微积分6习题答案

一、填空题 1设，则 2，则 3 2 4若，则 5 6由两条抛物线，及所围成的图形的面积是 7已知，则 8函数在处的切线方程是 9设在积分区间上连续，则 10 11 12设，比较与的大小： 13 0 二、单项选择题 1设在上成立，则 在上必连续，但不一定可导 在上必可导 在上必连续，但不一定可导 在上必可导 2 3设是定义在上的连续函数，则 必收敛 若，则收敛 当存在时，则收敛 当且仅当及均存在时，就有收敛 6导数 为偶函数，且，则 前面的结论都不对 为偶函数，则为 奇函数 偶函数 非奇非偶函数 奇偶性不能确定 10设函数在区间上连续，且，则积分上限函数在区间上 单调增加 单调减少 有增有减 不增不减 11函数在区间上有界是在区间上可积的 充分条件 必要条件 充要条件 无关条件 12设是定义在上的连续函数，则 必收敛 若，则收敛 当存在时，则收敛 当且仅当及均存在时，就有收敛 三、求下列积分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 四、求下列各题中平面图形的面积及旋转体体积 1曲线与直线及轴所围成的图形。 2曲线与直线及轴所围成的图形。 3曲线与直线及轴所围成的图形。 4曲线与抛物线及轴所围成的图形。 5设函数曲线，试求： （答案）； （1）曲线上处的切线方程； （2）曲线与切线以及轴所围成的图形的 面积。 （3）该图形绕轴旋转所得的旋转体的体积。 （4）该图形绕轴旋转所得的旋转体的体积。 6求由抛物线与其上点处的切线及轴所围成的平面图形的面积。 切线方程：， 7求由曲线及所围成的图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积。 8已知曲线（）与曲线在处公共切点，求： （1）常数的值及切点； （2）两曲线与轴围成的面积； （3）该图形绕轴旋转所得的旋转体的体积。 9求曲线和它的极小值点的切线所围区域的面积。 切线方程：， 10设曲线段（）和直线段（），记它们与轴所围成的平面图形的面积为, 与直线所围成的平面图形的面积为, （1）求面积；（2）取何值时，可使面积达到最小？ 11求，所围图形绕轴旋转而成的旋转体体积。 解 12抛物线，通过，两点，且，确定的值使抛物线与轴所围图形的面积最 小。 解 代点得,代点,得， 所围图形面积为 令,得唯一驻点，由最小值存在故其为最小值点，即，时，其 面积最小。 13求由，所围平面图形的面积，并求此图形绕轴旋转所成旋转体的体 积。 y=sinxcosx y=1 x y O 解 如图示，所围图形面积为： 旋转体的体积为： 14求曲线在区间内一条切线，使得该切线与直线，和曲线所围成的图形面 积最小。 x x0 2 6 M O y 解：如图，设切点为（）， ，切线方程：， ， 所以所求图形的面积为： 令，得唯一驻点。所以当时，切线与直线，和曲线所围成的图形 面积最小。于是所求的切线方程 五、综合分析题 1确定的值，使 2已知，求。 3 4设为内的连续函数，且在处可导，并有，求 解 因为在处可导且，所以 则 5求，（） 解 6求定积分，其中为正整数。 解 因为当为正整数且时， 所以 7设连续函数满足，求 8求在区间的最大值与最小值。 ， 9设，求的值。 10已知，求 （两边求导得； 1） 11设，求 解 当时，； 当时， 当时， 综上所述， 12设，求 13利用定积分计算极限： 解 原极限 14设在上连续，且，求。 解 两边对求导，得 令， 六、证明题 1设函数在闭区间上连续，证明： 证： 2设，证明： 证：因为，所以在上连续。 于是 3设