数学分析第十三章二重积分的计算练习题解答

1 20092009 大专大专 A A 班班数学分析第数学分析第 1313 章二重积分的计算练习章二重积分的计算练习题题解答解答 一一、求下列二重积分求下列二重积分： 1.1. 22 ()d d R xyx y , , 其中其中R：11x ，11y . . 解解： 1 3 111 22222 111 1 ()d dd()dd 3 R y xyx yxxyyx yx 1 3 1 2 1 0 28 (2)d4() 3333 xx xx . 2. 2. (32 )d d R xyx y ，其中其中R是由坐标轴与是由坐标轴与2xy所围成的闭区域所围成的闭区域. . 解解: : 如图，积分区域可以表示为x型区域: 02yx,02x.于是有 (32 )d d R xyx y 2222 2 0000 d(32 )d3d xx xxyyxyyx 2 2 0 (422)dxxx 2 3 2 0 220 (4) 33 x xx. 3.3. cos()d d R xxyx y , ,其中其中R是是以以(0,0) (,0) (,)为顶点的三角形为顶点的三角形区域区域. . 解解: : 如图，积分区域可以表示为x型区域: 0yx,0 x.于是有 cos()d d R xxyx y 0 000 dcos()dsin()d x x x xxyyxxyx 00 1 (sin2sin )dd(coscos2 ) 2 xxxxxxx 0 0 1113 (coscos2 )(coscos2 )d( 1)0 2222 xxxxxx . 4. 4. d d R xy x y ，其中其中R是由是由 2 yx与与yx所围成的闭区域所围成的闭区域. . 解解: : 如图.积分区域可以表示为x型区域: 2 xyx,01x. 于是有d d R xy x y 2 2 3 11 2 00 2 ddd 3 x x x x x xy yx yx 7 1 4 4 0 2 ()d 3 xxx 1 11 5 4 0 2 416 () 3 11555 xx. x y yx ox x y 2 2 2yx ox 2 5.5. (+ )d d R xyx y , , 其中其中R：1xy. . 解解：如图，积分区域为两个x型区域 1 R与 2 R之并， 其中 1 R：11xyx , 10 x ， 1 R 2 R 2 R：11xyx , 01x 于是有 12 (+ )d d(+ )d d( + )d d RRR xyx yx yx yx yx y 0111 1101 d()dd()d xx xx xyxyxxyy 0111 22 1110 11 ()d()d 22 xx xx yxxyxx 01 22 10 112 1 (21) d1 (21) d 223 xxxx 6. 6. 22 ()d d R xyxx y ，其中其中R是由直线是由直线2y , ,yx及及2yx所围成的闭区域所围成的闭区域. . 解解: : 如图，积分区域可以表示为y型区域: 2 y xy,02y. 于是有 22 ()d d R xyxx y 32 22 222 00 2 2 d()dd 32 y y y y xx yxyxxy xy 2 32 0 19313 ()d 2486 yyy 7 7. . d d 1 R x x y y ，其中其中R是由是由 2 1yx, ,2yx及及0 x 所围成的闭区域所围成的闭区域. . 解解： 如图， 积分区域可以表示为x型区域: 2 21xyx,01x. 于是有d d 1 R x x y y 2 2 111 1 2 020 1 ddln(1)d 1 x x x x x xyxyx y 11 2 00 ln(2)dln(21)dxxxxxx 91 ln3ln2 82 x y 1 2yx ox 2 2 1yx 1 3 8. 8. sin d d R x x y x ，其中其中R是由直线是由直线yx, , 2 x y 及及2x 所围成的闭区域所围成的闭区域. . 解解：将二重积分化为先y后x的累次积分 积分区域可表示为x型区域: 2 x yx,02x（如图） 故 sin d d R x x y x 22 00 2 sin11 ddsin d(1 cos2) 22 x x x xyx x x 9. 9. 2 sind d R yx y ，其中其中R是由直线是由直线yx, ,1y 及及0 x 所围成的闭区域所围成的闭区域. . 解解：将二重积分化为先x后y的累次积分 积分区域可表示为y型区域: 0 xy,01y（如图） 故 2 sind d R yx y 11 22 000 1 sinddsind(1 cos1) 2 y yyxyyy 10. 10. 2 d d y R ex y ，其中其中R是由直线是由直线1yx, ,2y 及及1x 所围成的闭区域所围成的闭区域. . 解解：将二重积分化为先x后y的累次积分 积分区域可表示为y型区域: 11xy ,02y（如图） 故 2 d d y R ex y 22 212 4 010 1 ddd(1) 2 y yy eyxyeye 二二、将二重积分将二重积分( , )d d R f x yx y 化为不同次序的累次积分化为不同次序的累次积分，其中区域其中区域R分别是分别是： 1.1.由直线由直线yx及抛物线及抛物线 2 4yx所围成所围成. . 解解：积积分区域如图分区域如图 (1) (1) 将二重积分化为先将二重积分化为先x后后y的累次积分的累次积分 积分区域为y型区域: 2 4 y xy,04y,于是有 ( , )d d R f x yx y 2 4 0 4 d( , )d y y yf x yx (2) (2) 将二重积分化为先将二重积分化为先y后后x的累次积分的累次积分 积分区域为x型区域: 2xyx,04x,于是有 ( , )d d R f x yx y 42 0 d( , )d x x xf x yy x y 2 2 yx ox 2 x y x y 1 1 yx o y x y 2 3 1yx o 1 y 4 2.2.由由x轴及半圆周轴及半圆周 222 xyr(0)y 所围成所围成. . 解解：积分区域如图，有 ( , )d d R f x yx y 22 0 d( , )d rrx r xf x yy 22 22 0 d( , )d rry ry yf x yx 3.3.环形闭区域环形闭区域: : 22 14xy. . 解解：积分区域如图可分成 4 个小的x型区域(或y型区域),于是有 ( , )d d R f x yx y 22 22 1411 1114 d( , )dd( , )d xx xx xf x yyxf x yy 22 22 1424 2414 d( , )dd( , )d xx xx xf x yyxf x yy . 或 ( , )d d R f x yx y 22 22 1411 1114 d( , )dd( , )d yy yy yf x yxyf x yx 22 22 1424 2414 d( , )dd( , )d yy yy yf x yxyf x yx 4.4.由双曲线由双曲线2xy , ,抛物线抛物线 2 1yx 及直线及直线2x 所围成所围成. . 解解：积分区域如图 表示为x型区域: 2 2 1yx x ,12x, 有 ( , )d d R f x yx y 2 21 2 1 d( , )d x x xf x yy 表示为两个y型区域: 1 R： 2 2x y ,12y； 2 R：12yx ,25y, 有( , )d d R f x yx y 2252 2 121 d( , )dd( , )d y y yf x yxyf x yx 5.5.由圆由圆 22 2xyx, , 22 4xyx及直线及直线yx, ,0y 所围成所围成. . 解：积分区域如图 可以表示为两个x型区域: 1 R： 2 2xxyx,12x； 2 R： 2 04yxx,24x, x y r 222 xyr o r x y 1 2xy o 5 2 1yx 2 2 1 x y 2 yx o 1 22 4xyx 4 2 1 22 2xyx 5 有 ( , )d d R f x yx y 2 2 244 1220 d( , )dd( , )d xx x x x xf x yyxf x yy 可以表示为两个y型区域: 1 R： 22 1124yxy,01y； 2 R： 2 24yxy, 12y, 有( , )d d R f x yx y 22 2 124224 0111 d( , )dd( , )d yy yy yf x yxyf x yx 三三、改变下列累次积分的积分次序改变下列累次积分的积分次序： 1.1. 1 00 d( , )d y yf x yx . . 解解: : 所给累次积分为先x后y的积分,积分区域为: 0 xy,01y,(如图). 改变积分次序,积分区域可以表示为: 1xy,01x,于是有 1 00 d( , )d y yf x yx ( , )d d D f x yx y 11 0 d( , )d x xf x yy . 2.2. 2 22 0 d( , )d y y yf x yx . . 解解: : 所给累次积分为先x后y的积分,积分区域为: 2 2yxy,02y,(如图). 改变积分次序,积分区域可以表示为: 2 x yx,04x,于是有 2 22 0 d( , )d y y yf x yx 4 0 2 d( , )d x x xf x yy . 3.3. ln 10 d( , )d ex xf x yy . . 解解: : 所给累次积分为先y后x的积分,积分区域为: 0lnyx,1xe,(如图). x y 2 yx o 1 22 4xyx 4 2 1 22 2xyx 6 改变积分次序,积分区域可以表示为: y exe,01y,于是有 ln 10 d( , )d ex xf x yy 1 0 d( , )d y e e yf x yx . 4.4. sin 0sin 2 d( , )d x x xf x yy . . 解解: : 所给累次积分为先y后x的积分,积分区域为: sinsin 2 x yx,0 x,(如图). 改变积分次序, 积分区域为两个y型区域 1 D与 2 D之并， 其中 1 D：arcsinarcsinyxy, 01y， 2 D：2arcsin yx, 10y ， 于是有 sin 0sin 2 d( , )d x x xf x yy 1arcsin0 0arcsin12arcsin d( , )dd( , )d y yy yf x yxyf x yx . 5.5. 122 0010 d( , )dd( , )d xx xf x yyxf x yy . . 解解: : 所给累次积分为两个先y后x的积分之和,故积分区域为两个x型 区域 1 D与 2 D之并，其中 1 D：0yx, 01x； 2 D：02yx, 12x 改变积分次序,积分区域可以表示为:2yxy,01y,于是有 122 0010 d( , )dd( , )d xx xf x yyxf x yy 12 0 d( , )d y y yf x yx . 6.6. 2 111 0 d( , )d x x xf x yy . . 解解: : 积分区域如图,有 原式 22 122 0010 d( , )dd( , )d yy y yf x yxyf x yx . 7 7.7. 1233 0010 d( , )dd( , )d yy yf x yxyf x yx . . 解解: : 积分区域如图. 原式 23 0 2 d( , )d x x xf x yy . 8.8. 1 4(4) 2 04 d( , )d y y yf x yx . . 解解: : 积分区域如图. 原式 2 04 224 d( , )d x x xf x yy 9.9. 22 0424 22 20 22 d( , )dd( , )d xx xx xf x yyxf x yy . . 解解: : 积分区域如图. 原式 22 22 1221424 0402 214 d( , )dd( ,