长方体，把它们的某些面染上红色，使得有的长方体只有1个面是红色的，有的长方体恰有2个面是红色的，有的长方体恰有3个面是红色的，有的长方体恰有4个面是红色的，有的长方体恰有5个面是红色的，还有一个长方体6个面都是红色的，染色后把所有长方体分割成棱长为1厘米的小正方体分割完毕后，恰有一面是红色的小正方体最多有多少个？【解析】 一面染红的长方体，显然应将的长方体染红，这时产生20个一面染成红色的小正方体，个数最多二面染红的长方体，显然应将两个的长方体染红，这时产生40个一面染成红色的小正方体，个数最多三面染红的长方体，显然应将，的面染红，于是产生个一面染成红色的小正方体，其他方法得出的一面染成红色的正方体均少于36个四面染红的长方体，显然应将，的面染红，产生个一面染成红色的正方体，其他方法得到的一面染成红色的小正方体均少于32个五面染红的长方体，应只留一个的面不染，这时就产生个一面染成红色的小正方体，其他染法得到的一面染成红色的小正方体均少于27六面染红的长方体，产生个一面染成红色的小正方体于是最多得到个一面染成红色的小正方体【例 34】 三个完全一样的长方体，棱长总和是288厘米，每个长方体相交于一个顶点的三条棱长恰是三个连续的自然数，给这三个长方体涂色，一个涂一面，一个涂两面，一个涂三面涂色后把三个长方体都切成棱长为1厘米的小正方体，只有一个面涂色的小正方体最少有多少个？【解析】 每个长方体的棱长和是厘米，所以，每个长方体长、宽、高的和是厘米因为，每个长方体相交于一个顶点的三条棱长恰是三个连续的自然数，所以，每个长方体的长、宽、高分别是9厘米、8厘米、7厘米要求切割后只有一个面涂色的小正方体最少有多少个，则需每一个长方体按题意涂色时，应让切割后只有一个面涂色的小正方体最少所以，涂一面的长方体应涂一个面，有个；涂两面的长方体，若两面不相邻，应涂两个面，有个；若两面相邻，应涂一个面和一个面，此时有个，所以涂两面的最少有105个；涂三面的长方体，若三面不两两相邻，应涂两个面、一个面，有个；若三面两两相邻，有个，所以涂三面的最少有146个那么切割后只有一个面涂色的小正方体最少有个【例 35】 把一个大长方体木块表面上涂满红色后，分割成若干个同样大小的小正方体，其中恰好有两个面涂上红色的小正方体恰好是100块，那么至少要把这个大长方体分割成多少个小正方体？【解析】 设小正方体的棱长为1，考虑两种不同的情况，一种是长方体的长、宽、高中有一个是1的情况，另一种是长方体的长、宽、高都大于1的情况当长方体的长、宽、高中有一个是1时，分割后只有一层小正方体，其中有两个面涂上红色的小正方体是去掉最外层一圈的小正方体后剩下的那些因为有两个面涂上红色的小正方体恰好是100块，设，那么分成的小正方体个数为，为了使小正方体的个数尽量少，应使最小，而两数之积一定，差越小积越小，所以当时它们的和最小，此时共有个小正方体当长方体的长、宽、高都大于1时，有两个面涂上红色的小正方体是去掉8个顶点所在的小正方体后12条棱上剩余的小正方体，因为有两个面涂上红色的小正方体恰好是100块，所以长方体的长、宽、高之和是由于三个数的和一定，差越大积越小，为了使小正方体的个数尽量少，应该令，此时共有个小正方体因为，所以至少要把这个大长方体分割成108个小正方体【例 36】 把正方体的六个表面都划分成9个相等的正方形用红、黄、蓝三种颜色去染这些小正方形，要求有公共边的正方形染不同的颜色，那么，用红色染的正方形最多有多少个？【解析】 一个面最多有5个方格可染成红色（见左下图）因为染有5个红色方格的面不能相邻，可以相对，所以至多有两个面可以染成5个红色方格 其余四个面中，每个面的四个角上的方格不能再染成红色，至多能染4个红色方格（见上中图）因为染有4个红色方格的面也不能相邻，可以相对，所以至多有两个面可以染成4个红色方格最后剩下两个相对的面，每个面最多可以染2个红色方格（见右上图）所以，红色方格最多有（个）（另解）事实上上述的解法并不严密，“如果最初的假设并没有两个相对的有5个红色方格的面，是否其他的四个面上可以出现更多的红色方格呢？”这种解法回避了这个问题，如果我们从约束染色方格数的本质原因入手，可严格说明是红色方格数的最大值对于同一个平面上的格网，如果按照国际象棋棋盘的方式染色，那么至少有一半的格子可以染成红色但是现在需要染色的是一个正方体的表面，因此在分析问题时应该兼顾棱、角等面与面相交的地方： 如图，每个角上三个方向的3个方格必须染成不同的三种颜色，所以8个角上最多只能有8个方格染成红色如图，阴影部分是首尾相接由个方格组成的环，这9个方格中只能有个方格能染成同一种颜色(如果有5个方格染同一种颜色，必然出现相邻，可以用抽屉原理反证之：先去掉一个白格，剩下的然后两两相邻的分成四个抽屉，必然有一个抽屉中有两个红色方格)，像这样的环，在正方体表面最多能找到不重叠的两道（关于正方体中心对称的两道），涉及的个方格中最多能有个可染成红色剩下个方格，分布在条棱上，这个格子中只能有个能染成红色综上所述，能被染成红色的方格最多能有个格子能染成红色，第一种解法中已经给出个红方格的染色方法，所以个格子染成红色是最多的情况【巩固】把正方体的六个表面都划分成4个相等的正方形用红色去染这些小正方形，要求有公共边的正方形不能同时染上红色，那么，用红色染的正方形最多有多少个？【解析】 正方体的6个面被分割成个正方形，如果只对每个面分别分析，只能得到每个面最多有个方格，六个面最多应该个面染成红色，如果对每一个角进行分析，每一个角上的三个方格都相互相邻，所以其中最多只有个方格能染成红色，所以用红色染的正方形最多有个，如图【例 37】 一个正方体的棱长为3厘米，在它的前、后、左、右、上、下各面中心各挖去一个棱长为1厘米的正方体做成一种玩具，求这个玩具的表面积. 【解析】 挖去六个小正方体后，大正方体的中心部分即与其主体脱离，这时得到的新玩具是镂空的.把这个玩具分成20部分，8个“角”和12条“梁”，每个“角”为棱长1厘米的小正方体，它外露部分的面积为：(平方厘米)，则8个“角”外露部分的面积为：(平方厘米)每条“梁”为棱长1厘米的小正方体，它外露部分的面积为：(平方厘米)，则12条“梁”外露部分的面积为：(平方厘米)这个玩具的表面积为：(平方厘米)【例 38】 如右图，一个边长为3a厘米的正方体，分别在它的前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个截口是边长为a厘米的正方形的长方体（都和对面打通）如果这个镂空的物体的表面积为2592平方厘米，试求正方形截口a的边长【解析】 原来正方体的表面积为：63a3a69a2（平方厘米），六个边长为a的小正方形的面积为（减少部分）：6aa6a2（平方厘米）； 挖成的每个长方体空洞增加的侧面积为：aa428a2（平方厘米）； 根据题意可得：54a26a238a22592，解得a236（平方厘米），故a6厘米【例 39】 有一个棱长为的正方体木块，从它的每个面看都有一个穿透的完全相同的孔(右上图)，求这个立体图形的内、外表面的总面积【解析】 将此带孔的正方体看做由八个的正方体(8个顶点)和12个的正方体(12条棱)粘成的每个正方体有两个面粘接，减少表面积，所以总的表面积为：【例 40】 左下图是一个正方体，四边形表示用平面截正方体的截面请在右下方的展开图中画出四边形的四条边 【解析】 把空间图形表面的线条画在平面展开图上，只要抓住四边形四个顶点所在的位置这个关键，再进一步确定四边形的四条边所在的平面就可容易地画出考虑到展开图上有六个顶点没有标出，可想象将展开图折成立体形，并在顶点上标出对应的符号，见左下图根据四边形所在立体图形上的位置，确定其顶点所在的点和棱，以及四条边所在的平面：顶点：，在边上，在边上边在面上，在面上，在面上，在面上将上面确定的位置标在展开图上，并在对应平面上连线需要注意的是，立体图上的，点在展开图上有三个，点在展开图上有二个，所以在标点连线时必须注意连线所在的平面连好线的图形如右上图【例 41】 如图，用455个棱长为1 的小正方体粘成一个大的长方体，若拆下沿棱的小正方体，则余下371个小正方体，问：所堆成的大长方体的棱长各是多少？拆下沿棱的小正方体后的多面体的表面积是多少？ 【解析】 设长方体棱长为分别为.，他们只能取正整数，则有：因为方程组的无序正整数解只有(5，7，13)，拆下沿棱的的小正方体后的多面体如图所示，首先计算突出在外面的6个平面，面积是再计算24个宽都是1的长条，面积是，总面积为358. 板块二 长方体与正方体的体积立体图形的体积计算常用公式： 立体图形示例体积公式相关要素长方体三要素：、二要素：、正方体一要素：二要素：、不规则形体的体积常用方法：化虚为实法切片转化法先补后去法实际操作法画图建模法【例 42】 (第四届小数报数学竞赛决赛)一根长方体木料，体积是立方米已知这根木料长米宽为3分米，高该是多少分米?孙健同学把高错算为3分米这样，这根木料的体积要比立方米多多少?【解析】 (米)米2分米(立方米)所以这根木料的高是2分米；算错后，这根木料的体积比立方米多立方米【例 43】 (第六届“华杯赛”决赛口试)某工人用薄木板钉成一个长方体的邮件包装箱，并用尼龙编织条(如图所示)在三个方向上的加固所用尼龙编织条分别为365厘米，405厘米，485厘米若每个尼龙加固时接头重叠都是5厘米问这个长方体包装箱的体积是多少立方米?【解析】 长方体中高宽， 高长， 长宽， ：长宽， ：长，从而宽，代入得高所以长方体体积为(立方厘米)(立方米)【例 44】 (第十届“迎春杯”)一个长方体的表面积是平方分米，其中一个面的长是分米，宽是分米，它的体积是_立方分米.【解析】 长方体的高是(分米).长方体的体积是(立方分米)【例 45】 (第十五届“迎春杯”决赛)把一根长米的长方体木料锯成5段(如图)，表面积比原来增加了96平方厘米这根木料原来的体积是_立方厘米【解析】 (平方厘米)，(立方厘米)所以这根木料原来的体积为2880立方厘米【例 46】 (第五届小数报数学竞赛决赛)一个长方体的宽和高相等，并且都等于长的一半(如图)将这个长方体切成12个小长方体，这些小长方体的表面之和为600平方分米求这个大长方体的体积【解析】 设大长方体的宽(高)为分米，则长为，右(左)面积为，其余面的面积为，根据题意， 所以， 大长方体的体积(立方分米)【例 47】 有三个大小一样的正方体，将接触的面用胶粘接在一起成图示的形状，表面积比原来减少了16平方厘米.求所成形体的体积.【解析】 三个小正方体拼接成图中的样子，减少了小正方体的4个侧面正方形的面积，表面积减少了16平方厘米，每个正方形侧面为平方厘米，每个正方体棱长为厘米，三个小正方体体积(即所成形体的体积)是立方厘米. 【例 48】 (第十一届“迎春杯”)有一个长方体，长是宽的2倍，宽是高的3倍；长的与高的之和比宽多1厘米这个长方体的体积是 立方厘米【解析】 长的即宽，所以高的就是1厘米，高是3厘米，宽是厘米，长是厘米，体积是(立方厘米)【巩固】(第六届“迎春杯”决赛)一个长方体的各条棱长的和是48厘米，并且它的长是宽的2倍，高与宽相等，那么这个长方体的体积是_ 立方厘米【解析】 依题意，这个长方体的长、宽、高之和是(厘米)，于是它的宽与高都等于(厘米)，它的长是厘米所以这个长方体的体积是(立方厘米)【例 49】 把11块相同的长方体的砖拼成如图所示的大长方体，已知每块砖的体积是，则大长方体的表面积为多少？【解析】 如果知道每块砖的长、宽、高即可求出所有的量，但我们只知道它们的乘积，但可以从图中发现隐含的数量关系由图可知每块砖的长、宽、高的比值，两个长等于三个宽，所以长、宽之比为，四个高等于一个长，所以长、高之比为，长、宽、高之比为，设砖的长为12单位，那么体积应该为个立方单位，所以一个单位长度就是1厘米，所以大长方体的长、宽、高分别为：24厘米，12厘米，11厘米，所以大长方体的表面积为：平方厘米【例 50】 有大、中、小三个正方形水池，它们的内边长分别是6米、3米、2米把两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高了6厘米和4厘米如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里，大水池的水面升高了多少厘米？【解析】 把碎石沉没在水中，水面升高所增加的体积，就等于所沉入的碎石的体积因此，沉入水池中的碎石的体积是(米3)，而沉入小水池中的碎石的体积是(米3)这两堆碎石的体积一共是(米3)把它们都沉入大水池里，大水池的水面升高所增加的体积也就是0.7米3而大水池的底面积是(米3)所以水面升高了(米)(厘米)(厘米)故大水池的水面升高了厘米【例 51】 一个正方体容器，容器内部边长为24厘米，存有若干水，水深厘米，现将一些碎铁块放入容器中，铁块沉入水底，水面上升厘米，如果将这些铁块铸成一个和容器等高的实心圆柱，重新放入池中，则水面升高几厘米？【解析】 设铁块铸成和容器等高的实心圆柱放入池中水面升高厘米，则有水面升高后水的总体积原来水的体积铁块浸入水中的体积，其中，得到，解得，所以水面升高了(厘米)【例 52】 （2009年迎春杯初赛六年级）如图，有一个棱长为10厘米的正方体铁块，现已在每两个对面的中央钻一个边长为4厘米的正方形孔（边平行于正方体的棱），且穿透另有一长方体容器，从内部量，长、宽、高分别为15厘米、12厘米、9厘米，内部有水，水深3厘米若将正方体铁块平放入长方体容器中，则铁块在水下部分的体积为 立方厘米【解析】 可以把正方体铁块看作三层：最下面一层为中央穿孔的长方体，高为厘米；中间一层为个长方体立柱，高为厘米；最上面一层也是高为厘米的中央穿孔的长方体.由于长方体容器内原有水深厘米，所以正方体铁块放入水中后，铁块最下面一层肯定全部在水中，而水也不可能上升到最上面一层，即恰在中间一层.设水面上升了厘米，则中间一层在水中的部分恰好为厘米.由于水面上升是由于铁块放入水中导致，水面上升的体积即等于铁块在水下部分的体积，即：，解得，故铁块在水下部分的体积为(立方厘米).【例 53】 (第九届“迎春杯”决赛)把1个棱长是3厘米的正方体分割成若干个小的正方体，这些小正方体的棱长必须是整厘米数如果这些小正方体的体积不要求都相等，那么最少可分割成 个小正方体【解析】 因为小正方体的棱长只可能是2厘米或1厘米必须分割出棱长是2厘米的小正方体才能使数量减少显然，棱长是3厘米的正方体只能切割出一个棱长为2厘米的小正方体，剩余部分再切割出个棱长是1厘米的小正方体，这样总共可以分割成(个)小正方体【巩固】(第九届“祖冲之杯”数学邀请赛)有一个长方体的盒子，从里面量长40厘米，宽12厘米，高7厘米，在这个盒子里放长5厘米，宽4厘米，高3厘米的长方体木块最多可放 块【解析】 上图表明的长方形可以填满的长方形于是的长方体可以填满的长方体，即盒子中最多可放这种长方体(个)【例 54】 有甲、乙、丙3种大小的正方体木块，棱长比是如果用这三种正方体拼成尽量小的一个正方体，且每种都至少用一个，则最少需要这三种正方体共多少？【解析】 设甲的棱长是1，则乙的棱长是2，丙的棱长是3一个甲种木块的体积是1，一个乙种木块的体积是，一个丙种木块的体积是由于每种正方体都要用到，那么所拼成的正方体的棱长最小应为当这三种木块拼成的正方体的棱长是5时，体积是要想使三种正方体的总数最小，则体积较大的木块应尽可能多由于棱长为5，所以其中丙种木块只能有1个有了1个丙种木块后，乙种木块最多可以有块丙种木块的体积是27，乙种木块的体积是，余下的体积为所以还需要甲种木块块所以共需要至少块【例 55】 用、三种小木块拼成的正方体现有足够多的 的小木块，还有14块的小木块，如果要拼成10个的正方体，则最少需要的小木块_块【解析】 、三种木块的体积分别为2，3，4，其中只有3为奇数，2，4都是偶数因为，体积为奇数，所以每个的正方体中，的木块要有奇数块当只用1块时，剩下的体积为24，但无法完全用完成，还需要的小木块，由于24和4都是4的倍数，所以的小木块的体积和也是4的倍数，至少要用2块的小木块检验可知用1块的小木块、2块的小木块和5块的小木块可以拼成的正方体当用3块的小木块时，体积剩下18，可以再用4块的小木块和1块的小木块拼成当用5块的小木块时，体积剩下12，此时可以再用3块的小木块拼成，即此时不需要用的小木块拼成为了尽量少用的木块，所以要尽量多用其他木块而一共只有14块的木块，所以可以在8个的正方体中各用1块的木块，另2个的正方体各用3块的木块；也可以在9个的正方体中各用1块的木块，另1个的正方体用5块的木块前者需要个，后者需要个，数量相同，所以最少需要的木块18块【例 56】 把一个长方体形状的木料分割成3小块，使这3小块的体积相等已知这长方体的长为15厘米，宽为12厘米，高为9厘米分割时要求只能锯两次，如图1就是一种分割线的图除这种分割的方法外，还可有其他不同的分割方法，请把分割线分别画在图2的各图中图1 图2【解析】 分割方法很多，如图3，给出以下9种分割方法：图4【例 57】 （第五届走进美妙数学花园六年级初赛试题）如图，把正方体用两个与它的底面平行的平面切开，分成三个长方体.这三个长方体的表面积比是时，用最简单的整数比表示这三个长方体的体积比： ： ： 【解析】 由于分出的三个长方体的底面积相同，所以体积之比等于三个长方体的高之比，设正方体的棱长为，三个长方体的高分别为，所以，根据“分成三个长方体.这三个长方体的表面积比是”得，而，所以有，解得，同理得，所以，即体积比为。【例 58】 (第三届“华杯赛”复赛)如图从长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长2厘米的正方形，然后，沿虚线折叠成长方体容器这个容器的体积是多少立方厘米？【解析】 容器的底面积是 (平方厘米)，高为2厘米，所以容器的体积是， (立方厘米)【巩固】(第七届“祖冲之杯”数学邀请赛)现有一张长40厘米、宽20厘米的长方形铁皮，请你用它做一只深是5厘米的长方体无盖铁皮盒(焊接处及铁皮厚度不计，容积越大越好)，你做出的铁皮盒容积是多少立方厘米? 【解析】 如图，在的长方形铁皮的四角截去边长5厘米的正方形铁皮，然后焊接成长方形无盖铁皮盒这个铁皮盒的长(厘米)宽(厘米)，高(厘米)体积(立方厘米)如图，在长方形铁皮的左侧两角上割下边长5厘米的正方形(二块)，紧密焊接到右侧的中间部分，这样做成的无盖铁皮盒的长