开普勒定律的数学解释及现代证明_吴业明

第 35卷第 12期 2005年 12月 数学的实践与认识 M ATHEM ATICS IN PRACTICE AND THEORY Vol. 35 No. 12 Decem. , 2005 开普勒定律的数学解释及现代证明 吴业明 (武警北京指挥学院 , 北京 100012) 摘要: 牛顿和开普勒关于行星运动的数学解释是科学史上极其重要的两大成就. 牛顿对开普勒定律的解 释 ,虽然包含了许多微积分的基本思想 ,其推理还是用的相似三角形和几何学1 . 这里,我们可以给出一个 现代的证明方法来解释牛顿的推算 . 关键词: 开普勒定律; 数学解释; 现代证明 1 关于行星运动的开普勒定律 收稿日期: 2004-11-26 我们知道 ,行星环绕太阳运行 ,但不是在以太阳为中心的圆周轨道上运行;月球环绕地 球运行 ,但也不是在以地球为中心的圆周轨道上运行 . 对星体看似不规则的行迹 ,开普勒 ( Kepler, J. 1571 1630)把二十余年的观测和研究归纳成简洁的几条规律. 1. 1 开普勒定律 1) 每个行星的轨道都是以太阳为一个焦点的一个椭圆 . 而且 ,这些轨道都在包含太阳 在内的一个平面上 . 2) 当一个行星环绕太阳运动时 ,从太阳到行星的线段在相同的时间扫过相同的面积. 3) 比值 T 2 d3 对于每一个环绕太阳运行的行星都是相同的. T为轨道周期 , d为轨道的半 长轴. 2 牛顿对开普勒定律的解释 开普勒定律只是描述性的回答了“是什么” ,但没有解释“为什么”. 而牛顿 ( Isaac Newton, 1642 1727)的巨大成就在于他发现了导致这些定律的根本原因. 2. 1 开普勒第二定律和向心运动 我们定义: 关于固定点 A的向心运动为加速度向量总是指向 A的运动. 牛顿证明了向 心运动与服从开普勒第二定律的行星运动是等效的. 假设一个物体在一个包含点 A的平面上运动 ,满足从 A到物体的线段在相同的时间里 扫过相同的面积 ,那么这个运动是关于 A的向心运动. 反之 ,如果运动是关于 A的向心运 动 ,那么物体是在一个包含 A的平面上运动 ,而且从 A到物体的线段在相同的时间里扫过 相同的面积. 牛顿给出了这个法则的几向证明 . 2. 2 开普勒第一定律和万有引力 由开普勒第二定律和向心运动的等效性可知 ,一个行星的加速度向量总是指向太阳. 但是它的大小是多少? 牛顿证明了加速度的大小可以从开普勒第一定律导出. 牛顿的结论 可表述为 ,假设一个物体在一个椭圆上且关于这个椭圆的一个焦点 A作向心运动. 设椭圆 的半长轴为 d,运动周期为 T. 如果 r是从物体到焦点 A的距离 ,那么加速度的大小 a= k r2 , 这里 a与 r的平方成反比 ,k = 4 c 2d3 T 2. 牛顿认识到 ,当月球围绕地球运行时 ,必然存在一个力使月球运行的路径弯曲. 他领悟 到把苹果拉向地面的力与使月球在它的轨道上加速的力是同一种力 . 这个力的大小可由万 有引力定律给出 F= GMm r2 , 这里 G是一个常数. 对于质量为 m的行星 ,绕质量为 M的太阳 转动 ,我们有等式 F = ma = GMm r2 , 即 a = GM r2 . 这里值得关注的是 ,牛顿对万有引力定律的阐述 ,解释了开普勒定律不涉及行星质量这 一事实. 同时 ,也解释了伽利略 ( Galileo Galilei, 1564 1642)的惊人发现 自由落体的 加速度不依赖于该物体的质量. 另一方面 ,由牛顿定律 F = ma= GMm r2 导出的关系式 a = GM r 2,代入 a = k r 2, 得 GM = 4 c 2d3 T 2, 可用于计算物体的质量 ,其中 G的实验值大约是 6. 6726 10 - 11 牛顿 - 米2- 千克 - 2. 许多行星的质量就是这样求得的. 2. 3 开普勒第三定律和轨道数据 开普勒第三定律说比值 T 2 d3 对所有行星是相同的 . 牛顿证明了常数值 T2 d3 取决于行星做 轨道运行所围绕物体的质量 ,即 T 2 d3 = 4 c 2 GM. 由此 ,开普勒第三定理成为我们计算太阳系物体 运动轨道数据的理论依据. 3 开普勒定律的现代证明 牛顿在 1687年出版的名著自然哲学的数学原理 ( Philosophiae Naturalis Principia Mathematica)中 ,严格推导证明了包括开普勒行星运动三大定律、万有引力定律等在内的一 系列结论. 对开普勒定律的解释 ,虽然包含了许多微积分的基本思想 ,其推理还是用的相似 图 1 三角形和几何学. 我们给出一个现代的证明方法 来解释牛顿的推算 . 3. 1 平面上的行星运动 设 V是从质量为 M的太阳中心指向质量为 m 的行星中心的径向量. 牛顿万有引力定律告诉 我们 ,行星和太阳之间的吸引力 F = - GMm | r| 2 V | r| ( 1) G为万有引力常数 ,F与 r方向相反 . (图 1) 把对作用在行星上的引力同牛顿第二定律 F = ma = - GMm | r| 2 V | r| 结合起来 , 可得 a = - GM | r| 2 V | r|, a与 r的方向表明 ,加速度在任何时候都指向太阳. 同时也可以看出 a是 r 的数值倍数. 220 数 学 的 实 践 与 认 识35卷 于是 ,两向量的叉积 r a = 0, 记 r = v = dr dt , r = a= dV dt , 由 d dt (r V) = d dt (r 图 2 r ) = r r + r r = r r = r a= 0可 知 r v = C (C为某个常向量 )( 2) 这就告诉我们 , r和 v 是位于一个与 C相 垂直的一个平面上. (如图 2)因此 ,行星在一 个过太阳中心且垂直于 C的一个固定平面内 运动. 3. 2 开普勒第二定律 (等面积 )证明 开普勒第二定律是说从太阳到行星的径向量在相等的时间里扫过相等的面积 . 开普勒第一定律的推导用到开普勒第二定律 ,我们先叙述并证明第二定律. 设经过时间 t 径向量 r变为 r+ r (图 3)显示 r扫过的面积近似一个三角形 ,可给出 A 1 2r (r+ r) = 1 2r r+ 1 2r r = 1 2 r r 图 3 将上式除以 t A t 1 2 r r t , 令 t 0得 dA dt = 1 2r V ( 3) 由于 r V= C是一个常向量 , ( 3)式说明面积是在 一个不变的速率下扫出的. 这就是开普勒第二定律的结 论. 3. 3 开普勒第一定律 (椭圆轨道 )证明 开普勒第一定律是说行星的轨道是以太阳为焦点的 椭圆. 我们需要把行星的径向量 r表示成 的函数 ,引入 图 4 极坐标系. (见图 4) 设 单位 向 量 ur=( cos )i +( sin )j , u= - ( sin )i+( cos ) j , ur指向op方向 ,且 r= | r| ur, u 垂直 ur,指向 增加的方向. 那么 dur d= - ( sin )i+ ( cos ) j = u du d= - ( cos )i - ( sin ) j = - u r 将 ur, u对 t求导 dur dt = dur d d dt = u d dt , du dt = du d d dt = - ur d dt , 因此 ,速度 V= dr dt = d dt (rur) = dr dt ur +r dur dt = r ur+r u, 加速度 a = dV dt = d dt (r ur+r u) =r - r( ) 2 ur+r + 2r u, 考虑到加速度指向原点 0,可知 u的系数 r +2r 为 0, 由 a= - GM | r| 2 r | r|= r - r( ) 2 ur, 可得 221 12期吴业明: 开普勒定律的数学解释及现代证明 r - r( ) 2 = - GM r2 ( 4) 当行星在近日点 , (如图 5)设 t =0, 可得初始条件 r|t= 0= r0, |t= 0= 0 v0= | V|t= 0= | r ur+r u|t= 0= | r u|t= 0= | r | | u|t= 0= (r )t= 0 图 5 再讨论 C= rV= rur (r ur+ r u)= rr (urur)+ r2 (ur u) = r( r ) z, 这里 urur = 0, ur u= z, 令 t= 0, C= r (r )|t= 0z= r0v0z即 r 2 = r 0v0, = r0v0 r2 . 把结果代入 ( 4)式 r = r( ) 2 - GM r2 = r20v20 r 3- GM r 2, 将微分方程降阶可得 (r ) 2 = v201 - r20 r 2+2GM 1 r - 1 r0 ( 5) 现在用 表示 r, 让 r 2 = r 0v0的平方 ,除方程 ( 5)两端得 1 r4 dr d 2 = 1 r20 - 1 r2 + 2GM r20v 2 0 1 r - 1 r0 整理并积分可得 1 r = 2GM r 2 0v 2 0 + 1 r0 - 2GM r20v20 cos = r0v20+2GM( 1- cos ) r 2 0v 2 0 即 r = r 2 0v20 r0v20+2GM( 1- cos ) = ( 1+ e)r0 1+ ecos , 其中 e= r0v20 GM - 1( 6) 结果表明行星的轨道是以太阳为一个焦点的椭圆 ,且离心率 e = r0v 2 0 GM - 1, 这就是开普勒第 一定律的现代表述 . 3. 4 开普勒第三定律 (时间 - 距离 )证明 开普勒第三定律说轨道周期 T 2 和轨道的半长轴 d 3 之比为常数 . 我们从行星轨道所围 成的面积来推导这个结论. 几何公式: 椭圆面积= c d f (d 为半长轴 , f 为半短轴 ) 定积分公式: 椭圆面积= T 0 dA = T 0 1 2 r0v0dt = 1 2 Tr0v0 两个面积相等 ,可得 T = 2 c df r0v0 = 2 c d2 r0v0 1 - e2, f = d1- e2( 7) 为求 d,利用 ( 6) 式 r = ( 1+e)r0 1+ ecos , 令= c , 得椭圆极半径最大值 rmax= 1+e 1 - er 0, 而长轴 2d = r0+ rmax= 1+ e 1- er 0+r0= 2 r0 1- e, 半长轴 d = r0 1 - e, 由 ( 7)式平方后 ,可得 T 2 = 4 c 2d4 r20v 2 0 ( 1 - e2) , 即 T2 d3 = 4 c 2 r20v20 d ( 1- e2) = 4 c 2 r20v20 ( 1+ e) = 4 c 2 GM d = r0 1 - e . 222 数 学 的 实 践 与 认 识35卷 对于特定的太阳系 ,等式 T 2 d 3= 4 c 2 GM右端是常数,这就是开普勒第三定律所要证明的结论. 4 结束语 开普勒经验性地发现了行星的运动规律 ,并对当时知道的六大行星进行了描述. 牛顿 对开普勒定律的论证 ,充分显示了数学工具的威力. 现代推导表明 ,从牛顿定律导出开普勒 定律是微积分应用成功的范例. 注 释 ( 1) 参 见Trisan Needham,Newton and the Transmutation of Force,The Mathematical Monthly, Vol. 100, 1993, pp. 119- 137, 关于牛顿的方法的报告. 参考文献: 1 董达英等译. 多元微积分 M . 北京: 高等教育出版社 , 2003. 2 叶其孝等译. 托马斯微积分 ( 10版 ) M . 北京: 高等教育出版社 , 2003. 3 赵凯华 , 罗蔚茵 . 新概念物理教程(力学 ) M . 北京: 高等教育出版社 , 2003. 4 李文林. 数学史概论 ( 2版 ) M. 北京: 高等教育出版社 , 2002. Mathematical Explanations and Modern Demonstrations about Kepler Law WU Ye- ming (Chinese Peoples Armed Police Command Academy of Beijing,Teaching Division of Mathematics and Physics, Beijing 100012, China) Abstract : The mathematical explanations about planetsmotion given by Newton and Kepler are two of the most important achievements in science history.Althougy including lots of calcu