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第四章相似矩阵 147 习题四习题四 1.1.判断下列命题是否正确并说明理由判断下列命题是否正确并说明理由. . (1)一个特征值必至少对应一个线性无关的特征向量; 正确,因为若 0 是方阵A的一个特征值,即 0 0EA,则方程组 0 ()EA Xo必 有无穷多非零解,非零解即为A对应于特征值 0 的特征向量,而单独一个非零解向量线性无关, 即一个特征值必至少对应一个线性无关的特征向量; (2) (对于同一个矩阵来说)一个特征向量只能属于一个特征值; 正确, 若 是矩阵A对应于特征值 12 和的特征向量,即 1 A , 2 A ,且 12 ,从而 12 , 即 12 () O . 因 12, 故, O 这与特征向量是非零向 量矛盾,因此一个特征向量只能属于一个特征值. 注意对于不同的矩阵来说,一个特征向量可能属于多个特征值(见(8) ) ; (3)特征向量可以为零; 错误,由定义,特征向量都是非零向量; (4)在复数域内,n阶方阵A的特征值有且仅有n个; 正确, 因为n阶方阵A的特征方程0EA为关于 的一元n次方程, 由代数基本定理, 在复数域内,n次方程有且仅有n个根,即n阶方阵A的特征值有且仅有n个 (5)若n阶方阵A不可逆,则必有零特征值; 正确,因为若n阶方阵()A ijn n a 的n个特征值为 12 , n ,则 12 A n .现 在 12 0 n A,则 12 , n 中至少有一个为 0; (6)设 0 是方阵A的一个特征值,( ) Arr,则 0 ()EA Xo有r个线性无关的解向 量作为A对应于特征值 0 得特征向量; 错误,设A为n阶方阵, 0 ()EA Xo的基础解系所含向量的个数 0 nrEA 即为 A对应于特征值 0 的线性无关特征向量的个数,显然 0 ( )nrrr EAA; (7)设 0 是方阵A的一个特征值,则 0 k是矩阵EAk的特征值(k是常数) ; 正确,若 0 是方阵A的一个特征值,即 00 A,从而 000000 kk+k+k+ EAEA. (8)设向量是矩阵A的特征向量,则也是 32 24AAE的特征向量. 正确,因 A,则 32323232 24242424 AAEAAE, 第四章相似矩阵 148 即也是 32 24AAE的对应于特征值 32 24的特征向量. 3.设n阶方阵A满足等式 2 AE,求A的特征值. 解 1由题意,A, O. 则 2 ()()AA A A, 而 2 EAAA , 即 22 1 O,因 O,故 2 101 . 解 2设 是n阶方阵A的特征值,由 1 10 ( ) mm mm faaa AAAEO 1 10 ( )0 mm mm gaaa . 因 2 AE即 2 0AE,知 2 101 . 4.已知三阶方阵A的三个特征值为 123 1,2,3, 分别求矩阵 3 A, 1 (2 )A及 * A的 特征值. 解由题意,A, O. (1) 3222 ()()()A A AAA ()()A AA 223 ()()A , 即 3 为矩阵 3 A的特征值,从而 3 A的三个特征值为1, 8, 27. (2)用 1 (2 )A左乘以A两端,有 111 22 A ,即 11 1111 2222 A A, 因此 1 2 为矩阵 1 2 A的特征值,从而 1 2 A的三个特征值为1 2, 1 4, 1 6; (3)因为 *1 AA A,用 * A左乘以A两端,有 1 A AA ,即 111* AA A AA , 因此 1 A为矩阵 * A的特征值,而 123 6A ,从而 * A的三个特征值为6, 3, 2. 5.已知三阶方阵A的三个特征值为 123 1,1,2 ,求 (1) 2 32BAAE的特征值;(2) 2 32BAAE的行列式的值. 解设 是n阶方阵A的特征值,由 1 10 ( ) mm mm faaa AAAE 1 10 ( ) mm mm gaaa . 则 2 32BAAE的特征值为 2 32, 对应于A的三个特征值 123 1,1,2, 2 32BAAE的三个特征值为 123 6,0,12,且 123 6 0 120 B . 6.设向量(1,1,1)T是矩阵 11 201 122 a A对应于特征值 0 的特征向量,求 0 和a. 第四章相似矩阵 149 解 由A,即 0 1111 20111 12211 a ,得 0 00 0 1 1, 2 1,3,1. 122. a a 7.证明: (1)设 12 , 是矩阵的两个不同的特征值,若 1 是对应于 1 的特征向量,则 1 一定不是 对应于 2 的特征向量; 证 (反证法)若 1 是矩阵A对应于特征值 12 和的特征向量,即 11 1 A, 121 A, 且 12 ,从而 1 121 , 即 121 () O. 因 12, 故 1 , O这与特征向量是非 零向量矛盾,因此一个特征向量只能属于一个特征值. (2)设 12 , 分别为对应于特征值 12 , 的特征向量,则 12 不是的特征向量. 证(反证法)假设 12 是A的属于特征值的特征向量,则 121212 ()().A 又 11 1 A , 222 A , 12121 122 ()AAA , 故 1122 ()(). O 由于 1 与 2 属于不同的特征值,故线性无关,从而在上式中, 12 0,即 12 . 这与 12 矛盾,故 12 不是A的特征向量. 注一般地,若 1 与 2 是矩阵A的属于两个不同的特征值 12 , 的特征向量,则当 12 0,0kk时, 1 122 kk 不是A的特征向量. 若 1 与 2 均是矩阵A的属于同一个特征值的特征向量, 则当 1 122 kk 非零时, 仍是A属 于特征值的特征向量,即同一特征值所对应的特征向量的线性组合仍是该特征值所对应的特征 向量. 9.设,A B为n阶矩阵,证明AB与BA有相同的特征值. 证一只需证明AB与BA有相同的特征多项式. 事实上,因A可逆,故 1 111 11 ()() (). EABAAEAB AEAB AAE AAAB A EA AA A BAEBA 证二 令为BA的一个特征值, 是BA的属于的特征向量,则BA .两 第四章相似矩阵 150 端左乘以A,有AB AA . 下证.AO 事实上, 若AO ,因A可逆, 则AO 两端左乘以 1 A,有 , O 这与特征向量的定义矛盾. 于是为AB的特征值,且A 是AB的属于的 特征向量. 同理可证,AB的特征值也是BA的特征值,故AB与BA有相同的特征值. 证三A可逆时,有 1( ) , BAAAB A即AB与BA为相似矩阵. 相似矩阵有相同 的特征值,故AB与BA的特征值相同. 8.判断下列命题是否正确并说明理由. (1)矩阵 1 1 2 A与 1 2 1 B相似; 正确. 因为 2323 ,rrcc AB,即 1 2323 P APB, 由相似的定义,,A B相似; (2)矩阵 1 1 2 A与 120 010 002 B相似; 错误. 矩阵A为对角阵,则与A相似的矩阵不但能够对角化,而且要能相似对角化为A. 显然矩阵A及B的特征值都是 1 1(二重) , 2 2. 可见,若B能够对角化,则得到的 矩阵必是A,因此只需判断B是否可以对角化. 对于B,考虑二重特征值 1 1,因 1 33212r EB, 所以B不能对角化. 注以下两种情形,n阶矩阵A可对角化: (1)n阶矩阵A有n个互异的特征值,A可对角化; (2)若A有k重特征值,当方程组EA XO的基础解系含有k个线性无关的解 向量,即nrk EA或rnkEA时,A可对角化. (3)若AB,则AB; 第四章相似矩阵 151 正确. 因AB,故存在可逆矩阵P,使 1 P APB,于是 111 P APBPA PBP P ABAB. (4)n阶方阵A,B有相同的特征值,则A,B相似; 错误. 对于矩阵 1 1 2 A与 120 010 002 B,A,B有相同的特征值 1 1(二重) , 2 2.但B不能对角化,故A,B不相似(详见本题之(2) ). (5)n阶方阵A,B有相同的特征值,且都可以对角化,则A,B相似; 正确. 若矩阵A及B的特征值相同,且都可以对角化,则他们的相似对角矩阵必相同或相 似. 由相似的对称与传递性,A,B必相似. (6)n阶方阵A,B相似,则kEA与kEB相似; 正确. 因AB,故存在可逆矩阵P,使 1 P APB,于是对任意常数k,恒有 11 (),kkk PEA PEP APEB 故kEA与kEB相似. 例 44 若矩阵A与B相似,则下列说法正确的是(). ( )A;EAEB( )B A与B均相似于同一对角矩阵; ( )C( )( )rrAB;()D对于相同的特征值,A,B有相同的特征向量. 解相似矩阵 A,B有相同的特征多项式,即EAEB. 但EA不一 定等于.EB若EAEB则必有,AB显然不对,排除( ).A 当矩阵A与矩阵B相似时,不能保证它们可相似对角化. 即使 A,B都可以对角 化, 但化成的对角矩阵一般不唯一, 即A,B可以分别相似于不同的对角矩阵. 排除( )B. A与矩阵B相似,即存在可逆矩阵P,使得 1 P APB . 因P, 1 P可逆,则 P, 1 P可以写成一系列初等矩阵的乘积,则 1 P APB等价于将矩阵A经过一系列 第四章相似矩阵 152 的初等变换化为B. 因为初等变换不改变矩阵的秩,故( )C为正确答案. 至于()D,A与矩阵B相似,即存在可逆矩阵P,使得 1 P APB. 若 A, 则 11 P AP,而 1111 P AP AP PB P,即 11 B PP ,可见 对于相同的特征值,A,B的特征向量一般不相同.故()D不正确. 例 69 设n阶方阵A相似于对角矩阵,则下列各项正确的是(). ( )A A必为可逆矩阵;( )B A有n个不同的特征值; ( )C A必为实对称矩阵;()D A必有n个线性无关的特征向量. 解例如, 123 000 000 A, 2 (1)0EA,A的特征值为 0(二重) 和 1. 对于二重特征值 0 来说,303 12r EA,故A可对角化, 但0A,A有重特征值,A不是实对称矩阵, 因此( )A、( )B、( )C都不成立.故 正确答案为()D. 事实上,()D为矩阵可对角化的充要条件. 10.已知矩阵 420 , 201 a b AB且AB,求, a b的值及A,B的特征值. 解由A与B相似,则,A B有相同的特征值 12 , 且 12 422AB ba =; 12 42 1 b, 从而3,5. ba 因B的特征值为2, 1, 故A的特征值也为2, 1. 第四章相似矩阵 153 11.矩阵 200 001 01x A与 200 00 001 y B相似,求, x y的值. 解由A与B相似,则,A B有相同的特征值 123 , 且 123 22ABy =; 12 221y x, 从而0,1.xy 因B的特征值为2, 1, 故A的特征值也为2, 1. 12.已知二阶方阵A的特征值为1, 2,它们对应的特征向量分别为 T (1,2)和 T (1,3),求A及 k A. 解解 由 11 1 A , 222 A ,有 121 122 ,A ,故 1112 2326 A ,从而 1 1211123111 2623262164 A . 因A的特征值为1, 2,则A必可对角化,且存在可逆矩阵P,使 1 1 2 P AP , 其中 12 11 , 23 P ,故 1 1 1 1 1 11 01 131 101 13 21 2 . 2 30 22 3210 22 36 3 22 3 2 APP= k kk kk k kk 13.A,B为n阶方阵,A与B相似,证明 (1) T A与 T B相似; (2) m A与 m B相似(m为正整数) ; 第四章相似矩阵 154 (3)3AE与3BE相似. 证 因AB,故存在可逆矩阵P,使 1 P APB,于是 (1) 1 11 11 P APBP APBPAPB TT TTTTTTTT 即存在可逆矩阵 1 P T ,使 1 11 PAPB TTTT ,即 T A与 T B相似; (2) 11 P APBP A PB m mmm , 即存在可逆矩阵P, 使 1 P A PB mm , 即 m A与 m B相似(m为正整数) ; ( 3 ) 11 333PAPP APB EEE,即 存 在 可 逆 矩 阵P, 使 1 33PAPB EE,即3AE与3BE相似. 综合练习题四综合练习题四 1.填空题 (1)设A是3阶矩阵, 1 A的特征值是1,2,3,则 * A的特征值是. 解因为 *1 AA A, 1 A为矩阵 * A 的特征值. 因 1 A的特征值是1,2,3,则A的 特征值是 111 1 ,2 ,3 ,且 1111 1236 A,故 * A的特征值是 1 1 1 , 6 3 2 . (2) 设A为n阶矩阵,( )rnA, 则A必有特征值, 且该特征值的重数至少是. 解 因( )rnA,即100 n AEA,故A必有特征值 0. 由(0)( ),rrnEAA可知(0)EA XO的基础解系有(0)nrEA个线性无关 的解. 故特征值 0 的重数至少为( )nrA. 注 若 0 是特征方程0EA的m重根,则方程组 0 ()EA XO的基础解系至多含 第四章相似矩阵 155 有m个线性无关的解向量. (3)设A为n阶可逆矩阵,是A的特征值,则 * 2 () AE必有特征值. 解因 *1 AA A,则 22 2 * 211 ()EE AEA AAA,故 * 2 () AE的特 征值为 2 2 1 1 A= 2 1 A . (4)已知2是 022 22 226 x A的特征值,则x . 解因 222222 22220401240 228006 Exxx A,故4x . (5)设A是3阶矩阵,且各行元素之和都是5,则A必有特征向量. 解 3 3 (), ij a A因A的每行元素之和均为 5,即 111213 212223 313233 5, 5, 5. aaa aaa aaa 即 111213 212223 313233 11 15 1 11 aaa aaa aaa ,亦即 11 15 1 11 A, 从而,5 是A的特征值,A必有特征向量 T (1,1,1) . (6)已知四阶矩阵A与B相似,A的特征值为 1 1 1 1 , 2 3 4 5 则 1 BE. 解由,AB知B的特征值是1 2 1 3 1 4,1 5,, ,于是 1 B的特征值是2,3,4,5,从而 1 BE 的特征值是1,2,3,4.故 1 1 2 3 424.BE (7)设A为n阶矩阵,5A,则 * BAA的特征值是,特征向量是. 解 * 5A EEBAA, 则55 n EBEE,则 * BAA的特征值是 5,而555BE , 故任意n维非零向量都是B的特征向量. 第四章相似矩阵 156 (8)已知 110141 430 ,130 102002 AB,且A的特征值为2和1(二重) ,则B的 特征值为. 解 T BA, 因为 TT T EBEAEAEAEA,则B的特 征值与A的特征值相同,皆为2和1(二重). (9)设,A B为n阶矩阵,且0A,则AB与BA相似.这是因为存在可逆矩阵 P,使得 1 P ABPBA. 解 由 1 P ABPBA,两端左乘以P得ABPPBA, 显然PA. (10)设n阶方阵() ij aA且( )1rA,则A的特征值为. 解 一般地,n阶矩阵A的特征多项式的展开式为 1 1 ( 1)( 1) n nnkn kn iik i aS EAA.(*) 其中 k S是A的全体k阶主子式的和.特别地,当3n 时,有 11132223111232 112233 313332332122 () aaaaaa aaa aaaaaa EAA. 对于式(*) ,若( )1rA,有 1 1 n nn ii i a EA,此时,A的n个特征值为 123 1 ,0 n iin i a . 2.选择题 (1)若n阶矩阵A的任意一行n个元素的和都是a,则A的一个特征值为. )(aa;)b(a;)(c0;)(d 1 a 第四章相似矩阵 157 解选)(a见 1(5). (2)设A为n阶方阵, 12 , 分别为对应于特征值 12 , 的特征向量,则. )(a当 12 时, 12 , 一定成比例;)b(当 12 时, 12 , 一定不成比例; )(c当 12 时, 12 , 一定成比例;)(d当 12 时, 12 , 一定不成比例 解由定理定理 6 6矩阵矩阵的不同的特征值所对应的特征向量是线性无关的的不同的特征值所对应的特征向量是线性无关的. .故故当 12 时, 12 , 一定不成比例,选)(d. (3)设A为3阶不可逆方阵, 12 , 是AXo的基础解系, 3 是属于特征值1的特征 向量,下列向量中,不是A的特征向量的是. )(a 12 3;)b( 12 ;)(c 13 ;)(d 3 2. 解A不可逆,则0A ,则A必有特征值 0.因0EA XAXo , 则 12 , 是特 征值 0 对应的特征向量. 因同一特征值对应的特征向量的线性组合仍是特征向量,则)(a,)b(, )(d都是A的特征向量。故选)(c. (4) 0 是对应于特征值 0 的特征向量,则 0 不是的特征向量. )(a 2 ()AE;)b(2 A;)(c T A;)(d * A. 解 000, A则 2222 0000000 ()221(1)AEAAE, 000 22,A *1 000, A A 即)(a,)b(,)(d正确。 而 T A T 000 , A TT 故 选)(c (5)下列矩阵中,不能相似对角化的是. )(a 121 243 135 ;)b( 000 000 123 ;)(c 000 010 023 ;)(d 000 100 021 . 解记( ),( ),( ),( )abcd中的矩阵分别为 1234 ,.A A A A 对于)(a,矩阵为实对称阵,可对角化; 关于)b(,对于二重特征值0,只对应两个特征向量,所以 2 A可对角化; 关于)(c, 3 A有 3 个互异的特征值0,1,3,所以 3 A可对角化; 第四章相似矩阵 158 因此选)(d. 注(1)n阶矩阵A有n个互异的特征值,A可对角化; (2)若A有k重特征值,当方程组EA XO的基础解系含有k个线性无关的 解向量时,A可对角化; (3)实对称阵可对角化。 (6)设A为n阶非零方阵, m AO,下列命题中不正确的是. )(a 的特征值只有零;)b(不能对角化; )(c 21m EAAA必可逆;)(dA只有一个线性无关的

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