2013年高考江苏卷数学(理)试卷及答案

A B C 1 A D E F 1 B 1 C A B C S G F E 2013 年普通高等学校统一考试数学试题 卷卷 必做题部分必做题部分 一填空题一填空题 1函数的最小正周期为 。) 4 2sin(3 xy 2设（ 为虚数单位） ，则复数的模为 。 2 )2(iziz 3双曲线的两条渐近线的方程为 。1 916 22 yx 4集合共有 个子集。1 , 0 , 1 5下图是一个算法的流程图，则输出的的值是 。n 6抽样统计甲、乙两位设计运动员的 5 此训练成绩（单位：环） ，结果如下： 运动员第 1 次第 2 次第 3 次第 4 次第 5 次 甲 8791908993 乙 8990918892 则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为 。 7现在某类病毒记作，其中正整数，（，）可以任意选取，则都取到奇 nmY Xmn7m9nnm， 数的概率为 。 8如图，在三棱柱中，分别是ABCCBA 111 FED， 1 AAACAB， 的中点，设三棱锥的体积为，三棱柱的体积为，ADEF 1 VABCCBA 1112 V 则 。 21:V V 9抛物线在处的切线与两坐标轴围成三角形区域为（包含三 2 xy 1xD 角形内部与边界） 。若点是区域内的任意一点，则的取值范),(yxPDyx2 围是 。 10设分别是的边上的点，若ED，ABCBCAB，ABAD 2 1 BCBE 3 2 （为实数） ，则的值为 。ACABDE 21 21 ， 21 11已知是定义在上的奇函数。当时，则不等式的解集用区间)(xfR0xxxxf4)( 2 xxf)( 表示为 。 12在平面直角坐标系中，椭圆的标准方程为，右焦点为，右准线xOyC)0, 0( 1 2 2 2 2 ba b y a x F 为 ，短轴的一个端点为，设原点到直线的距离为，到 的距离为，若，则椭lBBF 1 dFl 2 d 12 6dd 圆的离心率为 。C 13在平面直角坐标系中，设定点，是函数（）图象上一动点，若点xOy),(aaAP x y 1 0x 之间的最短距离为，则满足条件的实数的所有值为 。AP，22a 14在正项等比数列中，则满足的最大正整数 n a 2 1 5 a3 76 aa nn aaaaaa 2121 的值为 。n 二解答题： 15本小题满分 14 分。已知，(cos ,sin)(cos,sin)ab ， 。0 （1）若，求证：；（2）设，|2ab ab (0,1)c 若，求的值。abc , 16本小题满分 14 分。 如图，在三棱锥中，平面平面，ABCS SABSBCBCAB x y A l O C B A ，过作，垂足为，点分别是棱的中点.ABAS ASBAF FGE，SCSA， 求证：（1）平面平面； （2）./EFGABCSABC 17本小题满分 14 分。如图，在平面直角坐标系中，点，直线xOy)3 , 0(A ,设圆的半径为 ，圆心在 上。42:xylC1l （1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；C1 xyAC （2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围。CMMOMA2Ca 18本小题满分 16 分。如图，游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径。一种是从沿直ACA 线步行到，另一种是先从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到。现有甲乙两位游客从CABBC 处下山，甲沿匀速步行，速度为。在甲出发后，乙从乘缆车到，在处停AACmin/50mmin2ABB 留后，再从匀速步行到。假设缆车匀速直线运动的速度为，山路长为，min1Cmin/130mACm1260 经测量，。 13 12 cosA 5 3 cosC （1）求索道的长；AB （2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ （3）为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟，乙步行C3 的速度应控制在什么范围内？ 19本小题满分 16 分。设是首项为，公差为的等差数列，是其前项和。记 n aad)0(d n Sn ，其中为实数。 cn nS b n n 2 * Nnc （1）若，且成等比数列，证明：（） ；0c 421 bbb， knk SnS 2 * ,Nnk （2）若是等差数列，证明：。 n b0c 20本小题满分 16 分。 设函数，其中为实数。axxxf ln)(axexg x )(a （1）若在上是单调减函数，且在上有最小值，求的取值范围；)(xf), 1 ( )(xg), 1 ( a （2）若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论。)(xg), 1()(xf 卷卷 附加题部分附加题部分 选做题第 21 题，本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若 多做，则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 21A.选修 4-1：几何证明选讲本小题满分 10 分。 如图，和分别与圆相切于点，经过圆心，且ABBCOD,C ACO2BCOC 求证：2ACAD 21B.选修 4-2：矩阵与变换本小题满分 10 分。 已知矩阵，求矩阵。 1 01 2 , 020 6 AB BA 1 21.C.选修 4-4：坐标系与参数方程本小题满分 10 分。 在平面直角坐标系中，直线 的参数方程为 （ 为参数） ，曲线 C 的参数方程为xoyl ty tx 2 1 t （为参数） ，试求直线 与曲线 C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标。 tan2 tan2 2 y x l 21D.选修 4-5：不定式选讲本小题满分 10 分。 已知0，求证：ba baabba 2233 22 必做题第 22、23 题，每题 10 分，共 20 分。请在相应的答题区域内作答，若多做，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤。 22本小题满分 10 分。 如图，在直三棱柱中，,点是的中点 111 ABCABCACAB 2 ACAB4 1 AADBC （1）求异面直线与所成角的余弦值BA1DC1 （2）求平面与所成二面角的正弦值。 1 ADC 1 ABA 23本小题满分 10 分。 设数列 122,3,3,34444 n a：，- ，-，- ，- ，- ，- ， ，即当时， -1-1 -1-1 k kk kk 个 （），（） 11 22 kkk k n （）（） kN ，记，对于， 1 1 k n ak （- ） 12nn SaaanN lN 定义集合 l P1 nn n SanNnl 是的整数倍，且 （1）求集合中元素的个数； （2）求集合中元素的个数。 11 P 2000 P 参考答案参考答案 一、填空题 1 25 3 48 53 62 7 8 9xy 4 3 20 63 1:24 2 1 , 2 10 11 12 13或 1412 1 2 , 50 , 5 3 3 110 二、解答题 15解：（1） 即，2|ba2| 2 ba22 222 bbaaba 又，1sincos| 222 2 aa1sincos| 222 2 bb222ba0baba （2） 即 ) 1 , 0()sinsin,cos(cosba 1sinsin 0coscos sin1sin coscos 两边分别平方再相加得： sin221 2 1 sin 2 1 sin0 6 1 , 6 5 16证明：（1），F 分别是 SB 的中点ABAS SBAF EF 分别是 SASB 的中点 EFAB 又EF平面 ABC, AB平面 ABC EF平面 ABC 同理：FG平面 ABC 又EFFG=F, EFFG平面 ABC平面平面/EFGABC （2）平面平面SABSBC 平面平面=BCSABSBC AF平面 SAB AFSB AF平面 SBC 又BC平面 SBC AFBC 又, ABAF=A, ABAF平面 SAB BC平面 SAB 又SA平面 SABBCSABCAB 17解：（1）由得圆心 C 为（3,2） ，圆的半径为 1 42 xy xy C1 圆的方程为：C1)2()3( 22 yx 显然切线的斜率一定存在，设所求圆 C 的切线方程为，即3 kxy03 ykx 或者1 1 323 2 k k 113 2 kk0)34(2kk0k 4 3 k 所求圆 C 的切线方程为：或者即或者3y3 4 3 xy3y01243yx （2）解：圆的圆心在在直线上，所以，设圆心 C 为（a,2a-4）C42:xyl 则圆的方程为：C1)42()( 2 2 ayax 又设 M 为（x,y）则整理得：设为圆 DMOMA2 2222 2)3(yxyx4) 1( 22 yx 点 M 应该既在圆 C 上又在圆 D 上 即：圆 C 和圆 D 有交点 12) 1()42(12 2 2 aa 由得0885 2 aaRx 由得0125 2 aa 5 12 0 x 终上所述，的取值范围为：a 5 12 , 0 18解：（1）， 13 12 cosA 5 3 cosC ，），（、 2 0 CA 13 5 sinA 5 4 sinC 65 63 sincoscossinsinsinsinCACACACAB）（）（ 根据得 sinBsinC ACAB mC AC AB1040sin sinB （2）设乙出发 t 分钟后，甲乙距离为 d，则 13 12 )50100(1302)50100()130( 222 ttttd )507037(200 22 ttd 即 130 1040 0 t80 t 时，即乙出发分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短。 37 35 t 37 35 （3）由正弦定理得（m） sinBsinA ACBC 500 13 5 65 63 1260 sin sinB A AC BC 乙从 B 出发时，甲已经走了 50（2+8+1）=550（m） ，还需走 710 m 才能到达 C 设乙的步行速度为 V ,则min/m3 50 710500 v 3 50 710500 3 v14 625 43 1250 v 为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟，乙步行的速度应控制在范围内C3 14 625 , 43 1250 法二：解：解：（1）如图作 BDCA 于点 D， 设 BD20k，则 DC25k，AD48k， AB52k，由 AC63k1260m， 知：AB52k1040m （2）设乙出发 x 分钟后到达点 M， 此时甲到达 N 点，如图所示 则：AM130 x，AN50(x2)， 由余弦定理得：MN2AM2AN22 AMANcosA7400 x214000 x10000， 其中 0x8，当 x(min)时，MN 最小，此时乙在缆车上与甲的距离最短 35 37 （3）由（1）知：BC500m，甲到 C 用时：(min) 1260 50 126 5 若甲等乙 3 分钟，则乙到 C 用时：3 (min)，在 BC 上用时： (min) 126 5 141 5 86 5 此时乙的速度最小，且为：500m/min 86 5 1250 43 若乙等甲 3 分钟，则乙到 C 用时：3 (min)，在 BC 上用时： (min) 126 5 111 5 56 5 此时乙的速度最大，且为：500m/min 56 5 625 14 故乙步行的速度应控制在，范围内 1250 43 625 14 C B A D M N 19证明：是首项为，公差为的等差数列，是其前项和 n aad)0(d n Sn d nn naSn 2 ) 1( （1） 0cd n a n S b n n 2 1 成等比数列 421 bbb， 41 2 2 bbb) 2 3 () 2 1 ( 2 daada 0 4 1 2 1 2 dad0) 2 1 ( 2 1 dad0dda 2 1 ad2 ana nn nad nn naSn 2 2 2 ) 1( 2 ) 1( 左边= 右边=aknankSnk 222 )(aknSn k 222 左边=右边原式成立 （2）是等差数列设公差为，带入得： n b 1 d 11 ) 1(dnbbn cn nS b n n 2 对恒成立 11 ) 1(dnb cn nSn 2 )() 2 1 () 2 1 ( 111 2 11 3 1 bdcncdndadbndd Nn 0)( 0 0 2 1 0 2 1 11 1 11 1 bdc cd dadb dd 由式得： dd 2 1 1 0d0 1 d 由式得：0c 法二：证：（1）若，则，0cdnaan) 1( 2 2) 1(adnn Sn 2 2) 1(adn bn 当成等比数列， 421 bbb， 41 2 2 bbb 即：，得：，又，故 2 3 2 2 d aa d aadd2 2 0dad2 由此：，anSn 2 aknankSnk 222 )(aknSn k 222 故：（） knk SnS 2 * ,Nnk （2）， cn adn n cn nS b n n 2 2 2 2 2) 1( cn adn c adn c adn n 2 2 2 2) 1( 2 2) 1( 2 2) 1( () cn adn c adn 2 2 2) 1( 2 2) 1( 若是等差数列，则型 n bBnAnbn 观察()式后一项，分子幂低于分母幂， 故有：，即，而0，0 2 2) 1( 2 cn adn c 0 2 2) 1( adn c 2 2) 1(adn 故0c 经检验，当时是等差数列0c n b 20.解：（1）由即对恒成立，0 1 )( a x xfa x 1 ), 1 ( x max 1 x a 而由知1 ), 1 ( x x 1 1a 由令则aexg x )( 0)( xgaxln 当时0，当时0，xaln)( xgxaln)( xg 在上有最小值)(xg), 1 ( 1 alnae 综上所述：的取值范围为a),( e （2）证明：在上是单调增函数)(xg), 1( 即对恒成立，0)( aexg xx ea ), 1(x min x ea 而当时， ), 1(x x e e 1 e a 1 分三种情况： （）当时， 0 f（x）在上为单调增函数0a x xf 1 )( ), 0( x f（x）存在唯一零点0) 1 (f （）当0 时，0 f（x）在上为单调增函数aa x xf 1 )( ), 0( x 0 且0)1 ()( aaa eaaeaefaf) 1 ( f（x）存在唯一零点 （）当 0时，令得 e a 1 a x xf 1 )( 0)( xf a x 1 当 0时，0；时，0 x a 1 x a xa xf ) 1 ( )( x a 1 x a xa xf ) 1 ( )( 为最大值点，最大值为 a x 1 1ln 11 ln) 1 (a a a aa f 当时，有唯一零点01lna01lna e a 1 )(xfe a x 1 当0 时，0，有两个零点1lna e a 1 )(xf 实际上，对于 0，由于0，0 e a 1 e a e a ee f1 11 ln) 1 (1ln 11 ln) 1 (a a a aa f 且函数在上的图像不间断 函数在上有存在零点 ae 1 , 1 )(xf ae 1 , 1 另外，当，0，故在上单调增，在只有一个零点 a x 1 , 0a x xf 1 )( )(xf a 1 , 0)(xf a 1 , 0 下面考虑在的情况，先证0)(xf , 1 a )(lnln)( 11111 21 aaaaa eaaaeeaaeeef 为此我们要证明：当时，设 ，则，再设xe x e 2 x 2 )(xexh x xexh x 2)( xexl x 2)( 2)( x exl 当1 时，-20，在上是单调增函数x2)( x exlexexl x 2)(, 1 故当2 时，0 xxexh x 2)( 4)2( 2 eh 从而在上是单调增函数，进而当时，0 2 )(xexh x , 2xe 2 )(xexh x 2 )(eeeh e 即当时，xe x e 2 x 当 0时，即e 时，0a e 1 1 a)(lnln)( 11111 21 aaaaa eaaaeeaaeeef 又0 且函数在上的图像不间断，1ln 11 ln) 1 (a a a aa f)(xf 1 , 1 a ea 函数在上有存在零点，又当时，0 故在上)(xf 1 , 1 a eax a 1 x a xa xf ) 1 ( )( )(xf , 1 a 是单调减函数函数在只有一个零点)(xf , 1 a 综合（） （） （）知：当时，的零点个数为 1；当 0时，的零点个数为 20a)(xfa e 1 )(xf 21A 证明：连接 OD，AB 与 BC 分别与圆 O 相切于点 D 与 C ,又 0 90ACBADOAA ADORTACBRT 又BC=2OC=2OD AC=2AD AD AC OD BC 21B 解：设矩阵 A 的逆矩阵为,则=，即=， dc ba 20 01 dc ba 10 01 dc ba 22 10 01 故 a=-1，b=0，c=0，d=矩阵 A 的逆矩阵为, 2 1 2 1 0 01 1 A =BA 1 2 1 0 01 60 21 30 21 21C 解：直线 的参数方程为 消去参数 后得直线的普通方程为 l ty tx 2 1 t022 yx 同理得曲线 C 的普通方程为 xy2 2 联立方程组解得它们公共点的坐标为，)2 , 2() 1, 2 1 ( 21D 证明：baabba 2233 22)(22 3223 bbaaba)(2 2222 babbaa )2)()()2( 22 bababababa 又0，0，,ba ba 0ba02ba 0)2)()(bababa 022 2233 baabba baabba 2233 22 22本题主要考察异面直线二面角空间向量等基础知识以及基本运算，考察运用空间向量解决问题 的能力。 解：（1）以为为单位正交基底建立空间直角坐标系， 1 ,AAACABxyzA 则，,)0 , 0 , 0(A)0 , 0 , 2(B)0 , 2 , 0(C)4 , 0 , 0( 1 A)0 , 1 , 1 (D)4 , 2 , 0( 1 C ,)4, 0 , 2( 1 BA)4, 1, 1 ( 1 BA 10 103 1820 18 ,cos 11 11 11 DCBA DCBA DCBA 异面直线与所成角的余弦值为BA1DC1 10 103 （2） 是平面的的一个法向量)0 , 2 , 0(AC 1 ABA 设平面的法向量为，, 1 ADC),(zyxm )0 , 1 , 1 (AD)4 , 2 , 0( 1 AC 由 1 ,ACmADm 取，得，平面的法向量为 042 0 zy yx 1z2, 2xy 1 ADC) 1 , 2, 2( m 设平面与所成二面角为 1 ADC 1 ABA ， 得 3 2 32 4 ,coscos mAC mAC mAC 3 5 sin 平面与所成二面角的正弦值为 1 ADC 1 ABA 3 5 23本题主要考察集合数列的概念与运算计数原理等基础知识，考察探究能力及运用数学归纳法分 析解决问题能力及推理论证