快速学完高等数学(基础讲义)

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分段函数：如果自变量在定义域内不同的值，函数不能用同一个表达式表示，而要用两 上或两个以上的表达式来表示 3.函数的四大特性 （1）奇偶性： （要求定义域关于原点对称） 若)()(xfxf，则称)(xf为偶函数； 若)()(xfxf，则称)(xf为奇函数； 高等数学期末通关讲义高等数学 2 注：奇函数的图像关于原点对称；偶函数图像关于y轴对称； 常见的奇函数有：xxxxarcsin,arctan,tan,sin等； 常见的偶函数有：xx arccos,cos等 （2）周期性： 若)()(xfTxf，则称T为)(xf的周期.由此可见，周期函数有无穷多个周期，一 般我们把其中的最小正周期称为周期. 注：常见的周期函数有：xx cos,sin以2为周期，xxxxx 2 sin,cos,sin,cot,tan等 以为周期 （3）单调性： 若)(xf在区间I上有定义， 若Ixx 21, （ 21 xx ） 总有)()( 21 xfxf， 则称)(xf 在I上单调递增；若)()( 21 xfxf，则单调递减. 注：一个函数的单调性取决于区间 （4）有界性 )(xf在区间I上有定义，, Ix 都有Mxf)(，则称)(xf在区间I上有界，否 则就无界. 注：)(xf有界与否依赖于区间I，)(xf 在I上有界的充要条件是既有上界又有下界. 常见的有界函数为:正弦、余弦以及四个反三角函数 高等数学期末通关讲义高等数学 3 第二讲第二讲 极限极限 【教学目的】掌握微积分的理论基础 【教学重点】会套用公式求解简单极限 无穷小的概念， 性质及无穷小的比较， 会灵活运用等价无穷小化简复杂的计算 【教学难点】灵活运用等价无穷小化简复杂 0 0 的运算 【内容展开】 1.极限的定义：变化过程+变化趋势； 2.极限的性质： （1）函数（数列）极限存在必唯一； (2) 极限的局部保号性： 1）若)0(0)(lim 0 Axf xx ，则存在0，当|0 0 xx时，有)0(0)(xf 2）若)0(0)(xf，且Axf)(lim，则)0(0 A （3） 极限的局部有界性：Axf xx )(lim 0 ， 则存在0， 当|0 0 xx时， 有Mxf)( 3极限的计算 （1）极限存在的两个准则 定理 1（单调有界准则） ：若数列 n x满足单调上升（下降）有上界（下界） ，则有极限. 定理 2（夹逼准则） ：设数列 n x满足以下两个条件 1）从某项起 nnn zxy 2）azy n n n n limlim 则 n x有极限且axn n lim. （2）关于极限的计算 1）套用基本公式求极限 CC lim；)()(lim 0 0 xPxP nn xx ； )( )( )( )( lim 0 0 0 xQ xP xQ xP m n m n xx （)0)( 0 xQm 1 110 1 110 lim mm mm nn x nn a xaxa xa b xbxb xb 0 m n mn a mn b mn 当时 当时 当时 2）套用两个重要极限 高等数学期末通关讲义高等数学 4 利用第一个重要极限1 sin lim 0 x x x 求极限 例：计算下列极限 1） x x x 3sin 2sin lim 0 2） x kx x sin lim 0 3）xx x cotlim 0 利用第二个重要极限ex x x 1 0 )1 (lim求极限 例：计算下列极限 1） x x x 1 0 )1 (lim 2） x x x 3 ) 2 1 (lim 3） x x x x 1 1 lim 4.无穷小与无穷大 （1）无穷小量定义：若 lim0f x ，则称 f x为无穷小量 （2）无穷小的性质： 有界变量乘无穷小量仍是无穷小量. 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 常数与无穷小的乘积是无穷小. 有限个无穷小的乘积是无穷小. （3）无穷小的比较： 设 lim0 lim0f xg x，且 lim f x l g x 1)0l ，称 f x是比 g x高阶的无穷小量，称 g x是比 f x低阶的无穷小量 记为 f xo g x 2)0l ，称 f x与 g x是同阶无穷小量. 3)1l ，称 f x与 g x是等价无穷小量，记为)()(xgxf 4）)0( )( )( limcc xg xf k ，称)(xf是)(xg的k阶无穷小 注： （1）等价无穷小有个良好的性质可用定理表示如下： 定理 3：设)()( 1 xfxf，)()( 1 xgxg，若 )( )( l i m 1 1 xg xf 存在，则 )( )( lim )( )( lim 1 1 xg xf xg xf . 该定理表明求 0 0 的极限时，可对分子分母分别做等价代换其结果将保持不变，此结论可 使得计算简单许多. （2）常见的等价无穷小（)0x 高等数学期末通关讲义高等数学 5 xx xx exxxxxx x 1)1 ( 2 1 cos1 1)1ln(arctantanarcsinsin 2 （3）等价无穷小不能滥用，一般建议应用于乘除法因子中做等价代换. 例:计算下列极限 )3sin 11 sin3(lim 0 x xx x x )3sin 11 sin3(limx xx x x x xx x 3 0 sin sintan lim 11 2cos1 lim 20 x x x （4）无穷大量定义：任給0M ，当x变化一定以后，总有 f xM，则称 f x为 无穷大量，记 lim f x . （5）无穷小和无穷大的关系： 1) 若)(limxf，则0 )( 1 lim xf ； 2) 若0)(limxf，且0)(xf，则 )( 1 lim xf . 高等数学期末通关讲义高等数学 6 第三讲第三讲 连续连续 【教学目的】掌握微积分的理论基础 【教学重点】连续的定义以及间断点的类型 【教学难点】连续与间断的判定 【内容展开】 1函数在某点连续的定义： 定义 1： 设函数)(xf在)( 0 xU内有定义, 且0lim 0 y x ,此时就称函数)(xf在点 0 x连续, 并称 0 x为 )(xf的连续点连续点.否则称 0 x为 )(xf的间断点. 间断点. 定义 2：设函数)(xf在)( 0 xU内有定义，如果有)()(lim 0 0 xfxf xx ，那么就称)(xf在 0 x 处连续，否则在 0 x处间断. 注：)()(lim)(lim)()(lim 00 00 0 xfxfxfxfxf xxxxxx ， 即)(xf在 0 x处连续的充要条件是既要左连续又要右连续. 2.间断点的类型 1）第一类间断点：左右极限都存在的点.若左极限等于右极限，称此时的间断点为第一类的 可去间断点（可通过修改或者补充原函数的定义使此类间断点变成连续 点） ； 若左极限不等于右极限， 称此时的间断点为第一类中的跳跃间断点. 2）第二类间断点：左右极限至少有一个不存在,若 )(lim 0 xf xx ，则称 0 x是)(xf的无穷 间断点. 例：判定下列函数在给定点处的连续性，若不连续请指明间断点的类型，若是可去间断点请 修改或者补充原函数的定义使其成为连续点 1） 01 00 01 )( xx x xx xf 0x 2） 02 0 sin )( x x x x xf0x 3） x xf 1 )( 0x 【教学总结】本部分主要涉及微积分的基本理论，介绍了什么是函数，我们要研究的函数都 有哪些；介绍了什么是极限，有什么性质，都该如何去计算等；介绍了连续与间断的定义， 如何利用定义表明这个点是函数的连续点还是间断点. 高等数学期末通关讲义高等数学 7 第四讲第四讲 导数与微分导数与微分 【教学目的】理解导数的定义，会利用几何意义建立切线（法线）方程，会求简单函数的导 数，并能利用导数借助于洛必达法则求解未定式的极限 【教学重点】导数的定义和几何意义 借助于求导法则求导数 掌握洛必达法则 【教学难点】借助于求导法则求导数，洛必达法则 【内容展开】 一、导数与微分概念 一、导数与微分概念 1.导数的定义（增量比的极限） 设函数 yf x在点 0 x的某邻域内有定义，自变量x在 0 x处有增量x，相应地函数 增量 00 yf xxf x ，如果极限 00 00 limlim xx f xxf xy xx 存在，则称此极限为函数 f x在 0 x处的导数，记作 0 fx或 0 0 0 x x x x df xdy y xx dxdx ，等，并称函数 yf x在点 0 x处可导，如果上面的极限不 存在，则称函数 yf x在点 0 x处不可导. 注： f x在点 0 x处可导 f x在点 0 x处左、右导数皆存在且相等. 2.导数的几何意义： 如果函数 yf x在点 0 x处导数 0 fx存在，则在几何上 0 fx表示曲线 yf x在 点 00 xf x，处的切线的斜率，于是有 切线方程 000 yf xfxxx 法线方程： 000 0 1 0yf xxxfx fx 3.求导法则 1)基本求导公式： 高等数学期末通关讲义高等数学 8 0)(C xxcos)(sin xxsin)(cos x xx 2 2 cos 1 sec)(tan 2 2 1 (cot )csc sin xx x xxxtansec)(sec xxxcotcsc)(csc aaa xx ln)( ax x a ln 1 )(log 2 1 1 )(arcsin x x 2 1 1 )(arccos x x 2 1 1 )(arctan x x 2 1 1 )cot( x xarc 2）四则运算的求导法则 设vu,均为x的可导函数，则 vuvu )( uvvuuv ) ( 2 v uvvu v u （0v） 3）复合函数的求导法则 设)(),(xuufy均可导，则)(xfy可导，且 dx du du dy dx dy 即y对x的导数等于y对中间变量的导数乘以中间变量对x的导数， 可见要学好复合函数的 导数得学会分析复合函数的形成过程. 4）隐函数的求导法则 设 yy x是由方程0F xy ，所确定，求 y 的方法如下：把0F xy ，两边的各项 对x求导，把y看作中间变量，用复合函数求导公式计算，然后再解出 y 的表达式. 5）反函数的求导法则 设 yf x的反函数 xg y，两者皆可导，且0)( y g dy dx dx dy1 6）分段函数的求导：分段函数分段求，分段点处定义求 4.洛必达法则： 定理 1：设 （1）)(0)(lim 0 xf xx )(0)(lim 0 xg xx （2）在 0 x的某去心邻域内)(),(xgxf都可导，且满足)( )( )( lim 0 a xg xf xx ，其中0)( x g 则， )( )( lim 0 xg xf xx )( )( )( lim 0 a xg xf xx 高等数学期末通关讲义高等数学 9 例：计算下列极限 3 0 sin lim x xx x 3 0 )sin(sinsin lim x xx x x n x e x lim x x x ln lim xx x lnlim 0 ) tan 11 (lim 0 xx x 二、微分 二、微分 1.微分的定义：设函数 yf x在点 0 x处有增量x时，如果函数的增量 00 yf xxf x 有下面的表达式 0 0yA xxoxx 其中 0 A x与x无关，ox是0 x 时比x高阶的无穷小，则称 f x在 0 x处可微， 并把y中的主要线性部分 0 A xx称为 f x在 0 x处的微分， 记以 0 |x xdy 或 0 x x df x . 2.可微的计算： 定理 2：)(xfy 在 0 x处可微的充要条件是)(xfy 在 0 x处可导且xxfdy xx )( 0 0 . 【教学总结】 本部分讲述了导数的定义和常用的求导法则， 能够根据导数解决曲线在某点的 切线和法线方程，利用导数和洛必达的法则求解未定式的极限. 高等数学期末通关讲义高等数学 10 第五讲第五讲 不定积分不定积分 【教学目的】理解原函数和不定积分的定义，会求不同类型函数的不定积分 【教学重点】原函数的不定积分的定义 第一换元法，第二换元法，分部积分法 【教学难点】第一换元法 【内容展开】 一、原函数与不定积分的概念与性质 1原函数与不定积分的概念 设函数 f x和 F x在区间I上有定义， 若 Fxf x在区间I上成立 则称 F x为 f x在区间I的原函数， f x在区间I中的全体原函数称为 f x在区间I的不定积分， 记以 fx dx .其中称为积分号，x称为积分变量， f x称为被积函数， f x dx称 为被积表达式. 2.性质：分析性质和运算性质 （1） Fx dxF xC 或 dF xF xC （2） f x dxf x 或 df x dxf x dx （3） kf x dxkf x dx （4） f xg x dxf x dxg x dx 二、基本积分公式 Ckxkdx Cxxdxcossin Cxxdxsincos Cxxdx coslntanCxxdx sinlncot Cxxxdx tanseclnsec Cxxxdx cotcsclncsc CxxdxxsectansecCxxdxx csccotcsc xxtansec2 Cxdxx cotcsc2 Cxdx x arctan 1 1 2 Cxdx x arcsin 1 1 2 三、不定积分积分法 高等数学期末通关讲义高等数学 11 1.第一换元法的基本原理 ux fxx dxfxdxf u du 令 ( )F uCFxC 注：目的是化为能带基本积分公式的方法 例：计算下列不定积分 dx e e x x 1 dx x x 2 1 sin dx x x sin dx x x 2 ln dxxx 2 cossin xdxxcossindx x x 2 arccos 1 100 dxxx 2 1 2第二换元法的基本原理 1 xt f x dxftt dtG tCGxC 令 ， 其 中 1 tx为 xt的反函数. 注：是一种化繁为简的方法，主要的目的是为了去掉被积函数中的根号 例：计算下列不定积分 dxxa 22 )0(a 22 xa dx )0(a xx dx 1 3.分部积分法的基本原理 设 u xv x，均有连续的导数，则 u x dv xu x v xv x du x 例：计算下列不定积分 xdxxsin xdxxarctan xdxxlnxdxexsin xdxarctan dxxe x 4.有理函数积分法的基本原理 （1）有理函数的相关定义： 有理函数是指两个多项式的商表示的函数 m mm n nn bxbxb axaxa xQ xP 1 10 1 10 )( )( 其中 n aaaa, 210 及 m bbbb, 210 为常数，且0 0 a，0 0 b. 如果分子多项式)(xP的次数n小于或等于分母多项式)(xQ的次数m，称分式为真分式； 如果分子多项式)(xP的次数n大于或等于分母多项式)(xQ的次数m，称分式为假分式. 利用多项式除法可得，任一假分式可转化为多项式与真分式之和. （2）定理：若上面定义中的)(xQ可以被因式分解成 slk qpxxbxaxbxQ)()()()( 2 0 （)04 2 qp 高等数学期末通关讲义高等数学 12 则 s l l k k qpxx QxP qpxx QxP qpxx QxP bx B bx B bx B ax A ax A ax A xQ xP )()( )()()( )()()()( )( 2 11 22 22 2 11 2 21 2 21 例:求下列不定积分 dx xx65 1 2 dx xx)1)(1 ( 1 2 【教学总结】 本部分主要涉及不定积分定义与计算， 要求能掌握不定积分的三大核心计算方 法，第一换元法，第二换元法，分部积分法 高等数学期末通关讲义高等数学 15 例：计算下列定积分 dxxx 2 0 2 cossin dxxa a 0 22 )0(a 3.定积分的分部积分法原理 b a b a b a vduuvudv 例：计算下列定积分 e xdxx 1 ln dxe x 1 0 【教学总结】 本部分涉及了定积分的概念和性质， 要理解定积分的定义为以后的定积分应用 打下基础，会利用牛顿莱布尼茨计算定积分的值. 高等数学期末通关讲义高等数学 13 第六讲第六讲 定积分定积分 【教学目的】理解定积分的定义和性质，掌握定积分的计算方法 【教学重点】定积分的定义和性质 定积分的计算方法 【教学难点】定积分的定义 【内容展开】 一、定积分的概念与性质 1定义：设函数,)(baxf在上有界，在ba,中任意插入若干个分点 bxxxxxa nn 1210 把区间ba,分成n个小区间 , , 12110nn xxxxxx 各个小区间的长度依次为 1122011 , nnn xxxxxxxxx. 在每个小区间 ii xx, 1 上任取一点 iiii xx 1 (),作函数值)( i f与小区间长度 i x的 乘积), 2 , 1()(nixf ii 并作出和 n i ii xfS 1 )(. 记,max 21n xxx,如果不论对a,b怎样分法,也不论在小区间 ii xx, 1 上点 i 怎样取法,只要当1时,和 S 总趋于确定的极限I,这时我们称这个极限I为函数 )(xf在区间a,b上的定积分(简称积分),记作 b a dxxf)(,即 b a dxxf)(=I= n i ii xf 1 0 )(lim , 其中)(xf叫做被积函数, dxxf)(叫做被积表达式,x叫做积分变量,a叫做积分下限,b叫 做积分上限, ba,叫做积分区间. 注意：积分与积分变量无关，即： b a b a b a duufdttfdxxf)()()( 函数可积（定积分存在）的两个充分条件： 高等数学期末通关讲义高等数学 14 定理 1 设,)(baxf在上连续，则)(xf在ba,上可积. 定理 2 设,)(baxf在上有界，且只有有限个间断点，则,)(baxf在上可积. 2定积分的性质 为方便定积分计算及应用，作如下补充规定： （1） 当ba 时，0)( b a dxxf （2） 当ba 时， b a dxxf)( a b dxxf)( 性质 1：函数和（差）的定积分等于它们的定积分的和（差） ，即 dxxgxf b a )()( b a dxxf)( b a dxxg)( 性质 2 ：被积函数的常数因子可以提到积分号外面，即 b a dxxkf)(k b a dxxf)( (k是常数) 性质 3 ：如果将积分区间分成两部分，则在整个区间上的定积分等于这两个区间上定积分 之和，则 b a dxxf)( c a dxxf)( b c dxxf)( 注意：我们规定无论cba,的相对位置如何，总有上述等式成立. 性质 4 ：如果在区间ba, 上，则, 1)(xf b a dxxf)(abdx b a 性质 5 ：如果在区间ba,上，则, 0)(xf 0)( b a dxxf )(ba 推论 1 如果在ba,上，则),()(xgxf b a dxxf)( b a dxxg)( （ba ） 推论 2 b a dxxf)( b