第二章 自动控制系统的数学模型--kdy20130307.ppt

第二章系统的数学模型,2-1引言2-2微分方程的建立及线性化2-3传递函数2-4动态结构图2-5反馈控制系统的传递函数,2-1引言,一.数学模型1.定义：控制系统的输入和输出之间动态关系的数学表达式即为数学模型。数学模型是分析和设计自动控制系统的基础。2.为什么要建立数学模型：我们需要了解系统的具体的性能指标，只是定性地了解系统的工作原理和大致的运动过程是不够的，希望能够从理论上对系统的性能进行定量的分析和计算。要做到这一点，首先要建立系统的数学模型。它是分析和设计系统的依据。,另一个原因：许多表面上看来似乎毫无共同之处的控制系统，其运动规律可能完全一样，可以用一个运动方程来表示，我们可以不单独地去研究具体系统而只分析其数学表达式，即可知其变量间的关系，这种关系可代表数学表达式相同的任何系统，因此需建立控制系统的数学模型。比如机械平移系统和RLC电路就可以用同一个数学表达式分析，具有相同的数学模型。,那么，这在工程实践中有什么好处呢？,3.模型的近似性与合理性,数学模型,实际系统,近似,实际控制系统的数学模型往往是很复杂的，在一般情况下，常常可以忽略一些影响较小的因素来简化，但这就出现了一对矛盾，简化与准确性。不能过于简化，而使数学模型变的不准确，也不能过分追求准确性，使系统的数学模型过于复杂，出现另一对矛盾，复杂与可解性。,寻求,严格的说，实际物理系统都是存在非线性的，从模型的准确出发，应用非线性方程来描述，不过这又增加了模型的复杂性，因此，我们线性化的是一个重要问题。在这门课中，只讨论线性定常（时不变）模型。4.建立方法a.分析计算法分析计算法是根据支配系统的内在运动规律以及系统的结构和参数，推导出输入量和输出量之间的数学表达式，从而建立数学模型适用于简单的系统。,b.工程实验法工程实验法：它是利用系统的输入-输出信号来建立数学模型的方法。通常在对系统一无所知的情况下，采用这种建模方法。,但实际上有的系统还是了解一部分的，这时称为灰盒，可以分析计算法与工程实验法一起用，较准确而方便地建立系统的数学模型。,二.线性系统1.定义：如果系统的数学模型是线性微分方程，这样的系统就是线性系统。线性系统满足叠加性和齐次性。,r1（t）+r2（t）c2（t）+c1（t）ar1（t）ac1（t）,线性系统,输入或激励,输出或响应,2.重要特点：对线性系统可以应用叠加性和齐次性，对研究带来了极大的方便。叠加性欲求系统在几个输入信号和干扰信号同时作用下的总响应，只要对这几个外作用单独求响应，然后加起来就是总响应。齐次性当外作用的数值缩放若干倍时，其响应的数值也缩放若干倍。这样，我们可以采用单位典型外作用（单位阶跃、单位脉冲、单位斜坡等）对系统进行分析简化了问题。,一.微分方程的建立微分方程是控制系统最基本的数学模型，要研究系统的运动，必须列写系统的微分方程。一个控制系统由若干具有不同功能的元件组成，首先要根据各个元件的物理规律，列写各个元件的微分方程，得到一个微分方程组，然后消去中间变量，即得控制系统总的输入和输出的微分方程。,2-2微分方程的建立,例1.机械平移系统,首先确定：输入F(t),输出x(t)其次：理论依据1.牛顿第二定律物体所受的合外力等于物体质量与加速度的乘积2.牛顿第三定律作用力等于反作用力,现在我们单独取出m进行分析，这里不考虑重力的影响。,Why?,写微分方程时，常习惯于把输出写在方程的左边，输入写在方程右边，而且微分的次数由高到低排列。于是，机械平移系统的微分方程为：,例2.RLC电路：研究在输入电压ur(t)作用下，电容上电压uc(t)的变化。,依据：电学中的基尔霍夫定律,由（2）代入（1）得：消去中间变量i(t),（两边求导）,这两个式子很相似，故可用电子线路来模拟机械平移系统，这也证明了我们前面讲到的，看似完全不同的系统，具有相同的运动规律，可用相同的数学模型来描述。,整理成规范形式,被称为相似系统，是工程上的系统仿真方法之一！,例3RC滤波电路,ur,i,uc,R,C,时间常数,一阶微分方程,一阶系统,ur,uc,C2,C1,R2,R1,增益等于1隔离放大器,ur,uc,R1,R2,C1,C2,相同吗？,i1,i2,i1不等于i2负载效应,有N个储能元件，就是N阶系统。,二阶系统,不带隔离放大器带隔离放大器,二.非线性元件的线性化1.几种常见的非线性,非线性微分方程的求解很困难。在一定条件下，可以近似地转化为线性微分方程，可以使系统的动态特性的分析大为简化。实践证明，这样做能够圆满地解决许多工程问题，有很大的实际意义。2.线性化的方法（1）忽略弱非线性环节（如果元件的非线性因素较弱或者不在系统线性工作范围以内，则它们对系统的影响很小，就可以忽略）,例如，电位器，弹簧,（2）偏微法（小偏差法，切线法，增量线性化法）偏微法基于一种假设，就是在控制系统的整个调节过程中，各个元件的输入量和输出量只是在平衡点附近作微小变化。这一假设是符合许多控制系统实际工作情况的，因为对闭环控制系统而言，一有偏差就产生控制作用，来减小或消除偏差，所以各元件只能工作在平衡点附近。,A(x0,y0)平衡点，函数在平衡点处连续可微，则可将函数在平衡点附近展开成台劳级数忽略二次以上的各项，上式可以写成这就是非线性元件的线性化数学模型,例4摆振荡器模型,a,mg,L,a0=0,在30度的变化范围内，摆的线性模型误差小于2%,扭矩：,（3）平均斜率法如果一非线性元件输入输出关系如图所示。此时不能用偏微分法，可用平均斜率法得线性化方程为,(死区)电机,注意：这几种方法只适用于一些非线性程度较低的系统，对于某些严重的非线性，如不能作线性化处理，一般用相平面法及描述函数法进行分析。,2-3传递函数一定义与性质设一般线性定常系统的微分方程为,其中，y(t)为系统的输出，r(t)为系统输入，且在零初始条件下，对上式两边取拉氏变换，则有：,定义在零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量拉氏变换的比值叫该系统的传递函数，用G(s)表示。,性质（1）传递函数的概念只适用于线性定常系统，它是在零初始条件下定义的。（2）传递函数是复变量S的有理分式函数，即：；各系数均为实数。,是系统元件参数的函数,物理系统的固有特性是因果性；若mn,则这是物理不可实现的系统。,（3）传递函数是系统的数学描述，物理性质不同的系统可以具有相同的传递函数（相似系统）；在同一系统中，当取不同的物理量作输入或输出时，其传递函数也不同。例5电枢控制式直流电动机（它是控制系统中应用最广泛的执行元件），示意图如下图所示。它的输入电压为，输出为电机轴的转角。,装在定子中的激磁绕组加有恒定的直流电压，用来建立恒定的磁场，装在转子上的电枢绕组加有可变的控制电压，从而产生控制电流，载流导体在恒定磁场中会产生电磁转矩，该转矩与电枢电流成正比。,ia,uf,为转矩系数（牛米/安）由于电动机是带动减速器和负载一起转动的，因此列写电动机的运动方程时，必须考虑减速器，负载的转动惯量和粘性摩擦的影响。电机轴上的力矩平衡方程式为,其中，J是电机转子的转动惯量、减速器、负载的转动惯量折算的等效转动惯量；f是电机转子的粘性摩擦系数+减速器、负载的粘性摩擦系数折算的等效粘性摩擦系数。电枢是一个载流导体，转子旋转时切割了定子磁场的磁力线，于是电枢中就会产生感应电势Eb，因为与电枢电压方向相反，故称为反向电势，它与电机的转速成正比。,kb是反电势系数（伏/（弧度/秒）,设电枢绕组的电阻和电感分别为Ra和Sa，根据基尔霍夫定律，电枢绕组的电压平衡方程式为通常La很小，可以忽略不计，那么,将以下各式代入上式,；。得到,为直流电动机的传递系数；,增益,为直流电动机的时间常数。所以直流电机的运动方程为,若选输出为电机轴的角速度则有,（4）传递函数表示线性定常系统传递、变换输入信号的能力，全面反映系统本身的性能，它只与系统的结构和参数有关，而与输入作用的形式无关。（5）传递函数的拉氏反变换是系统的脉冲响应。,也可表征系统的动态特性,M=F/a,（6）可将表示成如下形式：,特征方程,Kr根轨迹增益,实数或复数,例6,z1=-2；p1=-3,p2=-1+j,p3=-1-j。,S平面,实轴,虚轴,j,-j,0,-1,-2,-3,也可将传递函数表示为因式分解的形式：,K传递系数或增益,注意！,如果在原点有v个重极点，则传递函数可表示为如下形式：,所以，归纳起来有如下典型环节。,典型环节（1）比例环节（2）积分环节（3）惯性环节（4）微分环节（5）振荡环节（6）延迟环节（7）一阶微分（8）二阶微分,数学工具拉氏变换,变换是数学中经常采用的工具，比如在初等数学中：,令：,对数变换,求反对数，可得：N=8.815,1.由定义求拉氏变换2.拉氏变换定理3.用拉氏变换求解线性微分方程4.拉氏反变换,讨论内容:,1按定义求拉氏变换,函数f(t)的拉氏变换,当t0,f(t)=0,拉氏积分运算符,复变量,例1指数函数,注意：在某一域内复变函数F(s)及其所有导数皆存在，则称该复变函数F(s)在该域内是解析的。,在复平面上有一个极点,例2阶跃函数,f(t),A,0,t,注意：A=1，称其为单位阶跃函数，记为1(t)。阶跃函数在t=0处是不确定的，相当于在t=0处将一个不变信号突然加到系统上。,例3斜坡函数,f(t),t,0,A,1,注意：A=1，称其为单位斜坡函数。,例4正弦函数,注意：用到尤拉公式,余弦函数的拉氏变换可类似求得,几个重要的拉氏变换,2拉氏变换定理,2.1平移函数,0,t,a,f(t)的拉氏变换,时域移位定理,例5脉动函数,f(t),0,t0,t,A/t0,例6脉冲函数,f(t),0,t,注意：A=1，称其为单位脉冲函数，记为,2.2与相乘例7,复域移位定理,2.3时间比例尺定理,证明,例8,2.4微分定理式中f(0)是f(t)在t=0处的初始值。同样，对于f(t)的n阶导数，则有,证：根据拉氏变换的定义有原函数二阶导数的拉氏变换依次类推，可以得到原函数n阶导数的拉氏变换,2.5终值定理假定f(t)和df(t)/dt可以进行拉氏变换，存在，并且除在原点处唯一的极点外，sF(s)在包括的右半s平面内解析，则有,注意：若时f(t)极限不存在，则不能用终值定理。如对正弦函数和余弦函数就不能应用终值定理。,证：由微分定理，有等式两边对s趋向于0取极限,2.6初值定理假定f(t)和df(t)/dt可以进行拉氏变换，存在，则有2.7积分定理式中在t=0处的值。,证明方法同上。只是要将取极限。,证：令：,由上述微分定理，有,即：同理，对f(t)的二重积分的拉氏变换为若原函数f(t)及其各重积分的初始值都等于0则有即原函数f(t)的n重积分的拉氏变换等于其象函数除以。,2.8卷积定理将记为，称其为卷积，则有,即：两个原函数的卷积的拉氏变换等于两个象函数的乘积。,证明：,3用拉氏变换解线性微分方程,（1）通过对线性微分方程中每一项进行拉氏变换，将线性微分方程变为s的代数方程，然后整理代数方程，得到有关变量的拉氏变换的表达式；（2）通过对因变量进行拉氏反变换来得到线性微分方程的解。,例9,利用性质2.2；或查拉氏变换对照表见附录A,4拉氏反变换定义：从象函数F(s)求原函数f(t)的运算称为拉氏反变换。记为。由F(s)可按下式求出式中C是实常数，而且大于F(s)所有极点的实部。注意：直接按上式求原函数太复杂，一般都用查拉氏变换表的方法求拉氏反变换，但F(s)必须是一种能直接查到的原函数的形式。,若F(s)不能在表中直接找到原函数，则需要将F(s)展开成若干部分分式之和，而这些部分分式的拉氏变换在表中可以查到。例10例11求的逆变换。,例12,拉式反变换部分分式展开式的求法（1）情况一:F(s)有不同极点,这时F(s)总能展开成如下简单的部分分式之和,例13,（2）情况2:F(s)有共轭极点例14求解微分方程,（3）情况3:F(s)有重极点,假若F(s)有L重极点,而其余极点均不相同。那么,如果不记公式,可用以下方法求解,也可得解。,2-4框图模型,一框图的概念和组成1.概念描述系统及各组成元件之间信号传递关系的数学图形，它表示系统中各变量之间的因果关系及各变量所进行的数学运算。2.组成（1）信号线（2）引出线,u(t),U(s),y(t),Y(s),y(t),Y(s),（3）比较点（综合点或相加点）一般加号常省略，负号必须标出。（4）方框表示对信号进行的数学变换，方框中写入元件或系统的传递函数，并用信号线将其连接起来。,r(t),R(s),y(t),Y(s),_,e(t)=r(t)-y(t)E(s)=R(s)-Y(s),二框图的绘制例7绘制双T网络的框图,从左向右列方程组,将上页方程改写如下相乘的形式：,绘图：ur(s)为输入，画在最左边。,这个例子不是由微分方程组代数方程组框图，而是直接列写s域中的代数方程，画出了框图。,若重新选择一组中间变量，会有什么结果呢？(刚才中间变量为i1,u1,i2，现在改为I,I1,I2),从右到左列方程：,这个框图与前一个框图不一样，可见选择不同的中间变量，结构图也不一样，但是整个系统的输入输出关系是不会变的。,举例液位系统,（1）液阻：产生单位流量变化所必需的液位差的变化量，即：R=液位差变化/流量变化。（2）液容：引起单位位能变化所需要的容器中存储的液体的变化，即：C=被存储液体的变化/位能变化。,框图与例7的双T网络的相同，这说明框图也只包含与系统动态特性有关的信息，对于物理性质不同的两个系统，也许具有相同的框图。,三框图三种典型形式,串联,并联,反馈,（1）串联,（2）并联,（3）反馈,Y(s),Y(s),R(s),B(s),以后采用(s)表示闭环传递函数；称为开环传递函数；称为前向通路传递函数；称单位反馈，即有：,四框图的等效变换方法,（1）比较点前/后移,G(s),R(s),Q(s),Y(s),G(s),1/G(s),R(s),Y(s),Q(s),G(s),R(s),Y(s),Q(s),G(s),G(s),R(s),Y(s),Q(s),前移,后移,（2）引出点前/后移,G(s),R(s),Y(s),G(s),R(s),Y(s),G(s),R(s),Y(s),1/G(s),G(s),R(s),Y(s),Y(s),G(s),Y(s),R(s),Y(s),前移,后移,引出点移动,a,b,比较点移动,向同类移动,作用分解,总之，框图简化的一般方法是：移动引出点或比较点；交换比较点；进行方框运算；将串联、并联、反馈连接的框图合并；在简化过程中必须遵循交换前后变量关系保持等效的原则，即：（1）交换前后，前向通道中传递函数的乘积保持不变；（2）交换前后，回路中的传递函数的乘积保持不变。,2-5信号流图模型一概念（1）信号流图是一种表示一组联立线性代数方程的图。,X1=X1X2=aX1+dX4X3=bX1+cX2X4=eX3+fX4X5=gX4,X1,X2,X3,X4,X5,a,b,c,e,d,f,g,输入节点,输出节点,混合节点,传输,（2）节点是用来表示变量或信号的点；（3）输入节点（源点）只有输出支路的节点；（4）输出节点（阱点）只有输入支路的节点；（5）混合节点既有输入支路，又有输出支路的节点；（6）传输两个节点之间的增益；（7）前向通路信号从输入节点到输出节点传递时，每个节点只通过一次的通路。前向通路上各支路增益之乘积为前向通路总增益，一般用Pk表示。比如：aceg。,（8）回路起点和终点在同一个节点，而且信号通过任一节点不多于一次的闭合通路。回路中，所有支路增益