数列极限定义及部分习题

2.1 数列极限数列极限 2.1 2.1 数列极限数列极限 一、一、 数列的概念数列的概念 二、二、 数列极限的定义数列极限的定义 一、一、 数列的概念数列的概念 设设yn=f (n)是一个以自然数集为定义域的函是一个以自然数集为定义域的函 数数,将其函数值按自变量大小顺序排成一列，将其函数值按自变量大小顺序排成一列，y1, y2,yn, , 称为一个数列称为一个数列. yn称为数列的第称为数列的第n 项，也称为通项项，也称为通项,数列也可表示为数列也可表示为yn或或yn=f (n) 1.1.数列的定义数列的定义 例例. ., 1 1 . 1 n yn , )1( . 2 n n , 2 1)1( . 3 n n y , . 4 2 n , 1 , 3 4 , 2 3 , 2 n n , )1( , 3 1 , 2 1 , 1 n n , 2 1)1( , 1 , 0 , 1 , 0 n , 9 , 4 , 1 2 n 注意：注意： 1.数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列.可看作一可看作一 动点在数轴上依次取动点在数轴上依次取 ., 21 n xxx 1 x 2 x 3 x 4 x n x :. 2的函数的函数可看作自变量为正整数可看作自变量为正整数数列数列nyn .),( Nnnfyn ., , 3 , 2 , 1 n y n 数列数列对应的函数值就排列成对应的函数值就排列成时时 等一切正整数等一切正整数依次取依次取当自变量当自变量 二、二、 数列极限的定义数列极限的定义 1. 例解例解 1 x 数列 n yn 1 1 从直观上看 从直观上看,这个数列当这个数列当n越来越大时越来越大时, 对对 应的项应的项yn会越来越接近于会越来越接近于1,或者说或者说“当当n趋向于趋向于 无穷大时无穷大时, 数列数列xn趋近于趋近于1”.如何用精确的如何用精确的, 量量 化的数学语言来刻划这一事实化的数学语言来刻划这一事实? 2 y1 2 3 y2 3 4 y3 4 5 y4yn 注意到注意到,实数实数a, b的接近程度由的接近程度由| a b |确定确定. | a b |越小越小, 则则a, b越接近越接近.因此因此, 要说明要说明“ 当当n越来越大时越来越大时, yn越来越接近于越来越接近于1”就只须说明就只须说明“ 当当n越来越大时越来越大时, | yn 1 |会越来越接近于会越来越接近于0”.而要说明而要说明“| yn 1 |越来越越来越 接近于接近于0”则只须说明则只须说明“ 当当n充分大时充分大时,| yn 1 |能够小能够小 于任意给定的于任意给定的, 无论多么小的正数无论多么小的正数 ” 就行了就行了,也就也就 是说是说无论你给一个多么小的正数无论你给一个多么小的正数 , 当当n充分大时充分大时, | yn 1 | 比比 还小还小,由于由于 是任意的是任意的,从而就说明了从而就说明了|yn 1| 会越来越接近于会越来越接近于0. 事实上事实上, n yn 1 |1| , 给给 1000 1 , 很小很小, 1000 11 |1| n yn, 只须只须n1000 即可即可, 数列中数列中,从第从第1001项开始项开始,以后各项都有以后各项都有 1000 1 |1| n y 要使要使 也即在这个也即在这个 又给又给 10000 1 , 则从第则从第10001项开始项开始, 以后各项都有以后各项都有 10000 1 |1| n y 一般地一般地, 任给任给 0, 不论多么小不论多么小, n yn 1 |1| 只须只须 1 n . 因此因此, 从第从第 1 1 项开始项开始, 以后各项都有以后各项都有 |1| n y 因为因为 是任意的是任意的, 这就说明了当这就说明了当n越来越大时越来越大时, yn会越来越接近于会越来越接近于1. 要使要使 若若 0, , 正整数正整数N, , 使得当使得当nN时时, , 都有都有| |yn n A|N 时时, 都有都有|yn A|0, 正整数N, 使得当nN 时, 都有|ynA|N时时, 有有| yn A |N 时, 都有|ynA|,.limAyn n 则记则记 3.3.几何意义几何意义: : y2y1 A- yN+5 A yN+1 A+ y3 y)( yN 由于由于| yn A | A yn A yn (A , A + )=U(A, ).因此因此, 所谓所谓yn以以A为极限为极限, 就是对任就是对任 何以何以A为心为心, 以任意小的正数以任意小的正数 为半径的为半径的 邻域邻域, 总能找到一个总能找到一个N, 从第从第N+1项开始项开始, 以后各项都以后各项都 落在邻域落在邻域 U(A, ) 内内,而只有有限项落在而只有有限项落在U(A, ) 外部外部.看图看图. 例例1.1. 设设q是满足是满足 |q | 0. 设设 0 |q |N时时, 有有 |qn 0| ) 因因 | yn A | = |qn 0| = |qn | = |q | n , 要使要使| yn a | , 只须只须 |q | n 即可即可. 4. 4. 例解例解 即即 n ln |q | N 时时, 有有 , |ln ln |ln ln qq n 从而有从而有 . 0 lim n n q故故