西南交通大学高等数学考试试卷

一、填空题： 1设函数是由所确定，则 2设幂级数的收敛区间为，则幂级数的收敛区间为 3设函数的付氏级数的和函数为，则4设，其中具有连续的二阶偏导数，则 = 5设幂级数在处收敛，而在处发散，则幂级数的收敛域为 6函数关于的幂级数展开式为 7设函数，则 8曲线的切线中，与平面垂直的切线方程是9设是由方程 为常数所确定的二元函数，则 10.旋转抛物面的切平面： ， 平行与已知平面.11微分方程的通解为 ，的通解为 12.曲线在点处的切线方程为 3函数的麦克劳林级数的第5项为，收敛域为.14.已知函数（其中是大于的实数）,有一个极值点， 则， 此时函数 的极大值为 3.15.试写出求解下列条件极值问题的拉格朗日函数：分解已知正数为三个正数之和，使的倒数之和最小16函数的麦克劳林级数的收敛域为，-30二、单项选择题：请将正确结果的字母写在括号内。1二元函数在点处两个偏导数，存在是在该点连续的 【 D 】（A）充分条件 （B）必要条件（C）充分必要条件 （D）既非充分也非必要条件2函数在点处两个偏导数，存在是在该点可微分的 【 B 】（A）充分条件 （B）必要条件（C）充分必要条件 （D）既非充分也非必要条件3设是由方程所确定的隐函数，其中是可微函数，为常数，则必有 【 A 】 （A） （B）（C） （D）4微分方程特解的形式为 【 C 】（A） （B） （C） （D）5若级数收敛，则下列结论正确的是 【 B 】 （A）收敛 （B）收敛（C）收敛 （D）收敛6下列级数中条件收敛的是 【 B 】（A） （B） （C） （D）7曲面在点处的切平面方程为 【 C 】（A） （B） (C) (D) 8 原点是函数的 【 C 】（A）极小值点 （B）极大值点（C）驻点却不是极值点 （D）非驻点9下列方程中是一阶线性微分方程是 【 D 】（A） （B）（C） （D）10设为常数，则级数 【 B 】 （A）绝对收敛 （B）条件收敛 （C）发散 （D）收敛性与有关11.设是函数的全微分，则其中一个为 (A) (B) （C） （D） 12.级数的敛散情况是 【 C 】（A） 条件收敛 （B）绝对收敛 （C） 发散 （D）敛散性不能确定三、计算下列各题： 1.设，其中函数具有二阶连续偏导数，求，解： ，.2. 设，函数可导，且方程确定了函数，求【 解 】 因，方程两端对求偏导，得， 解得，故。 3. 求级数的和。【 解 】考查幂级数，因 ，所以，当，即时，幂级数绝对收敛。在处，原幂级数成为收敛。故，幂级数的收敛域为，在内，设，上式两边对求导，该式两边从0到积分，得 又，因此故 4求原点到曲面的最短距离。【 解 】设点为曲面上任一点，则该点与原点距离的平方和为：，只要求距离的平方和最小即可，约束条件：，设 由 ，解得 故，原点到曲面的最短距离为： 5求幂级数的收敛域及和函数。【 解 】因 所以，当，即时，幂级数绝对收敛。在处，原幂级数成为，收敛。故，幂级数的收敛域为在内，设， 上式两边对求导， 上式两边从0到积分，得 又，因此6求幂级数的收敛域及和函数。 【 解 】因 所以，半径，幂级数在，即在内绝对收敛。在处，原幂级数成为，发散；在处，原幂级数成为，发散。故，幂级数的收敛域为。在内，设，则。在内，再设，则 上式两边对求偏导，得 因此 ， 7求微分方程的通解。【 解 】 原方程可化为 是一阶线性微分方程。通解为 8.一本长方形的书，每页所印文字部分要占150平方厘米，上、下空白处各要留1.5厘米宽，左、右空白处各要留1厘米宽，应用拉格朗日乘数法求每页纸长、宽各为多少时，耗纸最省？解：设每页所印文字部分宽，长为，则每页纸宽为，长为，每页纸面积为，且构造Lagrange函数令，得，；由实际意义知S最小值存在。故当每页纸宽为12cm，长为18cm时耗纸最省.四、证明下列各题： 1设函数具有连续的偏导数，且满足，试证仅为的函数。【 证 】设，则因，所以，故仅为的函数。2设方程确定了隐函数，其中F具有连续的偏导数，试证【 证 】方程两边对求偏导，有解得 ，方程两边对求偏导，有，解得 ，于是 3（1）验证函数满足微分方程；（2）利用（1）的结果求幂级数的和函数。【 证 】（1）因，故 （2）方程是一阶线性微分方程。通解为 又，代入通解，得。于是，幂级数的和函数 4设，均为方程的特解，且常数。求证：为该方程通解。【 证 】因与是原方程所对应的齐次方程 的解又常数，所以与线性无关。于是是齐次方程的通解再由方程解的结构可知方程的通解为即 5设正项数列单调递减，且发散。试判断级数的敛