球坐标系中拉普拉斯算符麦达式的推导

第 2 7卷第 5期 ， o 1 2 7 No 5 唐 山 师 范 学 院 学 报 J o u r n a l o fT a n g s h a n T e a c h e r s C o l l e g e 2 0 0 5 年 9月 S e p 20 0 5 球坐标系中拉普拉斯算符表达式的推导 姚久民，石凤 良 ( 唐山师范学院 物理系，河北 唐山0 6 3 0 0 0 ) 摘要：根据直角坐标 X 、Y 、z与球坐标 r 、0、 出球坐标系中拉普拉斯算符的表达式。 关键词：偏导数；球坐标系；拉普拉斯算符 中图分类号 ：0 4 1 3 1 文献标识码：A 巾之间的关系，由直角坐标系中拉普拉斯算符的表达式推 文章编号 ：1 0 0 9 9 1 1 5( 2 0 0 5 )0 5 0 0 6 7 0 5 l 引 舌 由 直 角 坐 标 系 中 哈 密 顿 算 符 V = + + 昙的 表 达 式 可 推 导 出 拉 普 拉 斯 算 符 d z - ( 昙 + 歹 号 + 云 ( 昙 + 歹 号 + = 0 2 + 0 2 + 0 2Oz Oz 2 出 但我们却不能根据球坐标系V= 旦 O r + r + 得 出 ，Sl n =( - er+ r 旦 O 0 + 易 ) (导 + + r sin O 一 ) = 0 2 + 专 著+ ， 2 sin 2 0 面 2 文献 虽给出了正确的推导过程，但不容易理解。本文从拉普拉斯算符在直角坐标系中的表达式推导出它在球坐标系中 的表达式。虽然推导过程稍嫌繁琐，但却浅显易懂，适合学生掌握。 根据 直角坐标和球坐标 的坐标关系 X：r s i n a c o s o 9 y=r s i n O s i n q 9 z =r c o s O ， 2 =x 2 + 2 +z 2 c o s 0=三 r 增 =一 y 所 以 ， 、0、 是 夫 十 、Y、z的 函 数 ， 即 ， =，( 、Y、z )，0=0( X 、Y 、z )， = ( 、 J ， 、z )。 根据微分形式 的不变性可知【 】 a a Or 8 O 0 8 a a a Or a O0 a 8 a a Or a O 0 a a m 一 十 面 十 一O y O r O y+ 一O 0 O y+ 一 O y一O z + + v ,r - 善： 旦 ( 旦 ) _ I O 一0 一Or + 旦 + ) 。 l ) = I + + ：一 1 O x O x、 O x O x Or O x O0 O x 。 a O x = 0 0 O r + O O r O + 0 0 O 0 + 0 0 o 0 + O( 、 却 O ， ) O q + 0 ( ， O q ，) a 0 ： 旦+ 旦+ 三4- 旦( + 旦( 旦) + 旦r 旦) 却 一+ 一 一l 一 一 、一上 一， 、 ， Or。 O x 2 O 0。 O x 2 a 。 。 O x a 。 、 a - U 昙 (导 ) = 0 c 0 O r + 0 t 0 0 o + 亳 (昙 ) = 0 2 Or + + 岳 = 0 t 0 O r + 0 t 0 O 0 +易 = 嘉 + O r + 收稿 期：2 0 0 4 0 8 2 6 作 行简介 ：姚久 民 ( 1 9 6 6 - ) ，男 ，河北丰润人 ，唐 山师范学院物理系实验师 。 6 7 维普资讯 第 2 7卷第 5期 唐 山 师 范 学 院 学 报 2 0 0 5年第 5期 昙 c嘉 ， = c专 鲁 + 旦O 0 c专 ， O 0 + 嘉 专 ， = 鲁 + + 又 因 为 = ，岳= 茜， ： ， 可 得 一 0 2 O x2=旦O r O x 2+ 害 + 害 + 吾 岳 + 导 ： 一 一 + 丽 + + ) ) 寺 ) ， ，a ： a ， 却 ，a a a t 二 十 二 + Z 一一 ：一 O r O 0 一a 国 一 0 2 = 旦 + 害 + 南 害 + 0 2 c 0r ，2 +Oy 2 Or & 2 导 导 ： 一 一 + 丽 + + 寺 ， ，a ： a r a ，a 却 ， 却 十 + 一一 + 2 一一 = 一 O r O 0 O y O y O y O y 。 一a o y o y 0 2 = 昙 鲁 + + 南 窘 + 0 2 妄 )2 + 岳 尝 鲁 害 + 丽 + + ) ) 寺 ) ， a ， a 却 a 却 丽 一O r O 一& 吉 丽 蓄 、 8 8 a 田 + 02 + = 昙 c + 0 2r + 窘 c + 害 + + + 害 + + 嗉 + + 若 + + 导 + + 2 02 O r O 0 妻 + 鱼Oy Oy + 妻 警 + 2 警 + + 喜 + 2 + 二 一一 一 十 一 一 + 一 一 l+ 一I一 二 上 二 二 三 、 I ， V ， V V V V 、 。 。 a r a 、 。 十 O 0 a O 0、 一 + l 2 根据球坐标和直角坐标的关系来求式 ( 4 )中的各偏导数之值 2 1 求 O r O r 由 +y 2 +z 2,得2 r 2 ， 2 r 2 y ， 2 r 妄 = 2 z ， O r = 詈 ， O r = Y ， O r = 吾 噼 r r 2 2 求 警 ， ，警 o S 4-s i n 0 O 0 r = 李 (擅 p 同理 =r c o s O - r s i n O s i n = V y ， c O s 0 ， s i nOc o s ， 3 s i n0 C O S 0s i n ， Z _ 0 0 ： 一 r- z鱼 1 ：一 三 ： 一 = ! ： 一 ：一 r s i n0 r 2 s i n0 r 3 s i n 一一 s 一 2 3 求 ， o y ， 一 6 8 C O S Oc o s r ( 1 ) ( 2) ( 3 ) ( 4) 季 未 塑 维普资讯 丝 ! 堡坐 墨 拉普拉斯算符表达式的推导 由 毒 ， 得 sec r s嚣in 0 CO S- = r 2 si学 2 0 2一 r s in 0 出 口 n c0 s m 同理 ： V y ! ! ： r s i n0c o s r s i n0 2 4 求 + a 2 r + a2 r C r ： r a r Z 0z r a2 r = r m x m = ：0 0z r r r2 r2 _ x2 r2 一 r2 s i n20c o s 2口 =一= - 一= r3 r 3 一 号 ： 拳 ： 丁r2_ y2 ： r2- r2 sin2Osin2o： a 2 r a 2 r a 2 + + 2 s 求 + + 。 = ot c os Oc os o r Z r r2 r2 一 z2 r2 一 r2 c o s20 = r3 r 3 l s i n20c os 2 +l - s i n 2 Os i n 2 +1 - cos20 2 - r s i n Oc o s p c os Oc o s p r ， l s i n20c os 2 口 l s i n2Os i n2口 l c os 20 n c o s r -rC O S n 要_ c 0 s s r2 ， c 0 s Os i n p- s i c 0 s 口 n ( - c o s O rs i nO ， 2 r s i n Oc o s p s i n O c o s c 。 S 2 + c o s tg _ s i n 一 2( o s i n c 。 s c 。 s 2 s m o ， 2 腿拳= 竺 ： ： s n + n s n 2 S ! 一 一 r 2 a 2 0 2 s i n 0 C O S 0 8z 2 r 2 2 求 + + ： - s i n r s i n0 a2 a 2 0 a 2 0 a 2 0 C O S 0 + + 而 二 竺 ： 二 竺竺 - s in 二 ： 五a r ： a 0 , 一= l卫 l_ _ r s i n 0 r s i n20 s i n c o s +s i n s i nOs i n0c o s t a +r c o s O c o s Oc o s o r2 s i n2 0 ： ! ! ! 竺 ! ! ! ： ! 竺 ! r2 s i n20 r2 s i n20 6 9 字 = 立 一 S一 一 一 S o C 一 卜一 y一 一 S o C 一 一 S o C 一 ， 一 = 塑 维普资讯 第2 7 卷第 5 期 唐 山师范 学院 学报 2 0 0 5 年第 5 期 軎一 2 sin co s ， = 。 _ 一 + + =。 2 7求( ) + ( ) + ( ) 以 o y 0 z t T r 。 一 C ， ： O y r t T r Z ( ， ( ) z： x2 ： = S i z 。 o S 2 G r r ( z： ： =S i z z ， ， ( z： ： z 0z r r ( ) +( ) +( ) ：l dx dv 出 2 8 求 ( ) + ( ) + ( ) 容 易 求 得 ( + ( + (警 = 2 9 求( ) + ( ) + ( ) 出 8 z =一 = = 、 + + = r 以 0 z i n 2 1 0求 ， ， 拿： 三 ： s in c o s ： ， 出 8 r 8 0 s i n C O S 2 1 1求 。 。 宴： Y ： s i n 0 s i n (a ， COS COS 詈 = = o = 。 a s i n 一 r s i n 一 c os O s i nc os ， 2 s i n a c y a s i nOc o s Os i n 2 ， 2 1 2求 ， ， a z ： cos 02 C OS s i n ， a ：一 ： 0 ， d COS -一 ， s i n s i n COS 8 r a 8 a P a s i nOc o s Oc o s 2 a 8 a 0 c o s 0s i n(ac o s (a 一_ _ _ _ _ _ _ _ 。_ _ 一 ，2 s i n s i n C OS ：0 2 1 3求 + + ， + + ， + + 。 70 ：0 维普资讯 垦： 球坐标系中 拉普拉斯算符表达式的推导 。 - _ _ _ _ _ _ ， r一 享 + & _0 0 + _& 一0 0 sin 0 co s 0 c o s 2 p + s in 0 c o s0 s in 2 (p 一 s in 0 c o s 0 一 一十 一 一十 一 一 0 z r r + + ：一 +s i n cos +0：0 一一t一一十一一 一j - nn r 。 r 一 票 + + co p co Co ： 一 + + 0 ： 00 一一十 一一 十 一一 J-一r 。 - n n a z z r 2 s i n 0 r 2 s i n 一 一 3结论 将所求 得的备式的值代入 ( 4 )式 ，得 a2 a2 a2 2 a c Os0 a co2 1 co2 ax2 十 + + + + + r 2 s i n 20 a 2 = 0 又一 r2 s i n0斋 c sin ， cc。 s 嘉 n 著 ， + 专 著 1 co( r 2 _ O _ ， = c2 r 昙 + r 等 ， ： 导 + 暑 则 ( 5 )武_，叟为 co 2 co 2 毒= 1 L-C - r2 r (rz t 鲁tl n + 一 )+ (s彻 )+ r2 sin 2 0 2 球 坐 标 系 中 拉 普 拉 斯 算 符 的 表 达 武 为 【】 导 (r + 嘉 (S in 参考文献 ： 【 I 梁昆淼 数学物理方法【 M 北京： 人民教育出版社 ，1 9 8 1 51 1 ， 旦 、 +一 ae 2 s i n 2 0 co C o 2 【 2 四川人学数学系， 高等数学教研室 高等数学 ( 第三版，第二册)【 M ，北京： 高等教育出版社， 1 9 9 6 ， 3 】圳世勋， 量了力学教程【 M ， 北京： 高等教育出版社 1 9 7 9 ， 6 5 ， Th e De d u c t i o n o f t h e Re p r e s e n t a t i v e o f La p l a c e S Op e r a t o r i n S p h e r i c a l Co o r d i n a t e S y s t e m SHI Fe n g l i a n g， ZHANG Ha i - p i n g ( P h y s i c s D e p a r t m e n t ， T a n g s h a n r e a c h e r s C o l l e g e ，H e b e i T a n g s h a n 0 6 3 0 0 0 ， C h i n a ) ( 5) Ab