二次函数与幂函数-高考数学知识点总结-高考数学真题复习

2.4二次函数和函数2014高考会这样求出1 .二次函数解析表达式2 .二次函数的值域或最大值，综合应用于一次二次方程、一次二次不等式3 .利用函数的图像、性质解决问题复习的准备要如此理解1 .二次函数三种解析式的特征和应用2 .分析二次函数需要抓住一些重要环节：应用开口方向、对称轴、顶点、函数的定义域3 .数形耦合思想掌握二次函数、函数的性质1 .二次函数的定义和解析表达式(1)二次函数的定义形式： f(x)=ax2 bx c_(a0 )的函数称为二次函数(2)二次函数解析式的三种形式公式： f(x)=ax2 bx c_(a0 )上点： f(x)=a(x-m)2 n(a0 )零点式： f(x)=a(x-x1)(x-x2)_即(a0 )。2 .二次函数的图像和性质解析表达式f(x)=ax2 bx c(a0)f(x)=ax2 bx c(a0)图像定义域(-，)(-，)值域单调性以x单调减少以x单调递增以x单调递增以x单调减少偶然性b=0时为偶函数，b0时为非奇非偶函数顶点对称性图像关于直线x=-轴对称图形3 .函数像y=x (R )这样的函数称为函数，x是自变量，是常数。4 .函数的图像和性质(1)函数的图像比较(2)函数的性质比较难点正本疑点清源1 .二次函数的三种形式(1)在知道3点坐标的情况下，优选使用通式(2)关于二次函数的顶点坐标或对称轴，或者在已知有关最大(小)值的情况下，经常使用顶点.(3)已知二次函数和x轴有两个交点，横轴已知时，选择零点式求f(x )比较方便2 .函数的图像(1)在(0，1 )中，函数中指数越大，函数图像越接近x轴，在(1，)中，函数中指数越大，函数图像越远离x轴.(2)函数y=x，y=x2，y=x3，y=x，y=x-1可以用作函数图像和性质的研究和学习的代表.1 .如果已知函数f(x)=x2 2(a-1)x 2是在区间(-，3 )中减去函数，则实数a的可取范围为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _答案(-2)分析f(x )图像的对称轴为x=1-a，开口向上1-a3，即a-22 .已知函数y=x2-2x 3在闭区间0，m中具有最大值3、最小值2，m可取值的范围是_ .答案 1，2 分析y=x2-2x 3的对称轴为x=1在m1情况下，y=f(x )是用0，m减去的函数.ymax=f(0)=3，ymin=f(m)=m2-2m 3=2m=1，无解1m2时，ymin=f(1)=12-21 3=2ymax=f(0)=3。在m2情况下，ymax=f(m)=m2-2m 3=3m=0，m=2，无解1m23 .函数y=(m2-3m 3)xm2-m-2的图像未通过原点时，实数m的值为_。答案1或2分析的理由是m=1或2。经验证的m=1或2都是适当的4.(人教a版教材例题的改编)图中的曲线是函数y=xn位于第一象限的图像，已知n取2，4个。在该值情况下，与曲线C1、C2、C3、C4对应的n的值为_ .答案2，-，-2可以根据函数图像是否超过原点来判断n符号，根据函数的凹凸性来决定n的值.5 .函数f(x)=x2 mx 1的图像关于直线x=1对称的充分条件是()A.m=-2 B.m=2C.m=-1 D.m=1答案a分析函数f(x)=x2 mx 1的图像的对称轴为x=-，对称轴只有1根-=1，即m=-2。求问题型一次函数的解析式在例1中，已知二次函数f(x )满足f(2)=-1，f(-1)=-1，f(x )最大值为8，试着求出该二次函数.思考启发：二次函数采用保留系数法，有三种形式，可根据条件加以运用解法为f(x)=ax2 bx c (a0 )根据问题的意思可以解决求出二次函数解析式是f(x)=-4x2 4x 7.方法：设f(x)=a(x-m)2 n，a0.f(2)=f(-1 )抛物线对称轴是x=m=.此外，问题语义函数的最大值为n=8y=f(x)=a2 8 .f(2)=-1，a2 8=-1，若将其解开，则a=-4 .f(x)=-42 8=-4x2 4x 7。方法3根据问题意识，f(x) 1=0的两条由于x1=2，x2=-1，因此能够使f(x) 1=a(x-2)(x 1)、a0 .即f(x)=ax2-ax-2a-1 .此外，函数具有最大值ymax=8，即=8若解开，则a=-4或a=0(截断) .函数解析表达式为f(x)=-4x2 4x 7。二次函数的提高有三种形式的解析式，必须根据具体情况选择例如和对称性、最有价值的关闭，可选择顶点。与二次函数的零点有关，可选择零点式。公式为二次函数的最终结果已知二次函数f(x )同时满足条件：(1)f(1 x)=f(1-x )(2)f(x )的最大值为15(3)f(x)=0的2根立方和等于17求出f(x )的解析式解析依赖条件设为f(x)=a(x-1)2 15 (a0)即f(x)=ax2-2ax a 15 .假设f(x)=0，即ax2-2ax a 15=0x1x2=1，x1x2=1x x=(x1 x2)3-3x1x2(x1 x2)=23-32=2-，如果2-=17，则a=-6。f(x)=-6x2 12x 9。问题型二次函数的图像与性质示例2已知函数f(x)=x2 2ax 3，x4，6 。(a=-2时，求出f(x )最大值求出实数a的取法，使得(y=f(x )在区间-4，6 内为单调函数(3)当3)a=1时，求出f(|x|)单调区间.思考启发：关于(1)和(2)，可以从对称轴和区间的关系直接求解，关于(3)，首先把函数作为分段函数，求出单调的区间，必须注意函数定义域的限制作用解(a=-2时，因为f(x)=x2-4x 3=(x-2)2-1，x4，6 )f(x )以-4，2 单调减少，以 2，6 单调增加f(x )最小值是f(2)=-1，且f(-4)=35，f(6)=15，因此f(x )的最大值是35 .(2)函数f(x )的图像开口向上，并且对称轴为x=-a。因此，函数f(x )具有单调于-4，6 的函数数量必须是-a-4或-a6，即a-6或a4(3)a=1时，f(x)=x2 2x 3f(|x|)=x2 2|x| 3，此时定义区域为x6，6 且f(x)=f(|x|)的单调增加区间是(0，6 )单调递减区间为-6，0 (1)为了提高二次函数在闭区间中的最大值，主要设定轴定区间、轴动区间，轴定区间运动无论是什么类型，解决的关键是调查对称轴与区间的关系，在包含参数的情况下基于对称轴和区间的关系进行分类研究(2)二次函数的单调性问题主要基于二次函数图像的对称轴进行分析研究解决当函数f(x)=2x2 mx-1在部分-1，处递增时，f(-1 )的可能值的范围变为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _答案(-3)解析抛物线开口向上，对称轴为x=-，222222222222222卡卡卡卡卡653f(-1)=1-m-3，f (-1 )(-3)。问题型三次函数的综合应用例3 (2012淮安模拟)求出二次函数f(x)=ax2 bx c (a0 )满足f(x 1)-f(x)=2x且f(0)=1.(1)f(x )的解析式(2)在区间-1，1 中不等式f(x)2x m始终成立时，求出实数m可取范围.思考启发：对于(1)，可以用f(0)=1得到c，用f(x 1)-f(x)=2x稳定地成立，可以求出a、b，进而可以决定f(x )的解析式.解(1)为f(0)=1，c=1.f(x)=ax2 bx 1。此外，f(x 1)-f(x)=2xa(x 1)2 b(x 1) 1-(ax2 bx 1)=2x即，2ax a b=2x，222222222222卡卡卡卡卡因此，f(x)=x2-x 1 .(2)f(x)2x m与x2-x 12x m即x2-3x 1-m0等价，为了使该不等式在-1，1 中一定成立，只要使函数g(x)=x2-3x 1-m在-1，1 中最小值大于0即可.g(x)=x2-3x 1-m以-1，1 单调递减g(x)min=g(1)=-m-1，由-m-10得到的m-1。因此，满足条件实数m的可取值的范围为(-1) .探讨提高二次函数、二次方程和二次不等式的“三个二次”，它们常常结合在一起二次函数是“三个二次”的核心，通过二次函数的图像成为一体二次函数问题、数形结合、密切相关图像是探讨解决问题思路的有效方法。 用函数思想研究方程、不等式(特别是恒成立)问题是高考命题的热点(2012苏州模拟)已知函数f(x)=x2 mx n的图像透射点(1，3 )并且f(-1 x)=f(-1-x )对于任意实数成立，函数y=g(x )和y=f(x )的图像关于原点对称.(1)求出g(x )和g(x )的解析式(F(x)=g(x)-f(x )是(-1，1 )增加函数，求出实数的可取范围.解(1)f(x)=x2 mx nf(-1 x)=(-1 x)2 m(-1 x) n=x2-2x 1 mx n-m=x2 (m-2)x n-m 1f(-1-x)=(-1-x)2 m(-1-x) n=x2 2x 1-mx-m n=x2 (2-m)x n-m 1。另外，f(-1 x)=f(-1-x )、m-2=2-m、即m=2.另外，f(x )的图像越过点(1，3 )3=12 m n，即m n=2n=0，8756； f(x)=x2 2x另外，y=g(x )和y=f(x )的图像关于原点对称-g(x)=(-x)2 2(-x )g(x)=-x2 2x .(2)f (x )=g (x ) -f (x )=-(1) x2(2- 2) x当 10时，F(x )的对称轴为x=。另外，F(x )是(-1，1 )的增加函数。或-1或-10当 1=0即=-1时，F(x)=4x显然是增加到(-1，1 )函数.由以上可知，取值的范围为(-，0 )问题型四函数的图像与性质在例子4中，已知函数f(x)=xm2-2m-3 (mN* )的图像是y轴对称的，在(0，)下是减法函数数求出满足(a 1)-(3-2a)-的值的范围.思考启发：根据函数的性质可以得到幂指数m2-2m-30，此外，m是整数，函数是偶然函数得到的m的值解函数以(0，)减少m2-2m-30、解-13-2a0或0a 13-2a或a 103-2a解答a-1或f(a-1 )的实数a取值的范围解(1)m2 m=m(m 1)，mN*，m和m 1中，必须有一个是偶数，8756； m(m 1)是偶数函数f(x)=x(m2 m)-1(mN* )的定义域是0，在定义域是增加函数.(2)函数f(x )通过点(2)=2(m2 m)-1，即2=2(m2 m)-1求解m2 m=2.m=1或m=-2 .mN*，m=1。由f(2-a)f(a-1 )得到1a。a的值范围为12 .分类讨论思想在二次函数中的应用典型示例： (14分钟) a为实数，函数f(x)=2x2 (x-a)|x-a|(1)如果f (0)1，则求a的可取范围(2)求出2)f(x )的最小值(3)设定函数h(x)=f(x )，x(a，)，直接写出不等式h(x)1的解集(不需要给出运算顺序)。求出审查问题视点(1)a取值的范围，可以求出与a相关的不等式，求出不等式(2)f(x )的最大值因为小的值f(x )可以是分段函数，所以分段函数的最大值可以被分段地获得并且要考虑组合的值(3)a在论述时，必须找到适当的分类标准规范解答解(1)f(0)=-a|-a|1，因此