消元法解线性方程组

上页下页结束返回首页 一、消元法解线性方程组一、消元法解线性方程组一、消元法解线性方程组一、消元法解线性方程组 分析：用消元法解下列方程组的过程分析：用消元法解下列方程组的过程 引例引例 求解线性方程组求解线性方程组 =+ =+ =+ =+ =+ =+ = =+ + , 97963 , 42264 , 42 , 22 4321 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx xxxx 1 3 4 2 2 )1( 上页下页结束返回首页 解解 =+ =+ =+ =+ =+ =+ = =+ + + + , 97963 , 232 , 22 , 42 4321 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx xxxx 1 3 4 2 2 1 3 2 )( 1 B )1( =+ =+ =+ =+ =+ =+ = =+ + + + , 3433 , 6355 , 0222 , 42 432 432 432 4321 xxx xxx xxx xxxx 1 3 4 2 2 1 32 3 3 14 )( 2 B 上页下页结束返回首页 = = =+ = = =+ = =+ + + + , 3 , 62 , 0 , 42 4 4 432 4321 x x xxx xxxx 1 3 4 2 5+ + 2 2 1 3 3 4 2 2 )( 3 B )( 4 B = = =+ = = =+ = =+ + + + , 00 , 3 , 0 , 42 4 432 4321 x xxx xxxx 1 3 4 2 3 2 4 4 3 用用“回代回代”的方法求出解：的方法求出解： 上页下页结束返回首页 = += = += + += = 3 3 4 4 32 31 x xx xx . 3为任意取值 其中为任意取值其中x于是解得于是解得 方程组的解可记作或令方程组的解可记作或令, 3 cx = = , 3 3 4 4 3 2 1 + + + + = = = = c c c x x x x x + + = = 3 0 3 4 0 1 1 1 cx即即(2) .为任意常数其中 为任意常数其中c 无穷解，Cramer rule 上页下页结束返回首页 小结：小结： 1上述解方程组的方法称为上述解方程组的方法称为消元法消元法 2始终把方程组看作一个整体变形，用到如 下三种变换 始终把方程组看作一个整体变形，用到如 下三种变换 （1）交换方程次序；）交换方程次序； i j （与相互替换）（与相互替换） （2）以不等于的数乘某个方程；）以不等于的数乘某个方程； （以替换）（以替换）ik i （3）一个方程加上另一个方程的）一个方程加上另一个方程的k倍倍 j （以替换）（以替换）ik+ + i 上页下页结束返回首页 3上述三种变换都是可逆的上述三种变换都是可逆的 ji )(A若若),(B )(B则则 );(A ji )(A若若),(B ik )(B则则 );(A ik k+ + )(A若若),(B ji )(B则则 ).(A k ji 由于三种变换都是可逆的，所以变换前的 方程组与变换后的方程组是同解的故这三种 变换是 由于三种变换都是可逆的，所以变换前的 方程组与变换后的方程组是同解的故这三种 变换是同解变换同解变换 上页下页结束返回首页 因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的 系数和常数进行运算，未知量并未参与运算 因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的 系数和常数进行运算，未知量并未参与运算 若记若记 = 97963 42264 41211 21112 )(bAB 则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方程 组（ 方程 组（1）的增广矩阵）的变换）的增广矩阵）的变换 上页下页结束返回首页 二、矩阵的初等变换二、矩阵的初等变换二、矩阵的初等变换二、矩阵的初等变换 定义定义1 下面三种变换称为矩阵的下面三种变换称为矩阵的初等初等行行变换变换: ( )( )）；记作两行对调两行（对调）；记作两行对调两行（对调 ji rrji,1 ( )( );02乘以某一行的所有元素以数乘以某一行的所有元素以数 k ）记作行乘（第）记作行乘（第krki i , ( )( ) . 3 ）记作 行上倍加到第行的对应的元素上去（第 倍加到另一行把某一行所有元素的 ）记作 行上倍加到第行的对应的元素上去（第 倍加到另一行把某一行所有元素的 ji krr ikj k + + 上页下页结束返回首页 同理，可定义矩阵的同理，可定义矩阵的初等初等列列变换变换(所用记号是把(所用记号是把 “r”换成换成“c”) 定义2定义2矩阵的矩阵的初等列变换初等列变换与与初等行变换初等行变换统称为统称为 初等变换初等变换 初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型 相同 且变换类型 相同 ji rr ; ji rr 逆变换逆变换 ;) 1 (kr k r ii 或或kri 逆变换逆变换 ji krr + +.)( jiji krrrkr + +或或逆变换逆变换 上页下页结束返回首页 ，矩阵经有限次初等变换变成如果矩阵，矩阵经有限次初等变换变成如果矩阵BA 等价，记作与就称矩阵等价，记作与就称矩阵BABA 等价关系的性质：等价关系的性质： ；反身性）；反身性）（A A 1 A;B , B A 2则若对称性）则若对称性）（ C. AC,BB, A 3则若）传递性则若）传递性（ 具有上述三条性质的关系称为具有上述三条性质的关系称为等价等价 例如，两个线性方程组例如，两个线性方程组同解同解， 也称这两个线性方程组等价也称这两个线性方程组等价 上页下页结束返回首页 用矩阵的初等行变换 解方程组（用矩阵的初等行变换 解方程组（1）：）： = = 97963 42264 41211 21112 B 1 97963 21132 21112 41211 B= = 21 rr 2 3 r 上页下页结束返回首页 = = 97963 21132 21112 41211 1 B 13 32 2rr rr 14 3rr 34330 63550 02220 41211 = = 13 32 2rr rr 14 3rr 2 B 3 31000 62000 01110 41211 B= = 23 2 5 2 rr r 24 3rr 上页下页结束返回首页 = = 31000 62000 01110 41211 3 B 43 rr 34 2rr 4 00000 31000 01110 41211 B= = 43 rr 34 2rr 5 00000 31000 30110 40101 B= = 21 rr 32 rr 上页下页结束返回首页 对应的方程组为对应的方程组为 5 B = += = += + += = 3 3 4 4 32 31 x xx xx 方程组的解可记作或令方程组的解可记作或令, 3 cx = = + + + + = = = = 3 3 4 4 3 2 1 c c c x x x x x + + = = 3 0 3 4 0 1 1 1 c .为任意常数其中 为任意常数其中c 上页下页结束返回首页 都称为和矩阵都称为和矩阵 54 BB.行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵 特点：特点： 5 00000 31000 30110 40101 B= = （1）、可划出 一条阶梯线，线 的下方全为零； 、可划出 一条阶梯线，线 的下方全为零； （2）、每个台阶 只有一行， 、每个台阶 只有一行， 台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面 的 台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面 的第一个元素为非零元第一个元素为非零元，即非零行的第一个非 零元 ，即非零行的第一个非 零元 上页下页结束返回首页 . 1 5 的其他元素都为零 列，且这些非零元所在的零行的第一个非零元为 即非还称为行最简形矩阵，行阶梯形矩阵 的其他元素都为零 列，且这些非零元所在的零行的第一个非零元为 即非还称为行最简形矩阵，行阶梯形矩阵B 5 00000 31000 30110 40101 B= = . ,A nm 和行最简形和行最简形变换把他变为行阶梯形变换把他变为行阶梯形 总可经过有限次初等行总可经过有限次初等行对于任何矩阵对于任何矩阵 注意：注意：行最简形矩阵行最简形矩阵是由方程组唯一确定是由方程组唯一确定， 行阶梯形矩阵的行数行阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定也是由方程组唯一确定 行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形 上页下页结束返回首页 .的标准形矩阵 = = 00000 31000 30110 40101 5 B例如，例如， 214 ccc+ + + 3215 334cccc+ + F= = 00000 00100 00010 00001 00000 30100 31010 41001 43 cc 00000 30100 30010 40001 .的标准形称为矩阵矩阵的标准形称为矩阵矩阵BF 上页下页结束返回首页 .阵，其余元素全为零的左上角是一个单位矩 阵，其余元素全为零的左上角是一个单位矩F特点：特点： 标准形总可经过初等变换化为矩阵标准形总可经过初等变换化为矩阵 Anm nm r OO OE F = = . , 的行数行阶梯形矩阵中非零行 就是三个数唯一确定，其中此标准形由 的行数行阶梯形矩阵中非零行 就是三个数唯一确定，其中此标准形由rrnm 所有与矩阵等价的矩阵组成的一个集合， 称为一个 所有与矩阵等价的矩阵组成的一个集合， 称为一个等价类等价类，标准形 是这个等价类中最简 单的矩阵 标准形 是这个等价类中最简 单的矩阵. A F 看看P61例例 上页下页结束返回首页 三、小结三、小结三、小结三、小结 ( ( ) )( () );1 jiji ccrr ( ( ) )( () );2kckr ii ( ( ) )( () ).3 jiji kcckrr+ + + 1.1.初等行(列)变换初等行(列)变换 初等变换的初等变换的逆逆变换仍为初等变换变换仍为初等变换, 且变换类型相同且变换类型相同 2.2. A初等变换初等变换 B.BA 3.3.矩阵等价具有的性质矩阵等价具有的性质 ( ( ) );1反身性反身性( ( ) ) ;2对称性对称性( )( ) .3传递性传递性 上页下页结束返回首页 上页下页结束返回首页 思考题思考题 已知四元齐次方程组及另一已知四元齐次方程组及另一 ( )( ) = = =+ + 0 0 : 42 21 xx xx I 四元齐次方程组的通解为四元齐次方程组的通解为 ( () )II ()()( () )( () ).,1 , 2 , 2 , 10 , 1 , 1 , 0 2121 Rkkkk TT + ( ( )()() ., ;,? 说明理由有 若没求出来若有是否有非零公共解与问 说明理由有 若没求出来若有是否有非零公共解与问III 上页下页结束返回首页 思