第九章 拉氏变换.ppt

第九章拉普拉斯变换,9.1拉普拉斯变换的概念,9.2拉氏变换的性质,9.3拉氏逆变换,9.4拉氏变换的应用,引言,Fourier变换的限制:,绝对可积,在整个数轴上有定义,指数衰减函数e-bt(b0),单位阶跃函数u(t),演变为拉氏变换,双边拉氏变换:,傅氏变换:,傅氏变换与拉氏变换的关系,9.1拉普拉斯变换的概念,一、拉氏变换的定义,称F(s)为f(t)的拉普拉斯变换(简称拉氏变换)或象函数，记为F(s)=Lf(t).,又称f(t)为F(s)的拉普拉斯逆变换(简称为拉氏逆变换)或象原函数，即f(t)=L-1F(s),解:由拉氏变换的定义有,例1分别求出单位阶跃函数u(t),符号函数sgnt,以及f(t)=1的拉氏变换,(Res0),(Res0),(Res0),例2求出指数函数f(t)=ekt的拉氏变换,解:,(ResRek),例3求正弦函数f(t)=sinkt(k为实数)的laplace变换,解:根据定义有,同理可得,二、拉氏变换的存在定理,拉氏变换存在定理:设函数f(t)满足下列条件：,2f(t)在t0的任一有限区间上分段连续，间断点的个数是有限个，且都是第一类间断点；,3f(t)是指数级函数(增长速度不超过指数函数),1当t0时，f(t)=0；,c称为f(t)的增长指数,三、关于拉氏变换的积分下限问题,f(t)在t=0附近有界时,f(0)与f(t)的Laplace变换无关,f(t)在t=0包含了脉冲函数，我们就必须区分这个积分区间包括t=0这一点，还是不包括t=0这一点,假如包括，我们把积分下限记为0+；,假如不包括，我们把积分下限记为0-，于是得出了不同的拉氏变换。记,例4求单位脉冲函数d(t)的laplace变换.,显然L+d(t)=0,=1.,例5求函数f(t)=e-btd(t)-be-btu(t)的laplace变换.,解:,解:,Re(s)-,(ResReb),四、常用函数的拉氏变换公式,(1)线性性质,设a、b为常数,9.2拉氏变换的性质,例1:求常数A的Laplace变换.,例2:求函数f(t)=A(1-e-at)的Laplace变换.,解:,解:,例3求正弦函数f(t)=sinkt(k为实数)的laplace变换,解:,例4求余弦函数f(t)=coskt(k为实数)的laplace变换,(2)相似性质(a为正实数),设Lf(t)=F(s),则当a为正实数时,证明：,解:,(3)微分性质,推论：,设Lf(t)=F(s),则有,证明：,例5求函数f(t)=coswt的拉氏变换,例6求函数f(t)=tm的拉氏变换,解:由于,故,根据线性性质有,解:,故,(4)象函数微分性质,一般地，有,例7求函数f(t)=t的拉氏变换,解:由于,故,例8求函数f(t)=te-at的拉氏变换,设Lf(t)=F(s),则,(5)积分性质,解:由于,故,例9求函数f(t)=tsinkt的拉氏变换,解:由于,故,设Lf(t)=F(s),则,推论:,证明：,例10求函数的拉氏变换,解:由拉氏变换积分性质有,由微分性质有,(6)象函数积分性质,若Lf(t)=F(s)，则,证明：,两边对s积分：,交换积分次序:,推论:,例11求函数f(t)=sint/t的拉氏变换,解:由于,则由象函数积分性质有,=arccots,令s=0得,(7)延迟性质,若t0时,则对任一非负实数t0有,证明：,解:由于,则由延迟性质有,而由相似性质有,(8)位移性质（设a为常数）,例12求函数f(t)=te-at的拉氏变换,解:由于,则由位移性质有,例13求函数f(t)=e-atsinwt的拉氏变换,解:由于,则由位移性质有,同理,2.3拉氏逆变换,由拉氏变换的定义有,由傅氏逆变换的定义有,两边同乘以ebt,1.反演积分公式,积分路线是平行于虚轴的直线Res=,反演积分公式,一、求解常微分方程(组),2.4拉氏变换的应用,象原函数(方程的解),象函数,微分方程,象函数的代数方程,取Laplace变换,取Laplace逆变换,解代数方程,例19求解微分方程,解:设Lx(t)=X(s),方程两边取拉氏变换,解此方程得:,求拉氏逆变换得:,解:,解此方程组得:,取拉氏逆变换得x(t)=y(t