应用PDE讲义09_Stum_Liouville问题

1 应用偏微分方程与科学计算应用偏微分方程与科学计算 讲义（九）讲义（九） Lecture Notes on Applied Partial Differential Equations and Scientific Computing No. 9 马 石 庄 20110922北京 2 第第 9 讲讲 SturmLiouville 特征值问题特征值问题 教学目的：教学目的： 系统地阐述 Fourier 方法的重要理论基础之一的特征值问题， 沿 着 Sturm 和 Liouville 思路，解决可数无穷多个特征值存在性和特征 函数的正交性问题。 主要内容：主要内容： 1 SturmLiouville 问题 . 3 1.1 SturmLiouville 理论 . 4 1.2 Lagrange 恒等式与伴随算子 . 6 1.3 边界伴随算子 . 9 2 解的零点与振荡性态 . 11 2.1 典则方程 . 12 2.2 Sturm 比较定理 . 13 2.3 Liouville 定理 . 19 3 特征值与特征函数 . 23 3.1 特征函数正交性 . 23 3.2 特征值非负性 . 24 3.3 例子：热传导问题 . 27 习题 9 . 32 3 数学物理偏微分方程的定解问题通常包含一些边界条件， 如象振 动的弦必须在端点固定这样的条件当 Fourier 方法应用于偏微分方 程，就分解为两个或多个常微分方程，而加在所求解上的边界条件就 变成一个常微分方程的边界条件一般说来，常微分方程包含一个参 数，是从变量分离的过程中得来而给参数赋以特殊值，通常可得到方 程的解，这些值叫特征值，而相应于任一特征值的解叫特征函数。此 外，为了适合起先的条件或原问题的条件，必须把给定的函数?特 征函数表出 Fourier 方法解的基础在于：一是有关特征问题的全部特征值和 相应的特征函数的性质，一是有关任意函数按特征函数系展开。对于 更一般形式的偏微分方程相应的特征值问题， 特征值不是一目了然的， 求的特征函数的具体表达式更不容易。 1 SturmLiouville 问题问题 大至起自 1760 年，随着新 坐标系的引入和新的函数类象 Bessel 函数、Legendre 多项式等 作为常微分方程的特征函数而兴 起，确定常微分方程边值问题的 特征值问题以及把给定函数按特征函数展的开的问题， 就变得更为突 出了瑞士力学教授 J. C. F. Sturm（19031855）和法国数学教授 J. Liouville（18091882）两人决定着手钻研任何二阶常微分方程的一 4 般问题 1.1 SturmLiouville 理论理论 从 1833 年起，Sturm 就已经从事研究偏微分方程的问题最初 是从事变密度棒中热流问题的研究， 所以他是完全知道特征值和特征 函数的问题， 用于这个问题上的数学思想是与他对代数方程的根的实 性和分布的研究密切联系着的， 关于微分方程的思想是从差分方程的 研究并过渡到极限而得来的。 Sturm 和 Liouville 的合作，得到一系列详尽的结果，用现代记号 可以概述如下。考虑一般的二阶常微分方程 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0，? ? ? ? ? 其中，? ? 0，?，?都是 ?的连续函数，?是参数。把方 程两边乘以 1 ? exp? ? ? ? 之后，方程可改写为 ? ? ? ? ? ? ? ? 0，? ? 0，? ? 0 设原方程和变换后的方程所应满足的边界条件具有一般形式 ? ? ? ? 0， ? ? ? ? 0， ?，? 0 可以证明下列基本结果： （1）仅当 ? 取递增到的正数序列?的任一值时，问题才有 5 非零解； （2）对每一个?，解是一函数?的倍数，而?可以用条 件 ? |?|? ? ? ? 1 加以规范化； （3）正交性质 ? ? ? ? ? 0，? ? ? 成立； （4） 每个在区间?，?上二次可微的、 满足边界条件的函数? 可以展开为一致收敛的级数 ? ? ? ? ? 其中 ? ? ? ? ? （5）Parseval 等式 ? |?|? ? ? ? ?|?|? ? 普遍成立。 实在说， Sturm 和 Liouville 的结果并不是建立得在所有方面都令 人满意的?可以表为特征函数无穷和的证明是不充分的一个困 难是关于特征函数集的完全性，对区间?，?上的连续函数?，达 6 就是上面的条件?，粗略地看，这意味着特征函数集大得足以表示 “任何” 函数 事实上， 完全性的问题一直到泛函分析的定理才解决。 虽然Liouville用Cauchy和Dirichlet发展的理论确实给出了某种 情形下?收敛到?的证明，但是级数?是在何种意 义下收敛到?的问题，是逐点收敛，一致收敛还是在某种更 一般意义下的收敛，没有包括进去 （1） 可数无穷多个特征值的存在性 （2） 特征函数是正交性质 （3） 任何函数可以用特征函数表示 1.2 Lagrange 恒等式与伴随算子恒等式与伴随算子 Lagrange（17361813）提出系统研究?阶线 性微分算子 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 的方法，是求一个乘子?，使得?等于 ?，?，?的线性组合的导数。 逐次分部积分得 到 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，? ? ? ? ? 其中， 7 ? ? ?1? ? ? ? ? ? ?1? ? ? ? ? ? ? ? ?，? 是包含积分区间的固定下限和变上限的4?个量 ?， ? ? ，? ? ? ，?， ? ? ，? ? ? ?， ? ? ，? ? ? ，?， ? ? ，? ? ? 的一个双线性型。具体说，双线性型的元素是两个不同的?变元组的 成员，即 ?，?，? ?，?，? 的双线性型用和式 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 定义，且线性依赖于各元素。要得到表达式 ? ? ? ? ?，? 约定乘子?满足常微分方程 ? ? 0 称为算子?方程 ? ? 0 的伴随方程伴随方程。这样，函数?作为上述方程的积分因子，把求解的范 围为缩小到满足? ? 1阶方程 8 ?，? ? 常数 的解，其中?的2?个变量仅是?的函数。由此导出恒等式 ? ? ? ? ? ? ?，? 对任意可微函数?，?都成立，不必满足 ? ? 0及其伴随方程 ? ? 0，称为 Lagrange 恒等式。相应的积分形式 ? ? ? ? ? ? ? ?，? ? 是 Green 公式的一维形式。 算子?和?之间存在互反关系， 即如果?是?的伴随算子， 则?是? 的伴随算子。特别重要的一类是算子是自伴算子自伴算子，即? ? ?；只有偶 数阶微分算子才具有这类性质。 考虑二阶微分算子表示式 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 及其伴随算子 ? ? ? ? ? ? ?2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 这里?和?恒等的充分必要条件是算子?的系数必须满足 ? ? ? 1 2 ? 虽然表示式一般不是自伴算子，乘以因子 1 ? exp? ? ? ? ?，? ? 0 得到自伴形式，即 SturmLiouville 算子 9 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 及其伴随算子 ? ? ? ? ? ? ? ? ? Lagrange 恒等式恒等式 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 注意：当?不可导的时候，Lagrange 恒等式仍然成立。 1.3 边界伴随算子边界伴随算子 考虑线性齐次微分方程的边值问题 ? ? ? 0， ? ? ? ? ? ? ? 0，? ? 1，2，?，? 其中，边界算子?包含 ?及其导数在区间端点的值，即 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 假设?个线性式?共有2?个变元， 是线性无关的； 进一步假设引入?个 线性式?，?，?，?，与原来的?，?，?，?一起构成 更 大 的 线 性 无 关 集 合 ， 从 而 使 得 2? 个 变 元 可 以 用 ?，? ? 1，2，?，2?来表示。因此，Green 公式右边部分可以用 ?，?，? ? 1，2，?，2?表示的双线性型表示 ?，? ? ? ? ? ? ? 10 ? ? ? ? ? 称算子?为算子?的边界伴随算子边界伴随算子， 也构成线性无关集合。 因此， 线性齐次微分方程的边值问题 ? ? ? 0， ? ? ? ? ? ? ? 0，? ? 1，2，?，? 称为边值问题 ? ? ? 0， ? ? ? ? ? ? ? 0，? ? 1，2，?，? 的伴随边值问题。Green 公式变成 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 由于引入?个线性式?，?，?，?不是唯一的，线性式 ?，?，?，?也不是唯一的。然而，对?，?，?，?的 给定变化，仅是生成新的?，?，?，? ?集合，是旧集合的简单线性 组合。 在这个意义上， ?，?，?，? ?仅被?，?，?，?所确定， 且确切地定义齐次伴随边值问题。 完 全 自 伴 边 值 问 题 满 足 ? ? ? ， 且 ?，?，?，? ? 是 ?，?，?，?的线性组合， 不妨选择? ?，? ? 1，2，?，?， 从而 Green 公式的右边部分为零。 对于 SturmLiouville 边值问题 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0，? ? ? ? 0 11 可以选择 ? ? ? ? ? ? ，? ? ? 令 ? ? ? ? ? ?，? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，? ? ? 则满足 Green 公式，且根据恒等式 ? ? ?，? ? ? 可以证明 SturmLiouville 边值问题的自伴性。 2 解的零点与振荡性态解的零点与振荡性态 Sturm（1836）选择形如 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 ? 的二阶常微分方程，因为“数学物理中产生的二阶方程直接表现成形 式?” 。 Liouville（1837）处理了相应的特征值问题 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 一般说来，无法得到特征值问题的显式解，SturmLiouville 理论提供 了关于特征值以及相应的特征函数的零点和振荡性质的丰富信息。 12 2.1 典则方程典则方程 特别关注二阶常微分方程的不同表现形式。 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 如果在有关区间上? ? 0，可以换成 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 在方程两边分别乘以 ? ? ? 合并，得到 ? ? ?exp? ? ? ? ? ? ? exp? ? ? ? ? 0 从而得到方程 ? ? ? ? ? ? ? ? 0 有导数项的系数本身与微分相联系的特性。 可以消去一阶导数项，只要令 ? ? ? 就有 ? ? ? ? ?2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?w ? 0 选取?使得 2 ? ? ? ? ? 0 13 即 ? ? exp? 1 2 ? ? ? ? 就得到二阶常微分方程的典则形式 ? ? ? ? ? ? 0 其中 ? ? ? ? 1 2 ? ? ? 1 4 ? ? 采用典则形式对定性讨论和求解都是方便的。 2.2 Sturm 比较定理比较定理 二阶常微分方程初值问题的解的存在唯一性定理说，在?的单侧 ? ? ?固定一对带任意值的初始条件： ? ? ?， ? ? ? ? 后，解是唯一确定的。从零初值? ? 0推断出? ? 0，意味着 这类具有连续系数函数的初值问题的非平凡解只能有简单零点 ? ? 0， ? ? ? 0 因此?与?反号，且若给定解 ? ? 0，? ? ? ? ? 则得到不等式 ? ? ? 0， ? ? ? 0 14 当然，如果 ? ? 0，? ? ? ? ?，不等式反号。 设? ? ?的解是解?的零点，则任何也以? ? ?为零点的其他 解?和?差一个因子?，使得 ? ? ? ? ? ? ? ? 由此得出的?其余零点也确定了。 由于曲线?的凹凸性质完全为二阶导数?的符号决定， 常微分 方程的典则形式 ? ? ? ? ? 的系数函数?起类似的作用。 为了建立?的符号与方程解的零点 之间的联系，设 ? ? 0，? ? ? ? ? 且方程在区间内有零点 ? ? 0，? ? ? ? ? 如果 ? ? ? 0，? ? ? ? ? 则得到不等式 ? ? 0， ? ? ? 0，? ? ? ? ? 意味着曲线是?从右侧向上凹上升到点? ? ?；类似地，如果 ? ? ? 0，? ? ? ? ? 15 则相应的不等式 ? ? 0， ? ? ? 0，? ? ? ? ? 意味着曲线是?从左侧向下凹下降到点? ? ?。 因此得到第一个结 论： 如果在区间如果在区间? ? ? ? ?内内? ? ?，则常微分方程的任一非平凡 解 ，则常微分方程的任一非平凡 解?在其中至多一个零点； 如果在其中至多一个零点； 如果? ? ?， 解曲线的不同形状就会 出现。 ， 解曲线的不同形状就会 出现。 在有限区间? ? ? ? ?内解的零点有限个，不可能有无穷多个或 聚点。如若不然，设零点为序列?，?，?，?，?，且极限存在 lim ? ? ? 从两个关系 ? ? 0 和 lim ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 得到? ? 0与非平凡解的假设矛盾。 如果?和?是方程的两个线性无关解，则成立关系式 ? ? ? ? ? ? ? ? 0 因此在区间端点? ? ?，?之间积分，得到 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 表明它们的 Wronski 行列式在? ? ?，?上有同样的非零值。设? 在? ? ?，?为零，则上式简化为 16 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 考虑到不等式 ? ? ? 0， ? ? ? 0 就得到推论：?与?反号。所以?在?的两个零点中至 少有一个零点；而且没有其他的零点，因为同样有?的一个零点 必位于?的两个零点之间。因此就证明一个重要的命题：线性无 关解的零点是相互交错的， 且对该常微分方程的不同形式都成立 线性无 关解的零点是相互交错的， 且对该常微分方程的不同形式都成立。 设 ?和?是方程的两个线性无关解，有非零 Wronski 行列式 ? ? ? ? ? ? ? ? 0 假设在区间? ? ? ? ?内，? ? 0，可以定义连续函数 ? ? ? ? 在? ? ?，?上有零值，那么根据微分学的中值定理，必有一点?位于 ?，?之间，使得 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 在? ? ?处为零。 这与?和?线性无关假设矛盾。 因此， ?在 ?的两个零点中必有一个零点，且反之亦然。 考虑一对方程 ? ? ? ? ? 0， ? ? ? ? 0，? ? ? ? ? 其中，? ? ? ? 0，? ? ? ? ? 17 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 如果?和? 保持同号，不妨同时为正，则右边为正，左边假设 ? ? ? ? 0，注意到 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 则 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 出现矛盾。因此，给定一个解给定一个解?在端点在端点 ? ? ?，?为零，则具有 较大系数的比较方程的每一个解 为零，则具有 较大系数的比较方程的每一个解?在区间内至少有一个零点。在区间内至少有一个零点。 设?和?有同样的初值，即 ? ? ? ? 0， ? ? ? ? ? ? ? ? ? 则有 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 且左右两边符号相反，必然得到结论：?不能在整个区间保持为 正， 所以在在? ? ?之后，之后， ? 的最近零点出现在的最近零点出现在?最近零点之前， 且解的振荡性态随系数函数增大而增强。 最近零点之前， 且解的振荡性态随系数函数增大而增强。 用常系数的方程 ? ? ? ? ? 0 作为 18 ? ? ? ? ? 0 的比较方程是有益的，其中 0 ? ? ? ?，? ? ? ? ? 常系数方程满足条件 ? ? 0， ? ? ? ?，? ? ? ? ? 的解为 ? ? ? ? sin? ? ? 且后继零点为 ? ? ? ? ? ? 因此，典则方程相邻零点间距满足不等式 ? ? ? ? ? ? 同理，从比较方程 ? ? ? ? ? 0，0 ? ? ? ?，? ? ? ? ? 推断出典则方程相邻零点间距满足另一个不等式 ? ? ? ? ? ? 从而得到典则方程相邻零点间距的界限 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 一个直接推论就是，典则方程在区间? ? ? ? ?内的零点个数满足不 19 等式： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2.3 Liouville 定理定理 用 Fourier 方法求解偏微分方程时，出现的常微分方程必然包含 一个称为分离常数的参数 ? ，下面的讨论也适应于非线性形式的 ? ? ? ?，? ? 0 和 ? ? ? ? ? ? ?，? ? ? ? 0 设解为 ? ? ?，? ? 连续依赖于?，?，且 ? ? ?，? ? ? ? 0，? ? ? ? ? 则当 |? ? ?| ? ?，? ? ? ? ? ? ? 时， ?，?恰好有一个零点， 这对任意的? ? 0，?是可以确定的。 参数?的变化带来微分方程的变化， 显然对解的零点位置有影响。 考虑典则形式 ? ? ? ?，? ? 0 和对某个?的值满足 20 ?，? ? ?， ? ? ? ? 的唯一确定的特解，其中|?| ? |?| ? 0。设这个解在区间? ? ? ? ?内 不同的零点为 ?，?，? 给定的?，?是自变量的连续函数， 则?，? ? 1，2，?是?的 连续函数，如果?，?是?的正单调增函数且设? ? ?，按前面的结 果， 它规定与一个特殊系数函数的不同量相联系的常微分方程解的零 点位置，推断出 ? ? ? 即当?增加时， 零点沿着?轴向左移动。 当?和?相差一个无穷小量时， 两曲线?，?和?，?在零点附近的性态如图所示。一般地， 与不同的参数值?，?向联系的方程的两个解， 在? ? ?和? ? ?之间的 零点个数相同。如果?，? ? 0，则?，?与之相关的零点就位 于区间? ? ? ? ?之外了；换言之，当?变化时，无论?，?是得到 还是失去一个零点，都是从区间?，?的端点进入或离去的。此外， 如果 ? ? ? ? ? 0 ? ? ? ? 0 ? ? ? 21 ?，? ? ，当? ? ，? ? ? ? ? 则区间内解有无穷多个零点。 至于零点个数的界限的问题，可以对方程 ? ? ? ? ? 0，0 ? ? ? ? ? ? 运用 Sturm 比较定理， 用?和?替代?和?， 对应的零点个数?满 足不等式 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 从而，参数?的界是 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 因此，?倒数的无穷级数 ? 1 ? ? ? 收敛。 对方程的两个?和?线性无关解，二阶常微分方程的通 解可表示为 ? ? ? ? ? 其中，?和?是任意常数。引入复值 ? ? ? ? exp? ? ? 把注意力放到辐角函数?和相函数? ? ? 1 2 ln? ? ? ? ?，? ? tan? ? ? 22 函数?在区间?，?内是确切和连续的，因为?和?不能在 同一点为零；当?在它的零点两侧改变符号，?/?的值从?变 到?，从而在区间?，?内固定 ?的一个值后，函数?也是确 定和连续的。注意到 ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，? ? ? ? ? ? 包含线性无关解的Wronski行列式， 其符号不变， 不妨假设? ? 0， 函数?单调递增。 ? ? ?cos?，? ? ?sin? 把通解改写为 ? ? ?cos? ? ?sin? ? ?sin? ? ? ? 显然，?引起了?的振荡；当?单调递增时，振荡也就加快。 为了求得含参数?的二阶线性齐次常微分方程符合端点或边界条 件 ?，? ? 0，?，? ? 0 的解，令? ? ?sin? ? ?中? 0，且满足初始条件 ?，? ? 1， ? ? ? ? ? 0 ?，? ? 0， ? ? ? ? ? 1 的特解?，?和?，?定义 ?，? ? tan? ?，? ?，? 则 23 ?，? ? 0， ? ? ? ? ? 1 自动满足端点条件?，? ? 0，而另一条件?，? ? 0要求规定 ?，? ? ?，? ? 0，1，? 使得大的?与?，?相联系，由此得到关于?的特征值方程 ?，? ? 0 与隶属该问题的特征函数?，?一致。 3 特征值与特征函数特征值与特征函数 考察线性齐次微分方程带参数?的边值问题 ? ? ? ? 0， ? ? ? ? ? ? ? 0，? ? 1，2，?，? 及其伴随边值问题 ? ? ? ? 0， ? ? ? ? ? ? ? 0，? ? 1，2，?，? 设它们的属于特征值?的特征函数为?和? 3.1 特征函数正交性特征函数正交性 对于两个特征值?，?， 把相应的原问题特征函数?，?及其伴 随问题的特征函数?，?代入 Green 公式，得到 ? ? ? ? ? ? ? 0 由于 ? ? ?，? ? ? 得到 24 ? ? ? ? ? ? ? 0 当当? ? ?时，如果时，如果? ?， ? ? ? ? ? 0，? ? ? 因此， 属于不同特征值的两个特征函数?，?关于权?正交。 注意，?，?分别是原问题及其伴随问题的特征函数。 特别地，对于自伴? ? ?情形，对应不同的特征值的特征函数构 成一个正交集 ? ? ? ? ? 0，? ? ? 且当? ? 0时，可以按照 ? |?|? ? ? ? 1 归一化 3.2 特征值非负性特征值非负性 对于带参数?的自伴边值问题 ? ? ? ? 0，? ? ? ? ? ? ? 0，? ? 1，2 其中 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 的特征值只能取非负实值。 先证明特征值取实值。如若不然，特征值和特征函数取复值 ? ? ? ? ?，? ? ? ? ? 25 代入方程，分离虚部和实部后，发现?和?满足联立方程 ? ? ? ? ? ? 0，? ? 0，? ? 1，2 ? ? ? ? ? ? 0，? ? 0，? ? 1，2 再借助于 Green 公式化简，导出 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，? ? ? ? ? ? 0 由于对方程的非平凡解或特征函数，则由于对方程的非平凡解或特征函数，则? ? ? ? 0，若在区间 ? ? ? ? ?内处处成立，当? ? 0时，则必有特征值的虚部? ? 0。 注意，特征值取实值的结论对具有?阶微分算子的自伴常微分方程也 成立。 再证明实值特征值非负。 用再证明实值特征值非负。 用?乘以方程? ? ? ? 0并在 区间? ? ? ? ?上积分，再分部积分，得到 ? |?|? ? ? ? ? ? ?cos? ? ? ? ? ? 其中 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 因此，如果 ? ? ? ? 0，? ? 0，? ? 0，? ? ? ? ? 且 ? 0 则所有的特征值就是正的。 26 特别地，给出边界条件 ? ? ? ? ? ? 0，? ? ? ? ? 0 如果? ， ? ? 0，则得到 ? ? ? ? ? ? 0 就满足上述准则。事实上，这些边界条件描述的是一根传热杆在端点 向外散热而冷却的问题。 改写 cos? ? ? ?sin? ? ? 0 cos? ? ?sin? ? ? ? 0 1926 年，H. Prufer 引入变量 ? ? ?cos? ，? ? ? ? ?sin? 则当?满足 ? ? ? ? 0时，相函数?由一阶常微分方程 ? ? ? 1 ? cos? ? ? ? ?sin? 确定，边界条件简化为 tan? ? tan?，tan? ? tan? 给定 ? ? ? 则由tan? ? tan?条件确定了一个唯一解?，?，无论?取值如 何；再从tan?，? ? tan?，得到关于?的特征值方程，即有 27 ?，? ? ? ? ?，? ? 0，1，2，? 由此，依据相函数?，?关于 ?的递增性和关于?的连续性，就得到 与整数? ? 0，1，2，?对应，存在着可数无穷个特征值 ? ? ? ? ? ? ? 集合，相对应的特征函数形如 ? ? ?cos?，? 在区间内恰好有?个零点。 3.3 例子：热传导问题例子：热传导问题 回到 Fourier 热传导问题，设一根截面积?长度?金属棒，比热、 密度和热扩散系数都是常数，但是两端边界条件一般的，在端点向外 散热而冷却，归纳为总结为第三类（Robin）边值问题 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0，0 ? ? ? ?，? ? 0 ?0，? ? ?0，? ? 0，? ? 0 ?，? ? ?，? ? 0，? ? 0 ?，0? ? ?， 0 ? ? ? ? 其中，?，?分别是材料的密度和比热，热扩散系数为 ? ? ? 隐含了材料是均匀的，?，?，?都是常数。 辐射条件；吸收条件；绝热条件 取一乘积形式的解 ?，? ? ? 28 代入原方程 ? ? ? 分离变量。把上式写成 ? ? ? ? ? ? ? 等式的两端都保持不变，必须等于一个分离常数 ? ，从而得到分离方 程 ? ? ? ? 0，? ? ? 0 从而得到函数?满足的齐次方程组 ? ? ? ? ? 0，0 ? ? ? ? ?0? ? ?0? ? 0 ? ? ? ? 0 显然，是 SturmLiouville 问题的一个特例，? ? 1，? ? 1。为 了得到非平凡和有意义的解，分别讨论? ? 0，? ? 0，? ? 0这三种 情况。 1 正特征值正特征值? ? ? 如果? ? 0，记作? ? ?，? ? 0，方程? ? ? ? 0的通 解为 ? ? ?cos? ? ?sin? 从而 ? ? ? ? ? ? ?cos? ? ? ? ?sin? 因此，可以按?解出?，在? ? 0，有 0 ? ?0? ? ?0? ? ? ? ? 29 在? ? ?，有 0 ? ? ? ? ? ? ? ?cos? ? ? ? ?sin? 写成矩阵方程 ? ? ?cos? ? ?sin?cos? ? ?sin? ? ? ? ? 0 0? 代入?，有 ? ? ?cos? ? ? ? ? ? ?sin? ? 0 对于?，? ? 0的解，有 ? ?tan? ? ? ? ? 任何? ? 0的代数方程的根给出特征值? ? ?。对于任何? ? 0，特 征函数为 ? ? ?cos? ? ? ? sin? tan? ? ? ? ? ? ? 可以用作图法，找到? ? tan?与函数 ? ? ? ? ? ? ? 的交点 30 两端辐射情形：两端辐射情形： ?，? ? 0。 每一个交点提供一个特征值? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1? ? ? ，?0，1，? 且 lim ? ? ? ? ? 0 表明，特征值越大，就越接近于?/? 左端辐射右端吸收：左端辐射右端吸收：? ? 0，? ? 0，? ? ? ? 0 31 在区间?0，?/?之间，?不存在 2.零特征值零特征值 当? ? ? ? ?，存在零特征值，