转化思想在初中数学解题中的应用与实践

转载谈“转化思想”在初中数学解题中的应用(2011-05-07 15:04:02)转载标签： 转载 原文地址：谈“转化思想”在初中数学解题中的应用作者：诚至石开 布卢姆在教育目标分类学明确指出：数学转化思想是“把问题元素从一种形式向另一种形式转化的能力”。如果学生在掌握双基的同时，接受了数学思想，学会了数学方法，就能激发学习数学兴趣，提高分析问题和解决问题的能力，并为以后的学习数学打下坚实的基础。数学解题的本质就是转化，即把生疏问题转化为熟悉问题，把抽象问题转化为具体问题，把复杂问题转化为简单问题，把一般问题转化为特殊问题，把高次问题转化为低次问题；把未知条件转化为已知条件，把一个综合问题转化为几个基本问题；因此学生学会数学转化，它包含了数学特有的数、式、形的相互转换，也包含了心理达标的转换。转化的目的是不断发现问题、分析问题，最终解决问题。下面结合自己多年的教学实践，谈谈在数学解题中常见的基本转化类型和转化方法。一、运用数与形之间的“转化”，化抽象为直观。初中数学是以“数”与“形”这两个基本概念为基础而展开的。初中数学新课程标准（以下简称新课标）在学习内容中要求：“能运用图形形象地描述问题，利用直观来进行思考。”如运用平面直角坐标系来解决有关函数方面的问题，可以通过图形将复杂或抽象的数量关系，直观形象地翻译出来。探索出一条合理而乘势的解题途径；达到解决学生心中存在的困惑，培养学生的数学解题能力目的。例：(2009 广东肇庆中考)如图,已知一次函数y1=x+m(m为常数)的图象与反比例函数y2= (k0)的图象相交于点A(1,3)。(1)求这两个函数的解析式及其图象的另一个交B的坐标。（2）观察图象，写出使函数值y1y2的自变量的取值范围。分析：(1)本题要求函数解析式，只要把点A(1,3)代入函数关系式（点转化为数），即解得m=2，k=3。(2)要求两图象的另一交点B，只要解两个函数联立成的方程组，解得的另一组解（数转化为点），即得点B(-3,-1)，此解题就是将数转化为形过程（使学生直接感受到抽象的方程组解，就是在平面直角坐标系中两个图象的交点的坐标）。（3）要写出函数值y1y2的自变量的取值范围（若转化为解分式不等式，则超出初中数学知识范围），本题可通过把形转化为数来解决；即通过观察图象可知：“所谓函数值y1y2，即在平面直角坐标系中就是直线在双曲线上方部分，此时自变量x的取值范围为：3x0或x1。”二、把生疏“转化”为熟悉，缩小接触新知识的陌生度新课标要求：“数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。”学生学习数学的实质是：将生疏问题转化熟悉问题的过程，教师要深刻挖掘新教学内容的量变因素，将学生要掌握的新知识，加工到使学生通过努力能够接受的水平上来，缩小接触新内容时的陌生度，避免因研究对象的变化而产生的心理障碍，这样做可达到事半功倍的效果。例如：在学习解一元一次方程后，学习解二元一次方程组和解一元二次方程，师生可共同探究得到：解二元一次方程组，就是通过加减消元或代入消元的方法将二元一次转化为一元一次方程，该转化称为“消元”；解一元二次方程就是，就是通过因式分解将一元二次方程转化为两个一元一次方程，该转化称为“降次”。学生只要理解、掌握解一元一次方程和因式分解方法，解二元一次方程组和解一元二次方程就容易理解和掌握了。三、把综合问题“转化”为基础问题，变复杂的问题为简单。数学解题的过程是分析问题和解决问题的过程，对于较难（繁）的问题，通过分析将此转化成几个难度与学生的思维水平同步的小问题，再根据这几个小问题之间的相互联系，以局部知识的掌握为整体服务，从而找到解题的捷径。例：（2010江苏南京中考压轴题）如图，正方形ABCD的边长是2，M是AD的中点，点E从点A出发，沿AB运动到点B停止，连接EM并延长交射线CD于点F，过M作EF的垂线交射线BC于点G，连结EG、FG。（1）设AE= 时，EGF的面积为 ，求 关于 的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；（2）P是MG的中点，请直接写出点P的运动路线的长。分析：本题通过以下几步转化：（1）把动点E转化为定点，一般学生见到动点就无从下手，找不到解题思路。只有将动点转化为定点，学生解题才能找到感觉，如何将动点转化为定点，就是我们常讲的“动中取静”。当点E在线段AB上运动，只可能存在三种情况，点E与点重合，点E与点B重合，点E在线段AB上，通过观察分析不管点E在什么位置，EGF的面积 = EFMG；（2）把线段EF转化用含x的代数式来表示；由M为AD中点，易证RtEAMRtFDM,，得到EM=FM，在RtEAM中，由勾股定理得EM= ，即EF=2 ；（3）把线段MG转化用含x的代数式来表示；作MNBC，构造RtMNGRtEAM，由相似三角形对应边成比例，得到MG=2 ；综合上述三次转化即得到EGF的面积为 = 2 2 =2x2+2。由第一步的“动中取静”的转化可知：点E由点A移动到B，所以自变量x的取值范围0x2；只要在图中简单的画出点E分别在于A、B两点重合时，线段MG的中点P的位置，很容易得到线段MG的中点P运动的路线长为2。四、把实际问题“转化”为数学模型，体会数学与现实生活的密切联系。 新课标在基本理念中指出“数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具,能够帮助人们处理数据、进行计算、推理和证明，数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象。”重视数学知识的应用，加强数学与实际的联系，是新课标强调的重点之一。在解决实际问题时，要重在分析，把实际问题转化为数学模型，培养学生应用数学知识解决实际问题的能力。例：（2010山东青岛市中考题）某市政府大力扶持大学生创业李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y=10x+500（1）设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？（成本进价销售量） 分析：（1）要解决“销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？”问题，也就是把实际问题转化二次函数的极值问题：即每月利润=每件产品利润销售产品件数，得：w = (x20)y=（x20）(10x+500)，通过整理转化为二次函数w =10x2+700x10000，再由x=，解得：x=35，即当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润。（2）要解决“每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？”问题,即转化为列一元二次方程解应用题问题，由题意得：（x20）(10x+500)=2000，解这个方程得：x1 = 30，x2 = 40，所以要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元或40元。（3）要解决售价、获利的在一定范围内的所需成本最低这一实际问题，则需将本题转化一次函数、二次函数有关性质来完成。二次函数w =10x2+700x10000，a=100，抛物线开口向下，当30x40时，w2000；又销售单价不得高于32元，当30x32时，w2000；设成本为P（元），由题意得：P=20（10x+500）=200x+10000，由一次函数性质k=2000时，P随x的增大而减小，30x32，x = 32时，P最小3600， 要实现销售单价不得高于32元，每月获得的利润不低