电磁场与电磁波(第4版)第6章部分习题参考解答

6.1 有一频率为100、沿方向极化的均匀平面波从空气（区域）中垂 直入射到位于的理想导体板上。设入射波电场 MHzy0 x 0 x = i E ? 的振幅为10，试求： (1) 入射波电场 V/m i E ? 和磁场的复矢量； (2) 反射波电场 i H r E ? 和磁场的复矢量； (3) 合成波电场和磁场的复矢量；(4) 距离导体平面最近的合成波电场为 0 的位置；(5) 距离导体平面最近的合成波磁场 r H ? ? 1 E 1 H 1 E 1 H ? 为 0 的位置。 解：解：(1) 8 22 10 rad/sf= 8 8 2 102 rad/m 3 103c = 0 10 0 120 = 则入射波电场和磁场 i E ? i H ? 的复矢量分别为 2 j 3 i( ) 10e V/m x y E xe = ? ? ， 2 j 3 ii 1 11 ( )( )e A/m 12 x xz H xeE xe = ? ? (2) 反射波电场和磁场 r E ? r H ? 的复矢量分别为 2 j 3 r( ) 10e V/m x y E xe= ? ? ， 2 j 3 rr 1 11 ( )()( )e A/m 12 x xz HxeE xe = ? ? (3) 合成波电场 1 E ? 和磁场 1 H ? 的复矢量分别为 1ir 2 ( )( )( )j20sin( ) V/m 3 y E xE xE xex=+= ? ? 1ir 12 ( )( )( )cos( ) A/m 63 z H xH xHxex=+= ? ? (4) 对于，当时， 1( ) E x ? 0 x= 1(0) 0E= ? 。而在空气中，第一个零点发生在 2 3 x = 处，即 3 m 2 x = 。 (5) 对于，当 1( ) H x ? 2 32 x = ，即 3 m 4 x = 时为磁场在空气中的第一个零 点。 6.2 一均匀平面波沿方向传播，其电场强度矢量为 z+ 100sin()200cos() V/m xy Eetzetz=+ ? ? (1) 应用麦克斯韦方程求相伴的磁场H ? ；(2) 若在波传播方向上处，放置一 无限大的理想导体板，求区域中的 0z = 0z 1 E ? 和 1 H ? ；(3) 求理想导体板表面的电流 密度。 解：解：(1) 将已知的电场写成复数形式 j(90 )j ( )100e200e zz xy E zee + =+ ? ? ? 由得 0 jEH= ? 000 111 ( )( )() jjj 0 xyz y x xy xy eee E E H zE zee xyzzz EE = = = + ? ? ? jj 0 jj(90 ) 0 jj(90 ) 0 1 200( j )e100( j )e j 200e100e 1 200e100e A/m zz xy zz xy zz xy ee ee ee + + = + =+ =+ ? ? ? ? ? ? (90 )+ 写成瞬时值表示式 j 0 0 1 ( , )Re( )e200cos()100cos(90 ) 1 200cos()100sin() A/m t xy xy H z tH zetzetz etzetz =+ =+ ? ? ? ? (2) 均匀平面波垂直入射到理想导体平面上会产生全反射，反射波的电场为 j(90 ) r 100e z x E = ? j r 200e z y E = 即区域内的反射波电场为 0z j(90 )j rrr 100e200e zz xxyyxy Ee Ee Eee =+= ? ? ? 与之相伴的反射波磁场为 jj( r 00 11 ()(200e100e) zz zrxy HeEee =+ ? 90 ) ? ? 至此，即可求出0z 2 E ? 2 H ? 解：解：区域，本征阻抗0z 2r2 20 2r2 120 60 2 = 透射系数 1 2 12 22 60 6.67 10 12060 = + 相位常数 9 22200r2 8 3 10 220 rad/m 3 10 = 故 22m21m2 199 cos()cos() 6.67 1010cos(3 1020 )6.67cos(3 1020 ) V/m xx xx Ee EtzeEtz etzet = = ? ? ? z 99 22 2 16.67 cos(3 1020 )0.036cos(3 1020 ) A/m 60 zyy HeEetzetz = ? ? 6.8 已知区域中媒质1的0z 2 0=、 r2 10=、 r2 4=，角频率的均匀平面波从媒质1垂直入 射到分界面上。设入射波是沿 8 5 10 rad/s= x轴方向的线极化波，在0t=、时入射波电 场振幅为2.4。试求： 0z= V/m (1) 1 和 2 ；(2) 反射系数；(3) 媒质1的电场 1( , ) E z t ? ；(4) 媒质2的电场 ；(5) 时，媒质1中的磁场 2( , ) Ez t ? 5 nst= 1( 1, ) Ht ? 的值。 解：解：(1) 8 11 100r1r1 8 5 10 23.33 rad/m 3 10 = 8 22200r2r2 8 5 10 10 410.54 rad/m 3 10 = (2) 1r1 100 1r1 1 60 2 = 2r2 200 2r2 4 75.9 10 = 故 21 21 75.960 0.117 75.960 = + (3) 电场方向为 x e ? ，则 11 111 1 jj 1irim jjj im j im1 j3.33 j3.33 ( )( )( )(ee) (1)e(ee) (1)ej2sin 2.4(1.117ej0.234sin3.33 ) (2.681ej0.562sin3.33 ) zz x zzz x z x z x z x E zE zE ze E e E e Ez ez ez =+=+ =+ =+ =+ =+ ? ? ? ? ? ? 故 j 11 ( , )Re( )e t x E z te E z = ? ? 88 2.681cos(5 103.33 )0.562sin(3.33 )sin(5 10 ) xx etzez= ? t z 或 j3.33j3.33 1ir ( )( )( )2.4e0.281e zz xx E zE zE zee =+= ? ? j 11 88 ( , )Re( )e 2.4cos(5 103.33 )0.281cos(5 103.33 ) t x xx E z te E z etzet = =+ ? ? ? (4) 22 jj 2tmim ( )ee zz xx Eze EeE = ? ? 式中， 2 12 2 1.12 = + 故 j10.54j10.54 2( ) 1.12 2.4e2.68e zz xx Ezee = ? ? 8 2( , ) 2.68cos(5 1010.54 ) x Ez tetz= ? ? (5) 1irir 11 11 ( )( )( )( )()( ) zz H zH zHzeE zeE z =+=+ ? ? 11 jj2j3.333j3.33 11 2.40.281 ee1.27 10 e1.49 10 e zzzz yyyy eeee = ? 23 1( , ) 1.27 10cos(3.33 )1.49 10cos(3.33 ) yy H z tetzetz =+ ? ? 当、时 9 5 10 st = 1 mz = 289 1 389 3 1.27 10cos(5 105 103.33) 1.49 10cos(5 105 103.33) 10.4 10 A/m y y y He e e = + = ? ? ? ? 6.9 一圆极化波自空气中垂直入射于一介质板上，介质板的本征阻抗为 2 。入射 波电场为 j m( j)e z xy EEee =+ ? ? 求反射波与透射波的电场，它们的极化情况如何？ 解：解：设媒质1为空气，其本征阻抗为 0 ，已知介质板的本征阻抗为 2 。故分界 面上的反射系数和透射系数分别为 2 20 0 = + ， 2 20 2 = + 式中 002 20 220 , r0 = 都是实数，故、也是实数。 反射波的电场为 j rm( j)e z xy EEee =+ ? ? 可见， 反射波的电场的两个分量的振幅仍相等， 相位关系与入射波相比没有变化， 故反射波仍然是圆极化波。但波的传播方向变为z方向，故反射波变为右旋圆 极化波。而入射波是沿方向传播的左旋圆极化波。 z+ 透射波的电场为 2 j tm( j)e z xy EEee =+ ? ? 式中， 2220r20 =是媒质2中的相位常数。 可见， 透射波是沿方 向传播的左旋圆极化波。 z+ 6.10 证明：均匀平面波从本征阻抗为 1 的无耗媒质垂直入射至另一种本征阻抗 为 2 的无耗媒质的表面上，两种媒质中功率密度的时间平均值相等。 证：证：设平面波的传播方向为，则媒质1中的功率密度平均值为 z e ? 222 2 1aviavraviri 111 111 (1) 222 zzz SSSeEeEeE =+= ? ? 媒质2中的功率密度平均值为 222 22 2avtavtii 222 111 (1) 222 zzz SSeEeEeE =+ ? ? 所以 2 1av 222 22 111 2av (1)(1)(1)1 (1)(1)1 S S + = + ? ? + 将 21 21 = + 代入上式，可得到 1av 2av 1 S S = ? ?，故 1av2av SS= ? 。 6.11 均匀平面波垂直入射到两种无损耗电介质分界面上，当反射系数与透射系 数的大小相等时，其驻波比等于多少？ 解：解：由题意有下列关系 1= + 由此可得 2 2 12= +，即 1 2 = 故驻波系数 11 1/2 3 11 1/2 S + = = 由 21 21 1 2 = + ，还可得到 12 3= 若媒质的磁导率 12 =，则可得到 r2r1 9=。 6.12 均匀平面波从空气垂直入射到某电介质平面时，空气中的驻波比为2.7，介 质平面上为驻波电场最小点，求电介质的介电常数。 解：解：根据题意有 1 2.7 1 S + = 据此求得 11.7 0.459 13.7 S S = + 因介质平面上是驻波最小点，故应取0.459 = 。 由反射系数 0r20r2 20 20 0r20r2 /1 0.459 /1 = + 得 2 r2 1 0.459 7.27 1 0.459 + = 故电介质的介电常数 2r20 7.27 0 = 6.13 均匀平面波从空气中垂直入射到理想电介质（ r0 =、 r 1=、0=）表 面上。测得空气中驻波比为2，电场振幅最大值相距1.0，且第一个最大值距 离介质表面0.5。试确定电介质的相对介电常数 m m r 。 解：解：由1.0 2 =，得2 m=，所以电场振幅第一个最大值距离介质表面/4，故 反射系数。 0 44 jj j6j451.91 10j1.91 10 22 2( ) eee=2.32 10 eeee V/m zzzz yy Ezee = ? ? ? 与之相伴的磁场为 4 4 4 4 j(1.91 1045) 61.91 10 2 22 4j45 c j(1.91 10) 21.91 10 2 11 ( )( )2.32 10 ee 4.38 10 e 0.53 10 ee A/m z z zzy z z x HzeEzee e + + = = ? ? ? ? ? 则 4 j21.91 1064 22 ( , )Re( )e0.53 10 esin(3 101.91 10) A/m tz x Hz tHzetz = ? ? 6.19 如图题6.19所示，区域的媒质的介电常数为0z 2 ，在此媒质前置有厚度 为d、介电常数为 1 的介质板。对于一个从左面垂直入射来的TEM波，试证明 当 r1r2 =且 r1 1 4 d =时（为自由空间的波长） ，没有反射。 d z OO1 0 12 x 图题图题 6.19 解：解：媒质1中的波阻抗为 01 1 1r10 r1 1 0 = (1) 媒质2中的波阻抗为 02 210 2r20 r2 1 = (2) 当 r1r2 =时，由式(1)和(2)得 2 2 00 10 r1 r2 20 = (3) 而分界面处的等效波阻抗为 z = d 211 ef1 121 jtan jtan d d + = + 当 r1 1 4 d =即 1 4 d =时 2 1 ef 2 = (4) 分界面处的反射系数为 ef0 ef0 = + (5) 将式(3)和(4)代入式(5)，则得 0 = 即 r1r2 =且 r1 1 4 d =时，分界面zd= 处无反射。 1 4 d =的介质层称为匹配 层。 6.20 均匀平面波从空气中垂直入射到厚度 2 2 m 8 d =的聚丙烯（ r2 2.25=、 r2 1=、 2 0=）平板上。(1) 计算入射波能量被反射的百分比；(2) 计算空气中 的驻波比。 解：解：(1) 2 22 2 2 84 d =， 130 =， 20r20 /2=/3 反射面处的等效波阻抗为 322232000 ef220 23222300 jtan()j2j2/36j4 jtan()j3 2/3j6j9 d d + = + = + 反射系数 ef0 ef0 j5 12+j13 = + 故入射波能量被反射的百分比为 22 2 ravef0 iavef0 j5 7.99% 12+j13 S S = + (2) 空气中的驻波比为 112j13522.69 1.79 112j13512.69 S + = + 6.21 最简单的天线罩是单层介质板。 若已知介质板的介电常数 0 2.8=， 试问介 质板的厚度应为多少方可使频率为的电磁波垂直入射到介质板面时没有 反射？当频率分别为3.1和时，反射增大多少？ 3 GHz GHz2.9 GHz 解：解：通常天线罩的内、外都是空气，即 130 =，无反射的条件为 02 2 r2 22 d = 频率时 0 3 GHzf = 8 0 9 3 10 0.1 m 3 10 = 则介质板的厚度应为 0 0.1 30 mm 2 1.672 2.8 d = 当频率偏移到3.1 GHzf =时， 9 22200 2 3.1 102.8108.6 rad/m = 故 3 2 tantan(108.6 30 10 )0.117d = 而 02 2 20 225.3 2.8 = 故此时的等效波阻抗为 j7.08 ef 377j225.3 0.117 225.3370.87e368j45.7 225.3j377 0.117 + = + ? 反射系数为 j(18082.37 ) ef1 1 ef1 368j45.7377 0.06e 368j45.7377 + = + ? 反射功率密度与入射功率密度之比为 2 rav 1 iav 0.00360.36% S S = 即频率偏移到3.1时，反射功率将增大为入射功率的。 GHz0.36% 当频率偏移到2.9 GHzf =时， 9 22200 22.9 102.8101.6 rad/m = 故 3 2 tantan(101.6 30 10 )0.0939d = 故此时的等效波阻抗为 j5.72 ef 377j225.3 0.0939 225.3372.9e371.04j37.17 225.3j377 0.0939 =+ ? 反射系数为 j96.27 ef1 1 ef1 371.04j37.17377 0.05e 371.04j37.17377 + = + ? 反射功率密度与入射功率密度之比为 2 rav 1 iav 0.00250.25% S S = 即频率下偏到2.9 GHzf =时，反射功率将增加为入射功率的。 0.25% 6.22 图题6.22所示为隐身飞机的原理示意图。在表示机身的理想导体表面覆盖 一层厚度 33/4 d=的理想介质膜， 又在介质膜上涂一层厚度为的良导体材料。 试确定消除电磁波从良导体表面上反射的条件。 2 d 图题图题 6.22 解：解：图题6.22中，区域(1)为空气，其波阻抗为 01 1 10 = 区域(2)为良导体，其波阻抗为 j45 2 2 2 e = ? 区域(3)为理想介质，其波阻抗为 3 3 3 = 区域(4)为理想导体 4 ()= ，其波阻抗为 j45 4 4 4 e0 = ? 分界面上的等效波阻抗为 3 3 3 4333 ef2333 34333 2 jtan 4jtan jtan jtan2 d d + = + = 分界面上的等效波阻抗为 ef22c222c ef12c 2cef22222 tanh tanhtanh d dd + = + (1) 式中的 2 是良导体中波的传播常数， 22 tanhd为双曲正切函数。 由于良导体涂层很薄，满足 22 1d?，故可取 2222 tanhdd，则式(1)变为 2 ef1 22 d (2) 分界面上的反射系数为 ef11 1 ef11 = + 可见，欲使区域(1)中无反射，必须使 ef110 = 故由式(2)得 2c 0 22 d = (3) 将良导体中的传播常数 j45 222e = ? 和波阻抗 j45 2 2c 2 e = ? 代入式(3)， 得 3 2c 2 022022 112.65 10 377 d = 这样，只要取理想介质层的厚度 33/4 d=，而良导体涂层的厚度 3 2 2.65 10/d 2 =，就可消除分界面上的反射波。即雷达发射的电磁波从空气 中投射到分界面时，不会产生回波，从而实现飞机隐身的目的。此结果可作如 下的物理解释：由于电磁波在理想导体表面（即分界面）上产生全反射，则在 离该表面 3/4 处（即分界面）出现电场的波腹点。而该处放置了厚度为的 良导体涂层，从而使电磁波大大损耗，故反射波就趋于零了。 2 d 6.23 均匀平面波从空气中以的入射角进入折射率为30? 2 2n =的玻璃中，试分别 就下列两种情况计算入射波能量被反射的百分比： (1) 入射波为垂直极化波； (2) 入射波维平行极化波。 解：解：(1) 入射波维垂直极化波时，反射系数 222 i2i 222 i2i cossin3/24(1/2)31535 2315 cossin3/24(1/2) n n = + + = 入射波能量被反射的百分比为 2 rav iav 73 5 0.14614.6% 2 S S = (2) 入射波为平行极化波时，反射系数 2222 2i2i 2222 2i2i cossin2 34(1/2)4 31521 8 5 0.283 114 315 cossin2 34(1/2) / nn nn = + + = 入射波能量被反射的百分比为 2 rav / iav 0.088% S S = 6.24 垂直极化的均匀平面波从水下以入射角投射到水与空气的分界面 上。已知淡水的 i 20= ? r 81=、 r 1=、0=，试求：(1) 临界角；(2) 反射系数与透 射系数；(3) 波在空气中传播一个波长的距离的衰减量（以dB表示） 。 解：解：(1) 临界角为 02 c 10 arcsinarcsin6.38 81 = ? = (2) 反射系数为 2 0 0j38.04 2 0 0 cos20sin 20 810.940.0120.1170.94j0.32 e 0.94j0.320.940.0120.117 cos20sin 20 81 = + + ? ? ? = 透射系数为 j19.02 2 0 0 2cos202 0.94 1.89e 0.940.0120.117 cos20sin 20 81 = + + ? ? ? = c (3) 由于 i ，故此时将产生全反射。由斯耐尔折射定律得 1 ti 2 sinsin81sin203.08 = ? 此时 22 tt cos1 sin1 3.08j2.91= 式中取“”，是考虑到避免时，场的振幅出现无穷大的情况。这是因 为空气中的透射波电场的空间变化因子为 j2.91z 2 nt2tt2222 jj( sincos)j3.08j(j2.19)j3.08(2.19 ) eeeeee k erkxzk xkzk xkz+ = ? 由上式即可得透射波传播一个波长时的衰减量为 2 222 2(2.91 ) (2.91) 20lge20lge158.8 dB k = 6.25 均匀平面波从 0 =、 0 4=的理想电介质中斜入射到与空气的分界面上。 试求：(1) 希望在分界面上产生全反射，应该采取多大的入射角？(2) 若入射波 是圆极化波，而只希望反射波成为单一的直线极化波，应以什么入射角入射？ 解：解：(1) 均匀平面波是从稠密媒质（ 1 4 0 =）入射到稀疏媒质（ 20 =） ，若取 入射角 i 大于（或等于）临界角 c ，就可产生全反射。 22 c 11 1 arcsinarcsinarcsin30 4 n n = ? 故取时可产生全反射。 i 30 ? (2) 圆极化波可分解为平行极化和垂直极化两个分量，当入射角 i 等于布儒 斯特角 b 时，平行极化分量就产生全透射，这样，反射波中只有单一的垂直极化 分量，即 2 ib 1 1 arctanarctan26.57 4 = ? 6.26 频率的均匀平面波从媒质1（300 kHzf= 10 =、 10 4=、 1 0=）斜入 射到媒质2（ 20 =、 20 =、 2 0=） 。(1) 若入射波是垂直极化波，入射角 ， 试问空气中的透射波的传播方向如何？相速是多少？(2) 若入射波是圆 极化波，且入射角，试问反射波是什么极化波？ i 60= ? i 60= ? 解：解：(1) 先计算临界角 2 c 1 1 arcsinarcsin30 4 = ? = ? 可见，垂直极化波的入射波要产生全反射。根据折射定律 i 6030= ? t1 i2 sin sin =，得 1 t 2 3 sinsin6043 2 = ? = 可见， t 没有实数解， t cos为虚数，即 22 tt cos1 sin1 ( 3)j 2= 透射波的波数为 8 t2200 8 1 22 3 102 rad/m 3 10 kf = = 透射波的波矢量为 ttttt sincos2 3j2 2 xzxz ke ke kee=+= ? ? 故透射波的电场为 t j2 2j2 3 ttmtm ( )eee k rzx yy E re E