机械工程测试技术基础课后习题答案

华北科技学院毕业设计（论文） 第 1 页 共 79 页 目录 第一章习题2 参考答案7 典型例题10 第二章习题22 参考答案25 典型例题26 第三章习题40 参考答案43 典型例题44 第四章习题52 参考答案57 典型例题58 第五章习题66 参考答案70 典型例题71 华北科技学院毕业设计（论文） 第 2 页 共 79 页 第一章习题 一、 选择题 1.描述周期信号的数学工具是（） 。 .A.相关函数B.傅氏级数C. 傅氏变换D.拉氏变换 2. 傅氏级数中的各项系数是表示各谐波分量的（） 。 A.相位B.周期C.振幅D.频率 3.复杂的信号的周期频谱是（） 。 A离散的B.连续的C.函数D.sinc 函数 4.如果一个信号的频谱是离散的。则该信号的频率成分是（） 。 A.有限的B.无限的C.可能是有限的，也可能是无限的 5.下列函数表达式中， （）是周期信号。 A. 5cos10 ( ) 0 x t = 当t0 当t0 B.( )5sin2010cos10)x tttt=+ ( + C.( )20cos20() at x tett = 0 时为余弦函数，t0 无定义。属非周期信号； （4）是非周期信号，因为两分量的频率比为，非有理数，两分量找不到共同的重复 1 2 周期。但是该类信号仍具有离散频谱的特点（在频域中，该信号在和 0 = 0 2= 处分别有两条仆线）故称为准周期信号。 例例 2.2.粗略绘出下列各函数的波形（注意阶跃信号特性） （1）（2） 1( ) (3)f tut= + 2( ) ( 23)f tut=+ （3） 3( ) ( 23)( 23)f tutut=+ 解 ： （1）是由阶跃信号经反折得，然后延时得，其图 1( ) f t( )u t()ut (3)(3)utut= + 形如下(a)所示。 （2）因为。其波形如下图(b)所示。 （这里应注意 2 3 ( )( 23) 2() 2 f tutut=+= ）(2 )( )utu t= （3）是两个阶跃函数的叠加，在时相互抵消，结果只剩下了一个窗函数。 3( ) f t 3 2 t 见下图(c)所示。 华北科技学院毕业设计（论文） 第 11 页 共 79 页 例例 3.3. 粗略绘出下列各函数的波形（注意它们的区别） （1）；（2） 10 ( )sin()( )f tttu t= 20 ( )sin()f tt u tt= （3） 200 ( )sin()()f tttu tt= 解： （1）具有延时的正弦函数与单位阶跃函数的乘积。其波形如下图(a)所示。 （2）正弦函数与具有延时的单位阶跃函数的乘积。其波形如下图(b)所示。 （3）具有延时的正弦信号与延时相同时间的阶跃信号的乘积。其波形如下图(c)所示。 例例 4.4.从示波器光屏中测得正弦波图形的“起点”坐标为（0，-1） ，振幅为2，周期为 4 ，求该正弦波的表达式。 解：已知幅值 X=2，频率，而在 t=0 时，x=-1，则将上述参数代入一 0 22 0.5 4T = 般表达式 00 ( )sin()x tXt=+ 得 0 12sin(0.5)t =+ 0 30o= 所以 ( )2sin(0.530 )x tt= 华北科技学院毕业设计（论文） 第 12 页 共 79 页 例例 5 5.设有一组合复杂信号，由频率分别为 724Hz，44 Hz，500 Hz，600 Hz 的同相正弦 波叠加而成，求该信号的周期。 解：合成信号的频率是各组成信号频率的最大公约数则： 2 44, 724, 500, 600 2 22 362 250 300 11 181 125 150 而 11 0.25( ) 4 Ts f = 所以该信号的周期为 0.25s。 例例 6 6利用函数的抽样性质，求下列表示式的函数值： （1）（2） 31 ( )( ); t f tet =( )2 (44) (1);f tutt= （3）（4）( )( ); t d f tet dt = 00 ( )() ();f tf tttt dt = （5）（6） 2 ( )(4);f ttdt = ( )(1 cos ) (); 2 f tttdt = 解：函数是一类应用广泛的重要函数。在卷积运算、傅立叶变换及测试系统分析中， 利用它可以简化许多重要结论的导出。本例题的目的在于熟悉并正确应用函数的性 质。 （1）由于( )( )f ttft =(0) ( 311 ( )( )( ) t f tetet = 则 311 ( )( )( ) t f tetet = （2） ( )2 (44) (1) 2 (0)(1)(1) f tutt utt = =i 这里应注意： 11 (0) (0 )(0 ) 22 uuu + =+= 00 0 ( )()() (0)()(0) f tf tttt dt ftt dtf = = = （3） ( )( ) ( )( ) t d f tet dt d tt dt = = 华北科技学院毕业设计（论文） 第 13 页 共 79 页 （4） 00 0 ( )()() (0)()(0) f tf tttt dt ftt dtf = = = （5） 2 ( )(4) (2)(2)2 f ttdt ttdt = = + + = 这里应注意信号的含义， 由于表示 t=0 时有一脉冲， 而在时为零。 2 (4)t( )t0t 所以就表示当 t=2 时各有一脉冲，即。 2 (4)t 2 (4)(2)(2)ttt=+ （6） ( )(1 cos ) () 2 )1 2 f tttdt tdt = =( = 例例 7.7.已知一连续时间信号x（t）如下图(a)所示，试概括的画出信号的波形图。(2) 3 t x 解 ： 是 x（t）经反折，尺度变换并延时后的结果。不过三种信号运算的次序可以任(2) 3 t x 华北科技学院毕业设计（论文） 第 14 页 共 79 页 意编排，因此该类题目有多种解法。以下介绍其中的两种求解过程。 方法一信号 x（t）经反折尺度变换延时 （1）反折：将 x（t）反折后得 x（-t） ，其波形如图(b)所示。 （2）尺度变换：将 x（-t）的波形进行时域扩展的。其 波形如图(c)所() 3 t x 示。 （3）延时：将中的时间 t 延时 6，得其波形如图(d)所示。() 3 t x(6) 3 t xt 方法二信号 x（t）经尺度变换反折延时。 （1）尺度变换：将 x（t）在时域中扩展，得。其波形如图(e)所示。( ) 3 t x （2）反折：将反折，得，其波形如图(f)所示。( ) 3 t x() 3 t x （3）延时：将中的时间 t 延时 6，即将原波形向右平移 6，得。() 3 t x(6) 3 t xt 同样可得变换后的信号。其波形如图(g)所示。(2) 3 t x 例例 8.8.已知和的波形图如下图(a),(b)所示，试计算与的卷积积分。( )e t( )h t( )e t( )h t ( )( )( ) ()e th teh td = 解 ： （1）反折：将与的自变量 t 用替换。然后将函数以纵坐标为轴线进( )e t( )h t( )h 行反折，得到与对称的函数 。见图(c)所示。( )h （2）平移：将函数沿轴正方向平移时间 t，得函数。 （注意，这里()h t()h t 的 t是参变量） ，见图(d)所示。 （3）相乘并取积分：将连续地沿轴平移。对于不同的 t 的取值范围，确定积()h t 分上、下限，并分段计算积分结果。 以下进行分段计算： 华北科技学院毕业设计（论文） 第 15 页 共 79 页 （a）当时，的位置如图(e)所示。这时与没有重合部分 。 1 2 t ()h t()h t 所以( )( )0e th t= （b）时，的位置如图(f)所示。这时与的图形重叠区间为 1 1 2 t ()h t( )e 至 t。把它作为卷积积分的上、下限，得： 1 2 2 1 2 11 ( )( )1() 24416 t tt e th ttd =+ （c）时（即，并且时） ，则的位置如图(g)所示，这时的图 3 1 2 t 1 2 2 t 形重叠区间为（，1） ，把它作为卷积积分的上、下限，得： 1 2 1 2 133 ( )( )1() 2416 t e th ttdt = （d）时， （即，同时） ，由图(h)可知积分区间为（t-2，1）。 3 3 2 t 21t 得 2 1 2 13 ( )( )1() 2424 t tt e th ttd = + （e）时，与无重叠部分，见图(i)所示，这时3t ()h t( )e ( )( )0e th t= 归纳以上结果得 2 2 1 0 2 11 1 44162 333 ( )( )1 4162 33 4242 0 t tt t t e th tt tt t t + = + 当 当 当 解：方法一、按傅氏变换的定义求解。因为 x（t）是偶函数，傅氏变换为： 华北科技学院毕业设计（论文） 第 21 页 共 79 页 2 0 22 00 222 00 0 2 ( )( ) cos2 2 2()cos2 2 4 cos2cos2 2 41 sin2sin2sin2 24 41 (cos2 (2) X fx tftdt A tftdt A tftdttftdt A ftftdtft ff A ft f = = = = = 2 2 1) 2 41 (12sin1) (2) sin () 2 A f f c = = 2 x（t）的幅值频谱如图(b)所示。 方法二、利用卷积定理求解。 三角脉冲 x（t）可以看成两个等宽矩形脉冲和的卷积。如下图所示。( ) 1 x t( ) 2 xt 因为 ( ) ( ) 1 2 sin () 22 2 sin () 22 f Xfc Af Xfc = = 根据时域两函数的卷积对应频域函数的乘积： ()()() () 12 12 2 ( )( )( ) sin() 22 XfXfXf x txtxt Af Xfc = = = 所以( ) 2 sin() 22 Af Xfc = 华北科技学院毕业设计（论文） 第 22 页 共 79 页 第二章习题 一、选择题 1.测试装置传递函数 H（s）的分母与（）有关。 A.输入量 x（t）B.输入点的位置C.装置的结构 2.非线形度是表示定度曲线（）的程度。 A.接近真值B.偏离其拟合直线C.正反行程的不重合 3.测试装置的频响函数 H（j）是装置动态特性在（）中的描述。 A幅值域B.时域C.频率域D.复数域 4.用常系数微分方程描述的系统称为（）系统。 A.相似B.物理C.力学D.线形 5.下列微分方程中（）是线形系统的数学模型。 A.B.C. 2 2 5 d ydydx tyx dtdtdt +=+ 2 2 d ydx y dtdt += 2 2 105 d ydy yx dtdt =+ 6.线形系统的叠加原理表明（） 。 A.加于线形系统的各个输入量所产生的响应过程互不影响 B.系统的输出响应频率等于输入激励的频率 C.一定倍数的原信号作用于系统所产生的响应，等于原信号的响应乘以该倍数 7.测试装置能检测输入信号的最小变化能力，称为（） 。 A.精度B.灵敏度C.精密度D.分辨率 8.一般来说，测试系统的灵敏度越高，其测量范围（） 。 A.越宽B. 越窄C.不变 9.测试过程中，量值随时间而变化的量称为（） 。 A.准静态量B.随机变量C.动态量 10.线形装置的灵敏度是（） 。 A.随机变量B.常数C.时间的线形函数 11.若测试系统由两个环节串联而成，且环节的传递函数分别为，则该系 12 ( ),( )H s Hs 统总的传递函数为（） 。若两个环节并联时，则总的传递函数为（） 。 A.B. 12 ( )( )H sHs+ 12 ( )( )H sHs 华北科技学院毕业设计（论文） 第 23 页 共 79 页 C.D. 12 ( )( )H sHs 12 ( )/( )H sHs 12.输出信号与输入信号的相位差随频率变化的关系就是（） 。 A.幅频特性B.相频特性C.传递函数D.频率响应函数 13.时间常数为的一阶装置，输入频率为的正弦信号，则其输出与输入间的相 1 = 位差是（） 。 A.-45B-90C-180 14.测试装置的脉冲响应函数与它的频率响应函数间的关系是（） 。 A.卷积B.傅氏变换对C.拉氏变换对D.微分 15.对不变线形系统的频率响应函数等于（） 。 A. 系统的正弦输出与正弦输入比 B. 系统稳态正弦输出的傅氏变换与正弦输入的傅氏变换之比 C. 用虚指数函数表示系统稳态正弦输出与正弦输入之比 16.对某二阶系统输入周期信号，则其输出信号将保持（） 。 000 ( )sin()x tAt=+ A.幅值不变，频率、相位改变 B.相位不变，幅值、频率改变 C.频率不变，幅值、相位改变 17.二阶装置，用相频特性中（）=-90时所对应的频率作为系统的固有频率 n 的估计值，则值与系统阻尼频率的大小（） 。 A.有关B.无关C.略有关系D.有很大关系 18.二阶系统的阻尼率越大，则其对阶越输入的时的响应曲线超调量（） 。 A.越大B.越小C.不存在D.无关 19.二阶装置引入合适阻尼的目的是（） 。 A.是系统不发生共振 B.使得读数稳定 C.获得较好的幅频、相频特性 20.不失真测试条件中，要求幅频特性为（） ，而相频特性为（） 。 A.线形B.常数C.是频率的函数 二、填空题 华北科技学院毕业设计（论文） 第 24 页 共 79 页 1.一个理想的测试装置应具有单站值的、确定的。 2.测试装置的特性可分为特性和特性。 3.测试装置的静态特性指标有、和。 4.某位移传感器测量的最小位移为 0.01mm， 最大位移为 1mm， 其动态线形范围是dB。 5.描述测试装置动态特性的数学模型有、等。 6.测试装置的结构参数是不随时间而变化的系统，则称为系统。若其输入、输出 呈线形关系时，则称为系统。 7.线形系统中的两个最重要的特性是指和。 8.测试装置在稳态下，其输出信号的变化量与其输入信号的变化量之比值，称为yx ，如果它们之间的量纲一致，则又可称为。 9.测试装置的输出信号拉氏变换与输入信号拉氏变换之比称为装置的。 10.测试装置对单位脉冲函数（t）的响应，称为记为 h（t） ，h（t）的傅氏变 换就是装置的。 11.满足测试装置不失真测试的频域条件是和。 12.为了求取测试装置本身的动态特性，常用的实验方法是和。 13.测试装置的动态特性在时域中用描述，在频域中用描述。 14.二阶系统的主要特征参数有、和。 15.已知输入信号x（t）=30cos（30t+30） ，这时一阶装置的 A（）=0.87， =-21.7，则该装置的稳态输出表达式是：y（t）= 。( ) 16.影响一阶装置动态特性参数是，原则上希望它。 17.二阶系统的工作频率范围是。 18.输入x（t） ，输出y（t） ，装置的脉冲响应函数h（t） ，它们三者之间的关系是。 19.测试装置的频率响应函数为 H（j） ，则H（j）表示的是，H（j） 表示的是，它们都是的函数。 20.信号 x（t）=，输入=0.5 的一阶装置，则该装置的稳态输出幅值 A= 6sin2 3t ，相位滞后=。 21.一个时间常数=5s 的温度计，插入一个以 15/min 速度线形降温的烘箱内，经半 分钟后取出，温度计指示值为 90，这时，烘箱内的实际温度应为。 华北科技学院毕业设计（论文） 第 25 页 共 79 页 参考答案 一、选择题 1.C2.B3.C4.D5.B6.A7.D8.B9.C10.B11.B ，A12.B13.A 14.B15.B16.C17.B18.B19.C20.B；A 二、填空题 1.输出输入关系 2.静态特性；动态特性 3.灵敏度；非线形度；回程误差 4.40dB 5.微分方程；传递函数；频率响应函数 6.定常（时不变） ；线形 7.线形叠加性；频率保持性 8.灵敏度；放大倍数 9.传递函数 10.脉冲响应函数；频率响应函数 11.幅频特性为常数；相频特性为线形 12.阶越响应法；频率响应法 13.微分方程；频率响应函数 14.静态灵敏度；固有频率；阻尼率 15. 26.1cos（30t+8.3） 16.时间常数；越小越好 17.0.5 n 18.；卷积关系( )( )( )y tx th t= 19.输出与输入的幅值比（幅频特性） ；输出与输入的相位差（相频特性） ；频率 20.3;60A= 21.88.75 华北科技学院毕业设计（论文） 第 26 页 共 79 页 典型例题 例例 1.1. 现有指针式电流计 4 只，其精度等级和量程分别为 2.5 级 100、2.5 级 200 、1.5 级 100、1.5 级 1mA，被测电流为 90时，用上述 4 只表测量，分别求出 可能产生的最大相对误差（即标称相对误差） ，并说明为什么精度等级高的仪表测量误 差不一定小，仪表的量程应如何选择。 解： % 100% = 可能产生的最大绝对误差量程 精度等级 标称相对误差 仪表示值仪表示值 4 块表的相对误差分别为 1 2 3 4 100 2.5% 100%2.87% 90 200 2.5% 100%5.56% 90 100 1.5% 100%1.67% 90 1000 1.5% 100%16.67% 90 = = = = 仪表量程选择应使仪表示值在满足量程的 1/3 以上。 例例 2.2.测试系统分别由环节的串联、并联和反馈回路构成，如下图所示，求图示各系统的 总灵敏度。 （为各环节的灵敏度） 123 ,S SS 解： （1）系统由串联环节组成时（图 a） 123 ySSSx= 总灵敏度为 123 y SSSS x = 华北科技学院毕业设计（论文） 第 27 页 共 79 页 （2）系统由并联环节组成时（图 b） 123 yS xS xS x=+ 总灵敏度为 123 y SSSS x =+ （3）系统由并反馈回路组成时（图 c） 21 ()xySSy+ = 总灵敏度为 1 12 1 Sy S xS S = + 例例 3.3.求下图所示的 R-L-C 电路， 当开环闭合后电流i（t） 的变化规律。 已知图中：E=100V， L=1H，R=100，C=0.01f。 解：根据基尔霍夫定理E=0 ( )1 ( )( ) ( ) 100100 ( ) 10000( ) di t ELR i ti t dt dtC di t i ti t dt dt =+ =+ 拉氏变换后得： 2 22 100( ) ( ) 100 ( ) 10000 100 ( ) 10010000 2 350 3 3(50)(50 3) I S SI SI S SS I S SS S =+ = + = + 拉氏反变换后得： 华北科技学院毕业设计（论文） 第 28 页 共 79 页 50 2 3 ( )sin50 3 3 t i tet = 例例 4.4.求下图所示的 PID 控制器的传递函数。 解： 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 ( )/ 1 1 ( ) i f R C s Z sR C s R C s ZsR C s = + =+ 根据运放原理 2 02 1 1 1 1 12 1212 1212 1 ( ) ( ) ( ) 1 ( )( ) 1 (1)(1) 1 1 ()() 1 1 f ii pD I R Zs UsC s H s U sZ s R C s R C s ss TS s Ts kT s T s + = = + + = + = + + = + 式中：。 1 2 11122212112 12 ;, D RCR C TRC TT =+= + 例例 5 5. 求周 期 信号 x（t ） =0.5cos10t+0.2cos （100t-45 ） ，通 过 传递函 数 为 的装置后得到的稳态响应。 1 ( ) 0.0051 H s s = + 华北科技学院毕业设计（论文） 第 29 页 共 79 页 解：设 12 ( )( )( )x tx tx t=+ 式中， 0 12 ( )0.5cos10 ,( )0.2cos(10045 )x tt x tt= 当系统有输入时，则输出为，且 1( ) x t 1( ) y t 111 2 11 0.5 ( )cos(10) ()1 y ttarctg = + 式中， 11 0.005,10= 0 1( ) 0.499cos(102.86 )y tt= 同样可求得当输入为时，有输出为，且 2( ) x t 2( ) y t 00 2( ) 0.17cos(1004526.5 )y tt= 此装置对输入信号 x（t）具有线形叠加性。系统输出的稳态响应为： 12 00 ( )( )( ) 0.499cos(102.86 )0.17cos(10071.5 ) y ty ty t tt =+ =+ 例例 6.6.用一个具有一阶动态特性的测量仪表（=0.35s） ，测量阶跃信号，输入由 25 单位 跳变到 240 单位，求当 t=0.35s，0.7s，2s 时的仪表示值分别为多少？ 解：一阶装置的单位阶跃输入时的响应为 ( )( )( ) 111 1 1 ( )1 t Y sH sX s sss s y te = 1 = + + = 当输入由跳变至单位时，输出响应表达式为 1 25T= 2 240T= 121 0.35 ( )()(1) ) t t y tTTT e =+ = 25+(24025)(1 所以，t=0.35s 时，仪表示值为；t=0.7s 时，仪表示值为；t=2s 1( ) 160.9y t= 2( ) 211y t= 时，仪表示值为。 3( ) 239.3y t= 例例 7.7.图示 RC 电路中，已知 C=0.01F，若的幅值为 100，频率为 10kHz，并且输出端 x e 的相位滞后30，求此时的 R 应为何值，输出电压幅值为多少？ g e x e 华北科技学院毕业设计（论文） 第 30 页 共 79 页 解：该 RC 电路为一阶系统，并且=RC，则有 2 1 ( ) 1 1 () 1 1 () ()1 ( ) H s s H j j H j arctg = + = + = + = 当滞后于时，则有 g e x e 0 64 3 30 3 33 33 918( ) 0.01 10210 tg R C = = 由于 0 0 ( ) Y A Z = 输出的幅值为: g e 2842 100 86.6( ) ()1(918 10210 )1 x g e eV = + 例例 8.8.用图示装置去测周期为 1s，2s，5s 的正弦信号，问幅值误差是多少？（R=350K， C=1F） 华北科技学院毕业设计（论文） 第 31 页 共 79 页 解：根据基尔霍夫定律 因为 1 ( )( )( ) i u ti t dtRi t C =+ 并且 ( ) ( )( ), ( ) o o u t u tRi t i t R = 所以有 ( )1 ( )( ) o io u t u tu tdt CR =+ 两边拉氏变换后得 ( ) ( )( ) ( )1 ( ) 1 ( )1 1 o io o i Us U sUs RCs UsRCs H s U sRCs RCs =+ = + + 这是一个高通滤波器，当时 36 350 10100.35RC = 2 0.35 ( ) 0.351 0.35 () 0.351 0.35 ()( ) (0.35 )1 s H s s j H j j H jA = + = + = + 幅值相对误差：11( ) 100% ooo oo XYY rA XX = = 式中输入信号幅值； o X 输出信号幅值。 o Y 华北科技学院毕业设计（论文） 第 32 页 共 79 页 当 T=2s 时， 111 1 222 , ()0.91,9%fAr T = 当 T=1s 时， 222 ,()0.74,26%Ar= 当 T=5s 时， 333 2 ,()0.4,60% 5 Ar= 例例 9.9.试求传递函数为和的俩每个个环节串联后组成的系统的 1.5 3.50.5s+ 2 22 41 1.4 n nn ss + 总灵敏度。 解：求当 S=0 时的两传递函数之值 2 22 0 0 411.5 3.0;41 3.50.51.4 n snn s sss = = = + 两环节串联后系统的总灵敏度为 S=3.041=123 例例 10.10.用一个一阶系统作 100Hz 正弦信号的测量，如果要求限制振幅误差在 5以内， 则时间常数应取多少？若用具有该时间常数的同一系统作 50Hz 的正弦信号测试，问此 时振幅误差和相角差是多少？ 解： （1）振幅相对误差限制在 5%以内，则 2 2 2 1()5% 1 ()0.95 ()1 1 ()10.108 0.95 oo o XY rA Y A = = + = 当221 0 02 0 0f= 则 4 2 0.108 5.23 10 ( )523() (200 ) ss = （2）振幅的相当误差为 90 2 1()100% 1.3% ) rA 4 = 1 =1= 1+(100 52.310 且相角差为 华北科技学院毕业设计（论文） 第 33 页 共 79 页 14 ( )(1005.23 10 )9 22 o yx tg = = 例例 11.11.设一力传感器可作为二阶凝结处理，已知传感器的固有频率，阻尼800 n fHz= 比=0.14 时，用其测量正弦变化的外力，频率 f=400Hz，求振幅比 A（）及（） 是多少？若=0.7 时，则 A（）及 （）将改变为何值？ 解： （1）按题意，当时，即400 2 ;800 2 n = = ,且=0.14 则有0.5 n = 2 222 2222 1 (400) 1 () 4() 1 1.31 (1 0.5 )4 0.140.5 nn A = + = + 2 2 (400)ar10.57 1 () o n n ctg = = 即此时的幅值比为 A（）=1.31，相位移为-10.57。 （2）当=0.7 时可解得 A（400）=0.975；（400）=-43.03 即幅值比为：A（400）=0.975；相位移为-43.03。 例例 12.12.设有单自由度振动系统，其活动质量块的质量为 4.4N，弹簧刚度为N/m， 4 52.5 10 阻尼比为=0.068，求此系统的粘性阻尼系数、固有频率、有阻尼固有频率以及质量块 受周期力激励下其位移共振频率、速度共振频率。 解： （1）粘性阻尼系数 c 4 4 4 22 0.06852.5 1066.0 (/) 9 8 cmkN s m = （2）固有阻尼频率, nn f 4 3 52.5 10 1.08 10 (/ ) 4.4/9.8 1.08 172() 22 n n n k rad s m fHz 3 = 10 = 华北科技学院毕业设计（论文） 第 34 页 共 79 页 （3）有阻尼固有频率 d f 22 11721 0.068171.6() dn ffHz= （4）位移共振频率, rr f 2323 121.08 10120.0681.075 10 (/ ) rn rad s = = （5）速度共振频率 rv f ()172 rvn ffHz= 例例 13.13.如图所示，一个可视为二阶系统的装置输入一个单位阶跃函数后，测得其响应中 产生了数值为 0.15 的第一个超调量峰值。同时测得其振荡周期为 6.28ms。已知该装置 的静态增益为 3，试求该装置的传递函数和该装置在无阻尼固有频率处的频率响应。 (t) 解：二阶系统在欠阻尼下工作时，其单位阶跃响应为： 2 2 2 1 ( )1sin (1) 1 nt un e ytta rctg =+ 此式表明其瞬态响应是以的角频率作衰减振荡，按求极值的通用方法可 2 1 dn = 求得各振荡峰值所对应的时间 ；将代入上式，可得超调量峰 2 0, p dd t = d t = 值 M 和阻尼比的关系 华北科技学院毕业设计（论文） 第 35 页 共 79 页 2 1 1 lnM = + 根据题意，装置静态增益为 3，故其单位阶跃的最大过冲量 0.15 0.05 3 M= 所以 2 1 0.69 1 ln0.05 = + 由于阻尼振荡周期6.28 d Tms= 2 2 1 21000(/ ) 1 1000 1382(/ ) 1 0.69 d d dn n rad s T rad s = = = = 该装置的传递函数为 2 22 ( ) 2 n nn H sk ss = + 式中，。0.69,1382,3 n k= = 频率响应函数为 2 1 () 1 ()2 nn H jk j = + 在时的频率响应： n = 1 () 2 n Hk j = 式中=0.69，k=3。 例例 14.14. 动 圈 磁 电 式 绝 对 振 动 速 度 传 感 器 的 力 学 模 型 如 下 图 所 示 。 设 ，质量块相对于壳体的运动为，壳体感受的绝对振动为, 2 o k mk m = r x （即为被测振动） 。试求（1）写出质量块相对于传感器壳体的运动微分方程，求( ) o x t 华北科技学院毕业设计（论文） 第 36 页 共 79 页 出其传递函数及幅频特性和相频特性的表达式。 （2）设动圈线圈的有效工 ( ) ( ) ( ) r o x s H s x s = 作长度为 ，气隙磁感应强度为 B，求输出电影e（t）与振动速度的幅频特性与l( ) oxt i 相频特性。 解： （1）列写运动微分方程。 质量块 m 的绝对运动为 m x 0 0 mr mr xxx xxx =+ =+ iiiiii 根据F=ma 则有 2 2 m r r d x xkxm dt = i 得 0rr r mxxkxmx+= iiiii 上式取拉式变换后得 22 0 2 2 0 ()( )( ) ( ) ( ) ( ) r r k ssx ss x s mm x ss H s k x s ss mm += = + 华北科技学院毕业设计（论文） 第 37 页 共 79 页 设：则可得传递函数形式为 2 0 , 2 k mm k = = 2 22 00 ( ) 2 s H s ss = + 将代入上式得频率特性为sj= 2 2 0 22 2 0 00 () () 2 1 ()2 o H j j j = + + 幅频 2 0 2 22 00 () ( ) 1 () 2 () A = + 相频 0 2 0 2 ( ) 1 () arctg = （2）由于( )( ) re tBl vB l x t= = i 所以 00 ( )( ) ( )( ) re tx t Bl x tx t = i ii 当壳体感受的振动为正弦函数时。 00 ( )sinx tZ