2013年上海市春季高考数学试卷答案与解析

2013年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，要求直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得0分1（3分）（2013上海）函数y=log2（x+2）的定义域是（2，+）考点：对数函数的定义域菁优网版权所有专题：函数的性质及应用分析：要使函数有意义，只需令x+20即可解答：解：欲使函数有意义，须有x+20，解得x2，所以函数的定义域为（2，+）故答案为：（2，+）点评：本题考查函数定义域的求法，属基础题2（3分）（2013上海）方程2x=8的解是3考点：函数的零点菁优网版权所有专题：函数的性质及应用分析：由已知条件2x=8=23，可得x=3，由此可得此方程的解解答：解：由2x=8=23，可得x=3，即此方程的解为3，故答案为 3点评：本题主要考查指数方程的解法，属于基础题3（3分）（2013上海）抛物线y2=8x的准线方程是x=2考点：抛物线的简单性质菁优网版权所有专题：计算题分析：根据抛物线方程的标准形式，可得抛物线以原点为顶点，开口向右，由2p=8算出=2，即可得到抛物线的准线方程解答：解：抛物线的方程为y2=8x抛物线以原点为顶点，开口向右由2p=8，可得=2，可得抛物线的焦点为F（2，0），准线方程为x=2故答案为：x=2点评：本题给出抛物线的标准方程，求抛物线的准线方程，着重考查了抛物线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题4（3分）（2013上海）函数y=2sinx的最小正周期是2考点：三角函数的周期性及其求法菁优网版权所有专题：三角函数的图像与性质分析：根据函数y=2sinx的最小正周期是 ，运算可得结果解答：解：函数y=2sinx的最小正周期是 =2，故答案为 2点评：本题主要考查三角函数的周期性及求法，属于基础题5（3分）（2013上海）已知向量，若，则实数k=考点：平行向量与共线向量菁优网版权所有专题：平面向量及应用分析：根据向量平行的充要条件可得关于k的方程，解出即可解答：解：由，得1（k6）9k=0，解得k=，故答案为：点评：本题考查向量共线的充要条件，若，则x1y2x2y1=06（3分）（2013上海）函数y=4sinx+3cosx的最大值是5考点：三角函数的最值菁优网版权所有专题：三角函数的求值分析：利用辅助角公式把所给的函数解析式化为y=5sin（x+），再根据正弦函数的值域，求得它的最大值解答：解：函数y=4sinx+3cosx=5（sinx+cosx）=5sin（x+），（其中，cos=，sin=） 故函数的最大值为5，故答案为5点评：本题主要考查辅助角公式的应用，正弦函数的值域，属于中档题7（3分）（2013上海）复数2+3i（i是虚数单位）的模是考点：复数求模菁优网版权所有专题：计算题分析：利用模长公式|z|=，代入计算即可得出复数2+3i（i是虚数单位）的模解答：解：复数2+3i，2+3i的模 =故答案为：点评：本题考查复数的概念及模长计算公式，是一道基础题8（3分）（2013上海）在ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a=5，c=8，B=60，则b=7考点：余弦定理菁优网版权所有专题：计算题；解三角形分析：根据余弦定理b2=a2+c22accosB，代入题中的数据得b2=25+64258cos60=49，解之即可得到b=7解答：解：在ABC中，a=5，c=8，B=60，根据余弦定理，得b2=a2+c22accosB=25+64258cos60=49解之得b=7（舍负）故答案为：7点评：本题给出ABC两条边长及其夹角大小，求第三边的长度着重考查了利用余弦定理解三角形的知识，属于基础题9（3分）（2013上海）正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线A1B与B1C所成角的大小为60考点：异面直线及其所成的角菁优网版权所有专题：计算题分析：连接A1D，根据正方体的几何特征及异面直线夹角的定义，我们可得BA1D即为异面直线A1B与B1C所成的角，连接BD后，解三角形BA1D即可得到异面直线A1B与B1C所成的角解答：解：连接A1D，由正方体的几何特征可得：A1DB1C，则BA1D即为异面直线A1B与B1C所成的角，连接BD，易得：BD=A1D=A1B故BA1D=60故答案为：60点评：本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，其中根据正方体的几何特征及异面直线夹角的定义判断出BA1D即为异面直线A1B与B1C所成的角，是解答本题的关键10（3分）（2013上海）从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的概率为（结果用数值表示）考点：古典概型及其概率计算公式菁优网版权所有专题：概率与统计分析：先求对立事件“选出的3人中只有男同学或只有女同学”的概率，然后根据对立事件的概率和为1可得答案解答：解：从10人中选出的3人中只有男同学或只有女同学的概率为：=，则选出的3人中男女同学都有的概率为：1=故答案为：点评：本题考查古典概型及其概率计算公式，属基础题11（3分）（2013上海）若等差数列的前6项和为23，前9项和为57，则数列的前n项和Sn=考点：等差数列的前n项和菁优网版权所有专题：等差数列与等比数列分析：设等差数列的前n项和Sn=an2+bn，则由题意可得 ，解得a、b的值，即可求得数列的前n项和Sn的解析式解答：解：设等差数列的前n项和Sn=an2+bn，则由题意可得 ，解得 ，故数列的前n项和Sn=，故答案为 点评：本题主要考查等差数列的前n项和公式的结构特征，用待定系数法函数的解析式，属于基础题12（3分）（2013上海）36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36=2232，所以36的所有正约数之和为（1+3+32）+（2+23+232）+（22+223+2232）=（1+2+22）（1+3+32）=91，参照上述方法，可求得2000的所有正约数之和为4836考点：类比推理菁优网版权所有专题：压轴题；规律型分析：这是一个类比推理的问题，在类比推理中，参照上述方法，2000的所有正约数之和可按如下方法得到：因为2000=2453，所以2000的所有正约数之和为（1+2+22+23+24）（1+5+52+53），即可得出答案解答：解：类比36的所有正约数之和的方法，有：2000的所有正约数之和可按如下方法得到：因为2000=2453，所以2000的所有正约数之和为（1+2+22+23+24）（1+5+52+53）=4836可求得2000的所有正约数之和为 4836故答案为：4836点评：类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）二选择题（本大题满分36分）本大题共有12题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的考生必须把真确结论的代码写在题后的括号内，选对得3分，否则一律得0分13（3分）（2013上海）展开式为adbc的行列式是（）ABCD考点：二阶行列式与逆矩阵菁优网版权所有专题：计算题分析：根据叫做二阶行列式，它的算法是：adbc，再根据所给的式子即可得出答案解答：解：根据叫做二阶行列式，它的算法是：adbc，由题意得，=adbc故选B点评：本题考查的是二阶行列式与逆矩阵，根据题意二阶行列式的意义得出所求代数式是解答此题的关键14（3分）（2013上海）设f1（x）为函数f（x）=的反函数，下列结论正确的是（）Af1（2）=2Bf1（2）=4Cf1（4）=2Df1（4）=4考点：反函数菁优网版权所有专题：函数的性质及应用分析：本题的关键是求函数f（x）=的反函数，欲求原函数的反函数，即从原函数式f（x）=中反解出x，后再进行x，y互换，即得反函数的解析式解答：解：f1（x）为函数f（x）=的反函数，f1（x）=x2，（x0），f1（2）=4，f1（4）=16，故选B点评：本题考查反函数的求法及不等关系，属于基础题目，要会求一些简单函数的反函数，掌握互为反函数的函数图象间的关系15（3分）（2013上海）直线2x3y+1=0的一个方向向量是（）A（2，3）B（2，3）C（3，2）D（3，2）考点：平面向量共线（平行）的坐标表示；直线的倾斜角菁优网版权所有专题：平面向量及应用分析：题意可得首先求出直线的斜率为：k=，即可得到它的一个方向向量（1，k），再利用平面向量共线（平行）的坐标表示即可得出答案解答：解：由题意可得：直线2x3y+1=0的斜率为k=，所以直线2x3y+1=0的一个方向向量 =（1，），或（3，2）故选D点评：本题主要考查直线的方向向量，以及平面向量共线（平行）的坐标表示，是基础题16（3分）（2013上海）函数f（x）=的大致图象是（）ABCD考点：函数的图象；幂函数图象及其与指数的关系菁优网版权所有专题：函数的性质及应用分析：筛选法：利用幂函数的性质及函数的定义域进行筛选即可得到答案解答：解：因为0，所以f（x）在（0，+）上单调递减，排除选项B、C；又f（x）的定义域为（0，+），故排除选项D，故选A点评：本题考查幂函数的图象及性质，属基础题，筛选法是解决选择题的常用技巧，要掌握17（3分）（2013上海）如果ab0，那么下列不等式成立的是（）ABabb2Caba2D考点：不等关系与不等式菁优网版权所有专题：不等式的解法及应用分析：由于ab0，不妨令a=2，b=1，代入各个选项检验，只有D正确，从而得出结论解答：解：由于ab0，不妨令a=2，b=1，可得=1，故A不正确可得ab=2，b2=1，abb2，故B不正确可得ab=2，a2=4，aba2，故C不正确故选D点评：本题主要考查不等式与不等关系，利用特殊值代入法比较几个式子在限定条件下的大小关系，是一种简单有效的方法，属于基础题18（3分）（2013上海）若复数z1，z2满足z1=，则z1，z2在复数平面上对应的点Z1，Z2（）A关于x轴对称B关于y轴对称C关于原点对称D关于直线y=x对称考点：复数的代数表示法及其几何意义菁优网版权所有专题：计算题分析：由题意可得z1，z2的实部相等，虚部互为相反数，故z1，z2在复数平面上对应的点Z1，Z2关于x轴对称解答：解：若复数z1，z2满足z1=，则z1，z2的实部相等，虚部互为相反数，故z1，z2在复数平面上对应的点Z1，Z2关于x轴对称，故选A点评：本题主要考查共轭复数的定义，复数与复平面内对应点间的关系，属于基础题19（3分）（2013上海）（1+x）10的二项展开式中的一项是（）A45xB90x2C120x3D252x4考点：二项式定理的应用菁优网版权所有专题：计算题分析：根据（1+x）10的二项展开式的通项公式为 Tr+1=xr，即可得出结论解答：解：（1+x）10的二项展开式的通项公式为 Tr+1=xr，故当r=3时，此项为120x3，故选C点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中的某一项，属于中档题20（3分）（2013上海）既是偶函数又在区间（0，）上单调递减的函数是（）Ay=sinxBy=cosxCy=sin2xDy=cos2x考点：余弦函数的奇偶性；余弦函数的单调性菁优网版权所有专题：三角函数的图像与性质分析：根据函数的奇偶性排除A、C，再根据函数的单调性排除D，经检验B中的函数满足条件，从而得出结论解答：解：由于函数y=sinx和 y=sin2x都是奇函数，故排除A、C由于函数y=cosx是偶函数，周期等于2，且在（0，）上是减函数，故满足条件由于函数y=cos2x是偶函数，周期等于，在（0，）上是减函数，在（，）上是增函数，故不满足条件故选B点评：本题主要考查余弦函数的奇偶性和单调性，属于中档题21（3分）（2013上海）若两个球的表面积之比为1：4，则这两个球的体积之比为（）A1：2B1：4C1：8D1：16考点：球的体积和表面积菁优网版权所有专题：计算题；空间位置关系与距离分析：设两个球的半径分别为r1、r2，根据球的表面积公式算出它们的表面积之比为=，解之得=，由此结合球的体积公式即可算出这两个球的体积之比解答：解：设两个球的半径分别为r1、r2，根据球的表面积公式，可得它们的表面积分别为S1=4，S2=4两个球的表面积之比为1：4，=，解之得=（舍负）因此，这两个球的体积之比为=（）3=即两个球的体积之比为1：8故选：C点评：本题给出两个球的表面积之比，求它们的体积之比着重考查了球的表面积公式和体积公式等知识，属于基础题22（3分）（2013上海）设全集U=R，下列集合运算结果为R的是（）AZUNBNUNCU（u）DU0考点：交、并、补集的混合运算菁优网版权所有专题：计算题分析：根据题目中条件“全集U=R”，对各个选项一一进行集合的运算，即可得出答案解答：解：全集U=R，ZUN=R，NUN=，U（u）=，U0=xR|x0故选A点评：本题主要考查了交、并、补集的混合运算，属于基础题23（3分）（2013上海）已知a，b，cR，“b24ac0”是“函数f（x）=ax2+bx+c的图象恒在x轴上方”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分又非必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断菁优网版权所有专题：压轴题；函数的性质及应用分析：根据充要条件的定义可知，只要看“b24ac0”与“函数f（x）=ax2+bx+c的图象恒在x轴上方”能否相互推出即可解答：解：若a0，欲保证函数f（x）=ax2+bx+c的图象恒在x轴上方，则必须保证抛物线开口向上，且与x轴无交点；则a0且=b24ac0但是，若a=0时，如果b=0，c0，则函数f（x）=ax2+bx+c=c的图象恒在x轴上方，不能得到=b24ac0；反之，“b24ac0”并不能得到“函数f（x）=ax2+bx+c的图象恒在x轴上方”，如a0时从而，“b24ac0”是“函数f（x）=ax2+bx+c的图象恒在x轴上方”的既非充分又非必要条件故选D点评：本题考查的是必要条件、充分条件与充要条件的判断，二次函数的性质，难度一般学生要熟记二次函数的性质方能得心应手的解题24（3分）（2013上海）已知A，B为平面内两定点，过该平面内动点M作直线AB的垂线，垂足为N若，其中为常数，则动点M的轨迹不可能是（）A圆B椭圆C抛物线D双曲线考点：轨迹方程菁优网版权所有专题：计算题；压轴题；分类讨论；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：建立直角坐标系，设出A、B坐标，以及M坐标，通过已知条件求出M的方程，然后判断选项解答：解：以AB所在直线为x轴，AB中垂线为y轴，建立坐标系，设M（x，y），A（a，0）、B（a，0）；因为，所以y2=（x+a）（ax），即x2+y2=a2，当=1时，轨迹是圆当0且1时，是椭圆的轨迹方程；当0时，是双曲线的轨迹方程当=0时，是直线的轨迹方程；综上，方程不表示抛物线的方程故选C点评：本题考查曲线轨迹方程的求法，轨迹方程与轨迹的对应关系，考查分类讨论思想、分析问题解决问题的能力以及计算能力三、解答题（本大题满分78分）本大题共有7题，解答下列各题必须写出必要的步骤25（7分）（2013上海）如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AA1=6，异面直线BC1与AA1所成角的大小为，求该三棱柱的体积考点：棱柱、棱锥、棱台的体积菁优网版权所有专题：空间位置关系与距离分析：因为 CC1AA1根据异面直线所成角的定义得BC1C为异面直线BC1与AA1所成的角，从而BC1C=在RtBC1C中，求得BC，从而求出SABC，最后利用柱体的体积公式即可求出该三棱柱的体积解答：解：因为 CC1AA1所以BC1C为异面直线BC1与AA1所成的角，即BC1C=在RtBC1C中，BC=CC1tanBC1C=6=2，从而SABC=3，因此该三棱柱的体积为V=SABCAA1=36=18点评：本题考查三棱柱体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题26（7分）（2013上海）如图，某校有一块形如直角三角形ABC的空地，其中B为直角，AB长40米，BC长50米，现欲在此空地上建造一间健身房，其占地形状为矩形，且B为矩形的一个顶点，求该健身房的最大占地面积考点：根据实际问题选择函数类型；二次函数在闭区间上的最值菁优网版权所有专题：计算题；函数的性质及应用分析：设出矩形的边FP的边长，利用三角形相似求出矩形的宽，表示出矩形面积，利用二次函数的最值求解即可解答：解：如图，设矩形为EBFP，FP长为x米，其中0x40，健身房占地面积为y平方米因为CFPCBA，以，求得BF=50，从而y=BFFP=（50）x=500当且仅当x=20时，等号成立答：该健身房的最大占地面积为500平方米点评：本题考查函数的实际应用，表示出函数的表达式是解题的关键，考查分析问题解决问题的能力27（8分）（2013上海）已知数列an的前n项和为S，数列bn满足b，求考点：数列的极限；等差数列的前n项和；数列的求和菁优网版权所有专题：计算题；点列、递归数列与数学归纳法分析：先由Sn求出an，进而得到bn，由bn的表达式可判断数列bn是无穷等比数列，从而可得答案解答：解：当n2时，=2n+2，且a1=S1=0，所以an=2n+2因为=，所以数列bn是首项为1、公比为的无穷等比数列故=点评：本题考查数列的极限、等差数列的前n项和，解答本题的关键是根据Sn与an的关系求出an28（13分）（2013上海）已知椭圆C的两个焦点分别为F1（1，0）、F2（1，0），短轴的两个端点分别为B1，B2（1）若F1B1B2为等边三角形，求椭圆C的方程；（2）若椭圆C的短轴长为2，过点F2的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且，求直线l的方程考点：直线与圆锥曲线的关系；平面向量数量积的运算；直线的一般式方程；椭圆的标准方程菁优网版权所有专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）由F1B1B2为等边三角形可得a=2b，又c=1，集合a2=b2+c2可求a2，b2，则椭圆C的方程可求；（2）由给出的椭圆C的短轴长为2，结合c=1求出椭圆方程，分过点F2的直线l的斜率存在和不存在讨论，当斜率存在时，把直线方程和椭圆方程联立，由根与系数关系写出两个交点的横坐标的和，把转化为数量积等于0，代入坐标后可求直线的斜率，则直线l的方程可求解答：解：（1）设椭圆C的方程为根据题意知，解得，故椭圆C的方程为（2）由2b=2，得b=1，所以a2=b2+c2=2，得椭圆C的方程为当直线l的斜率不存在时，其方程为x=1，不符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x1）由，得（2k2+1）x24k2x+2（k21）=0设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，因为，所以，即=，解得，即k=故直线l的方程为或点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了数量积的坐标运算，考查了直线和圆锥曲线的关系，考查了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，训练了根与系数关系，属有一定难度题目29（12分）（2013上海）已知抛物线C：y2=4x 的焦点为F（1）点A，P满足当点A在抛物线C上运动时，求动点P的轨迹方程；（2）在x轴上是否存在点Q，使得点Q关于直线y=2x的对称点在抛物线C上？如果存在，求所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由考点：直线与圆锥曲线的关系；轨迹方程菁优网版权所有专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）设出动点P和A的坐标，求出抛物线焦点F的坐标，由得出P点和A点的关系，由代入法求动点P的轨迹方程；（2）设出点Q的坐标，在设出其关于直线y=2x的对称点Q的坐标，由斜率关系及中点在y=2x上得到两对称点坐标之间的关系，再由点Q在抛物线上，把其坐标代入抛物线方程即可求得Q点的坐标解答：解：（1）设动点P的坐标为（x，y），点A的坐标为（xA，yA），则，因为F的坐标为（1，0），所以，由，得（xxA，yyA）=2（xA1，yA）即，解得代入y2=4x，得到动点P的轨迹方程为y2=84x（2）设点Q的坐标为（t，0）点Q关于直线y=2x的对称点为Q（x，y），则，解得若Q在C上，将Q的坐标代入y2=4x，得4t2+15t=0，即t=0或所以存在满足题意的点Q，其坐标为（0，0）和（）点评：本题考查了轨迹方程，考查了直线和圆锥曲线间的关系，考查了代入法求曲线方程，考查了存在性问题的求解方法，属中档题30（13分）（2013上海）在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴正半轴上，点Pn在x轴上，其横坐标为xn，且xn 是首项为1、公比为2的等比数列，记PnAPn+1=n，nN*（1）若，求点A的坐标；（2）若点A的坐标为（0，8），求n的最大值及相应n的值考点：数列与函数的综合；基本不等式；两角和与差的正切函数菁优网版权所有专题：压轴题；等差数列与等比数列分析：（1）利用xn 是首项为1、公比为2的等比数列，确定通项，利用差角的正切公式，建立方程，即可求得A的坐标；（2）表示出tann=tan（OAPn+1OAPn），利用基本不等式，结合正切函数的单调性，即可求得结论解答：解：（1）设A（0，t）（t0），根据题意，xn=2n1由，知，而tan3=tan（OAP4OAP3）=，所以，解得t=4或t=8故点A的坐标为（0，4）或（0，8）（2）由题意，点Pn的坐标为（2n1，0），tanOAPn=tann=tan（OAPn+1OAPn）=因为，所以tann=，当且仅当，即n=4时等号成立0n，y=tanx在（0，）上为增函数，当n=4时，n最大，其最大值为点评：本题考查等比数列，考查差角的正切函数，考查基本不等式的运用，正确运用差角的正切公式是关键31（18分）（2013上海）已知真命题：“函数y=f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形”的充要条件为“函数y=f（x+a）b 是奇函数”（1）将函数g（x）=x33x2的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图象对应