怎样判断一个力是否为保守力

甘 肃广播 电视大 学学报 1 9 9 5年 第 2期 ( 总 第 Z 5期) 怎样判断一个力是否为保守 力 曹 向东许 新 龙 摘要我们 已经接触到许 多保 守力， 但是 还没有一个普遍 的判据 ， 足 说 明一个 给 定 的 力 F ( r ) 是 不 是 一个 保 守 力 。 本文 从 功 的 概 念 出发 ， 讨 论 了 力是 保 守 力 的 充 分 必 要 条件 是 V F=0并 加 以证 明 。 关键 词 ： 保 守力功路径旋度 一 、判据 现 在普遍 流 行的课 本 中 ， 都 提 出了这 样一个 事实 ： F( r ) 要 是保 守力 的话 ， 那 么 ， 当 一质 点 绕一 闭合 路径 ( 如图一所 示) 运动一周 时 ， 力 F( r ) 所作 的功为 广 h 广 | I F d r+ I F d r= ( 一 U。一 U。 )+ ( 一 U。+ U )= 0 J- Jb 路 径 i 路径 2 这就是说 ： 保守 力绕 一 闭合路径所 作的功 必定是零 即 ： F d r 0 - -( 1 ) 反之 力若 对于一 切路径都满 足( 1 ) 式 ( 而不 是 只对 于某 一特 殊路 径才 满足该 式 ) ， 那么 力 一 定 是保守力 。因此 ， 一个 力是保守力 的充分 必要 条件是 ( 1 ) 式 也许有人会说 ， 现在 的问题更复杂 了， 为了继续讨论 ， 我 们需变 换下 问题 的形 式 。 图 1 图 2 图 3 5 5 维普资讯 设 积 分 和 d r 是 围 绕 环 路 ( 如 图 2 所 示 ) 1 进 行 的 ， 如 果 我 们 在 环 路 当 中 加 一 条 支 路 d 把一个积分 为两积分 ， 就有 f D r f 一 一 c z 得 到这个等 式 ， 是 由于线段 c d对 积分 Fd r的贡献恰 好 为 d c 对 积分 。 F d r的贡 献 所抵消 了 。沿正反两个方 向经历同一线段 对所作 总功的净贡献 为零 。 若继续 把原来 的线积 分分割成许 多环绕微 小环路的小 积分 ， 如图 3所 示 ， 当把 环绕 每一 个 小环路 所作 的功加起来 时， 一切 内部 路径 上的贡献均将彼 此抵消 ， 而总的功 仍和沿原 周长所 作 的功相 等。 因此 F d r一 王 F d r J I 在我们考虑 x y平面中一边长为Ax 和Ay的矩形环路( 如图 4所示) 。围绕此环路的线积分为 f 一 r = F r + 一 r + 。F d r + 一 r ” c 积 分 1和积分 3都 含有 x方 向的路径 ， 我 们放在一起考虑 。 积分 1 是 I F d r= f F ( x ， y ) d x ( 5 ) 若x足够 小 ， 则有 J F d r =F ( x ， y ) x ) l_ 一 ： ， 。 J 】 l 同样 ， 对路径 3的积分是 r I I F d r= 一 F ( x， y+ A y) A x J ， ) 我们 有 1 F d r +l F d r =F ( x y ) x 。 x F ( x， y + y ) x= 一 F ( x， y+y) 一F ( x， y ) ； A x ( 6 ) 圈 4 对 力 F ( x， y ) 在 ( x ， y ) 处取 当x 一 0 y 一 0时的极 限 则 ( x ， y + y ) 一 ( x ， y ) = 案 A y 因 而( 6 ) 式可以写 为 J IF 一 一 等 x 同样 ， 对路径 2和 4 做 同样的处理 得 2F a r + | F 一 尝 故 ， 环绕 x y平 面中 ， 小矩形环 环路 的线 积分为 维普资讯 f 川r c鲁一 寺 _ ( ， 同理 ， 用循 环变量的方法 对 y z 平 面 ， 川r 。 r x z平 面 的 小 环 路却 有 = ( 一 尝) y z a y a z = c 尝一 尝心 z a Z a X 围绕任 意取向 的一个 小环路 的线积 分可以分解成 三个 坐标平面 的线积分 。 即 f 岫一 岫一 L + 岫= c 生SX 一 sy x + c 等 尝) y z + ( 尝一 尝) x z 要使Fd r= 0 只要 生)一 0 ：0 一 ：0 ( 8) 即可 即绕任 意小环路 的线积 分就等于零 。 因此 ， 满足 8式 的力就是保守 力 ( 8 ) 的表示还是太 复杂 ， 我 们这里引入矢 量算符 ， 并把 当作一个真正 矢量看待 i 则 有 F =】 1 F i 一 )+j ( 生 一 a y az a z 其 中 F叫做 力 F的旋度 ( 9 ) 式表 明 ， 保 守力的旋度等 于零 即 F一 0 - i 莨 F， F ， 生 )+ ( 即 ( 1 O ) 式是 判断力是 否为保 守力的充分 必要条 件 二 、 证 明 下 面我们再用 斯托 克期定理证 明( 1 0 ) 式 。这个 定理将矢 量函数 的旋度沿 曲线法 向分量的 面积分 与矢量函 数沿包围 曲面 的闭台路径的切 向分 量 的线积 分联系起 来 ， 它 表示 为 ， I ( V X F ) d s= F d r ( 1 1 ) J J 一 57 维普资讯 先证 充分性 ： 由 F的旋 度等于零 得 到 F d r一0 ( 1 2) J 这 充分地保证 了力所作 的功与路 径无关 。 再 证必要性 ： 连接 P 和 P 两 点的 任意两条路径 C 和 C 构 成一条 闭合 曲线 ， 如图 5所示 ， 对这 两条 路 径 ( 1 2 ) 式可 以表 示为 雨对其 中任意一条路径 r F d r + 沿 C h d r 一。 沿 c 2 从而 I F d r I F d r J P： J P1 沿 C】 C2 其 中 C 、 C 是该 区域 内连接 P 和 P 两点的任意两条 曲线 。 这样就 证明 了条件 ( 1 1 ) 是力所作 的功与路径无关 的充要条 件 。 三 、 举 例 下面举 例说 明( 9 ) 式 例 1 、 证 明引力是保守 力 证 对 于两个 质 点间的引力 f F=-G m丁a mb f 一 A- 一 A( x +y j +z t ) 可 ； 尝 一 尝= c 一 c 等式 右边第 一项是 ： 图 5 A z ( x + y Z + z ) 一 A z ( 一 号 ) ( x + y z ) 一 2 y 3 A z y 同样 旦( 掣 ) 一一3 A y z aZ r r 所 以 ( 可 XF) ： 一 3 A + 3 A y z ： 0 用循环置换 坐标的方法 ， 可 以看 出 ，可 F的其 它分 量也是零 ， 因而 可F一0 所 以 ， 引力是保守 力 倒 2 、 设河 中的流水其流速可 用下式表示 5 8 维普资讯 V 一 一 V ( 1 - 丢) j ( 2 a 为 河 宽) ， 假 定 河中 有 一 船， 在 岸 上 如图 所示 用 两 个 绞盘 牵 曳小 船， 使 它围绕 囝中 的路径行驶 ， 假 定小 船的速 度很 慢 ， 故 可认 为流水作 用 于小船 的 力是 F=b v这 里 b是 常量 ， 试证 ， 绞盘 对 小船 的力是 非保守力 证 明小 船 实 际 处 于 力 的 平 衡 当 中 ， 故 绞 盘 对 小船 的 力 是 F一 - b v b( v一 ) a 2 现 在来计 算 F的值 来计算 力是不是保 守力 ， ( F) 一生 一 一0 ( F) 一 一生 一0 c 一 等 一 尝一 h c 一 一 一 等x 故 F不是保守 力 图 6 因而绞 盘拖 着小船绕 闭合 路 径一周 一定要做 功 。 逆 流而上时 ， 所 作的功 F L( x 一0 ) ， 顺 流 而下时 ， 所 作功 -F L( x =a ) 横过 小流 时 ， 力 F不傲功 2 W = b y L- by ( 1一 ) 一 b y 、L ： 例 3 、 一 质点在下 列力场 中运 动 ( 1 )F。 一 2 y z ( 1 6 x y z ) F 一 2 x z ( 1 6 x y z ) F： 一 2 x y( 1 6 x y z ) ( 2 )F。 一 Y + z + 2 ( x y+ y z + z x) F 一 X + z + 2( x y+ y z + z x ) F 一 X。 + Y + 2 ( x y + y z + z x) 那个 力场可 以定义势 能 函数 解 ： 这个题 的关键是 要确定 力是不 是保守力 ， 因为 只有保 守力才能确定势 函数 ， 且满 足 一 一 F t 一一 ： ： ： ：( 1 3 ) 因为给 出了力的分量 ， 故 用伯 ) 式 较 简 ， 先看第 一个 力场 满足 一 一 。 一 ： 0 一 一 ax Oy ay az az ax 故 ， 第 一个 力场是保 守力 且由( 1 3 )