高一数学中函数与方程常见题型

高数学中函数和方程的常见问题类型高一数学函数与方程节要重点推导学生学习函数的零点、方程根与两函数图像交点之间的等价变换思想和数形耦合思想。 总是通过研究函数的单调性、偶奇性、周期耦合和方程根的分布区间或零点的存在性、零点个数问题等方程根的分布情况，综合考察不等式求解、函数的图像和性质等问题。一、确定函数零点所在区间的常用方法有三种：一是定理，二是解方程，三是图像例1 :函数f(x)=2x 3x的零点所在的区间为().A.(-2，-1) b.(-1，0 )c.(0，1 ) d.(1，2 )解：问题意识f(-2)=-60f(-1)=-30f(1)0，f(2)0，f(-1)f(0)0因此，区间(-1，0 )必定有零点.例2 :已知函数f(x)=x2 x a在区间(0，1 )中具有零点，实数a能够取值的范围为_ .解：函数f(x)=x2 x a在(0，1 )上增大，并从已知条件f(0)f(1)0，即a(a 2)0求解-20，a，cR。 函数f(x )在区间(0，1 )内有零点，为什么有多少零点？如果解f(0)f(1)=c(a-c)0c0或a0，f(1)=a-c0，是ac0 .这是因为二次函数f (x )=3a x2-2(AC ) x c的图像的对称轴是x=.f=0是因此，函数f(x )在区间和内分别具有零点，因此函数f(x )在区间(0，1 )内具有两个零点.例3 :在r中定义的函数f(x )满足f(x 2)=f(x) 1且x 0，1 的情况下，在f(x)=4x、x(1，2 )的情况下，f(x)=、函数f(x )的零点的数量为_ _ _ _ _ .解：可以从说明的含义绘制函数的 0，2 上的图像，另外，由于f(x 2)=f(x) 1，即，函数的值每增加2，函数的值就增加1，因此法则可以绘制-8，0 内的函数的图像，可以看出零点为5个。三、我们知道根据函数零点的存在情况，求出参数值，函数零点(方程式中有根)常用的求出参数值的方法和想法： (1)直接法：根据问题设定条件构建关于参数的不等式，通过求解不等式来决定参数范围(2) 参数分离法：首先分离参数，变换为求函数值域的问题解决(3)数形结合法：对于解析性变形，在同一平面的正交坐标系上画函数的图像，解数形结合例1 :函数f(x)=ax2-x-1只有零点时，求出实数a可取范围.解：当a=0时，如果函数f(x)=-x-1是线性函数，则-1是函数的零点，即，函数只有零点在a0的情况下，函数f(x)=ax2-x-1是二次函数，在只有一个零点的情况下，一次二次方程式ax2-x-1=0有两个相等的实根=1 4a=0，解a=-.由此可知，a=0或a=-时，函数只有零点例2 :设函数f(x)=3ax2-2(a c)x c (a0，a，cR ) .(1)ac0.f(x)c2-2c a对x1，)始终成立，求出c可取得的范围解：将二次函数f(x)=3ax2-2(a c )的x c的图像的对称轴设为x=，为了从条件ac0得到2aa c，即，二次函数f(x )的对称轴位于区间1，的左边，抛物线开口朝上，因此f(x )是在1，内增加的函数.f(x)c2-2c a对x1，)始终成立时，f(x)min=f(1)c2-2c a，即a-cc2-2c a、c2-c0所以00 )(y=g(x)-m如果有零点，则求出m可取得的范围确定m取值的范围，使得(g(x)-f(x)=0具有两个不同的实根解： (g(x)=x (x0)的大致图像如下可知如果使y=g(x)-m具有零点，则m2e即可.m可取值的范围为2e，。(g(x)-f(x)=0有两个不同的实根时，g(x )和f(x )的图像有两个不同的交点制作g(x)=x (x0 )的大致图像.f(x)=-x2 2ex m-1=-(x-e)2 m-1 e2， 设该图像的对称轴为x=e、开口朝下、最大值为m-1