9.2--标准正交基.ppt

第九章欧几氏空间,2标准正交基,3同构,4正交变换,1定义与基本性质,6对称矩阵的标准形,7向量到子空间的距离最小二乘法,5子空间,主要内容,第二节标准正交基,定义,标准正交基的求法,正交矩阵,一、定义,1.正交向量组的定义,定义1欧氏空间V中一组非零的向量，如,果它们两两正交，就称为一正交向量组.,特别地，由单个非零向量所成的向量组也是,正交向量组.,2.正交向量组的性质,定理1正交向量组是线性无关的.,证明,设1,2,m是一正交向量组，,k1,k2,km是m个实数，且有,k11+k22+kmm=0.,用i与等式两边作内积，得,ki(i,i)=0.,由i0，有(i,i)0，从而,ki=0(i=1,2,m).,证毕,1）这个结果说明，在n维欧氏空间中，两两正交,的非零向量不能超过n个.,这个事实的几何意义是清楚的.,例如，在平面上找不到三个两两垂直的非零向量，,在空间中，找不到四个两两垂直的非零向量.,注意,2)欧氏空间中线性无关向量组未必是正交向量组,但不是正交向量组.,3.正交基的定义,定义2在n维欧氏空间中，由n个向量组成,的正交向量组称为正交基；,由单位向量组成的正交,基称为标准正交基.,对一组正交基进行单位化就得到一组标准正交基.,如：,是Rn的一组标准正交基.,4.正交基的性质,性质1设1,2,n是一组标准正交基，,则,显然，(1)式完全刻画了标准正交基的性质.,反之，亦然.即,设1,2,n是一组基，且,则1,2,n是一组标准正交基，,在n维欧氏空间中，标准正交基一定,是存在的.,定理2,一组基为标准正交基的充分必要,条件是它的度量矩阵为单位矩阵.,性质2,证明,(i,)=(i,x11+x22+xnn),=(i,x11)+(i,xii)+,+(i,xnn),=x1(i,1)+xi(i,i)+,+xn(i,n),=xi(i,i),=xi.,证毕,性质3设1,2,n是一组标准正交基，,向量在该基下的坐标为(x1,x2,xn),即,=x11+x22+xnn，,则,xi=(i,)(i=1,2,n).,性质4设1,2,n是一组标准正交基，,且,=x11+x22+xnn，,=y11+y22+ynn，,那么,(,)=x1y1+x2y2+xnyn=XTY.(2),这个表达式正是几何中向量的内积在直角坐标系中,的坐标表达式的推广.,1）应该指出，内积的表达式(2),对于任一组标准,正交基都是一样的.,这说明了，所有的标准正交基,在欧氏空间中有相同的地位.,在下一节，这一点将,得到进一步的说明.,注意,2）特别地，在欧氏空间的任一标准正交基下，有,二、标准正交基的求法,定理3n维欧氏空间中任一个正交向量组都,能扩充成一组正交基.,证明,设1,2,m是一正交向量组，,我们对n-m作数学归纳法.,当n-m=0时，1,2,m就是一组正交,基.,假设n-m=k时定理成立，也就是说，可以,找到向量1,2,s,使得,1,2,m,1,2,s,成为一组正交基.,现在来看n-m=k+1的情形.,因为mn，,所以一定有向量不能被1,2,m线性表出，,作向量,m+1=-k11-k22-kmm,这里k1,k2,km是待定的系数.,用i与m+1作,内积，得,(i,m+1)=(,i)-ki(i,i)(i=1,2,m).,取,有,(i,m+1)=0(i=1,2,m).,由的选择可知，m+10.,因此,1,2,m,m+1,是一正交向量组，根据归纳法假定，1,2,m,m+1可以扩充成一正交基.,证毕,注意定理的证明实际上也就给出了一个,具体的扩充正交向量组的方法.,如果我们从任一个,非零向量出发，按证明中的步骤逐个地扩充，最后,就得到一组正交基.,再单位化，就得到一组标准正,交基.,在求欧氏空间的正交基时，常常是已经有了空,间的一组基.,对于这种情形，有下面的结果：,定理4对于n维欧氏空间中任意一组基1,2,n，都可以找到一组标准正交基1,2,n，使,L(1,2,i)=L(1,2,i),i=1,2,n.,证明,设1,2,n是一组基，我们来逐,个地求出向量1,2,n.,首先，可取,一般地，假定已经,求出1,2,m，它们是单位正交的，具有性,质,L(1,2,i)=L(1,2,i),i=1,2,m.,下一步求m+1.,因为,L(1,2,m)=L(1,2,m),所以m+1不能被1,2,m线性表出.,按定,理3证明中的方法，作向量,显然,m+10,且(m+1,i)=0，i=1,2,m.,令,则1,2,m,m+1就是一单位正交向量组.,同时,L(1,2,m+1)=L(1,2,m+1).,由归纳法原理，定理2得证.,证毕,注意,1）定理4中把一组线性无关的向量变成一单位正,交向量组的方法称为施密特(Schimidt)正交化过程.,2）施密特(Schimidt)正交化方法,设1,2,m是一线性无关向量组，把它化为单位正交向量组.,步骤1（正交化）,化成正交向量组,先把线性无关的向量组,再单位化得标准正交向量组,步骤2（单位化）,例1设,试用施密特正交化过程把这组向量变成单位正交,的向量组.,解取;,再把它们单位化,取,则e1,e2,e3即为所求.,推论1,L(1,2,i)=L(1,2,i),i=1,2,n.,就相当于由基1,2,n到基1,2,n,的过渡矩阵是上三角形的.,定理4中的要求,三、正交矩阵,设1,2,n与1,2,n是欧氏空间V,中的两组标准正交基，它们之间的过渡矩阵是,A=(aij)，即,因为1,2,n是标准正交基，所以,矩阵A的各列就是1,2,n在标准正交基,1,2,n下的坐标，按公式(3)，(4)式可以表,示为,(5)式相当于一个矩阵的等式,ATA=E，(6),或者,A-1=AT.,定义3n级实数矩阵A,如果满足,则称A为正交矩阵.,引理,设1,2,n与1,2,n,是欧氏空间V中的两组标准正交基，则它们之间的,过渡矩阵A,满足ATA=E.,ATA=E,3）矩阵A为正交矩阵,1）A为正交矩阵,性质,定理51）由标准正交基到标准正交基的过渡,矩阵是正交矩阵；,2）如果第一组基是标准正交基，同时过