矩估计与极大似然估计的典型例题

关于矩估计与极大似然估计的典型例题关于矩估计与极大似然估计的典型例题关于矩估计与极大似然估计的典型例题关于矩估计与极大似然估计的典型例题 例例例例 1 1 1 1，设总体，设总体，设总体，设总体X具有分布律具有分布律具有分布律具有分布律 22 )1 ()1 (2 321 X 其中其中其中其中10 = = )1( )1( 1 , 0 ),/ )(exp( 1 x xnx n i i n 在求极大似然估计时在求极大似然估计时在求极大似然估计时在求极大似然估计时， 0)(=，L 肯定不是最大值的似然函数肯定不是最大值的似然函数肯定不是最大值的似然函数肯定不是最大值的似然函数 值，不考虑这部分，只考虑另一部分。值，不考虑这部分，只考虑另一部分。值，不考虑这部分，只考虑另一部分。值，不考虑这部分，只考虑另一部分。 取另一部分的对数似然函数取另一部分的对数似然函数取另一部分的对数似然函数取另一部分的对数似然函数 )1( 1 ,/ )(ln),(lnxnxnL n i i = = = = += = 0 ),(ln 0 ),(ln 2 1 nL nx nL n i i 可知关于可知关于可知关于可知关于 ， 的驻点不存在，但能判定单调性的驻点不存在，但能判定单调性的驻点不存在，但能判定单调性的驻点不存在，但能判定单调性 由由由由 0 ),(ln = nL 知知知知 ,/ )(ln),(ln )1( 1 xnxnL n i i = = 关于关于关于关于是增函数，故是增函数，故是增函数，故是增函数，故 ) 1 ( x= 极 将之代入到将之代入到将之代入到将之代入到 0 ),(ln 2 1 = += = nx nL n i i 中得中得中得中得 ) 1 ( xx= 极 则则则则) 1 ( x= 极 ，) 1 ( xx= 极 一定能使得似然函数达到最大，故一定能使得似然函数达到最大，故一定能使得似然函数达到最大，故一定能使得似然函数达到最大，故 ， 的极大似然估计为的极大似然估计为的极大似然估计为的极大似然估计为 = = ) 1 ( ) 1 ( x xx 极 极 （2 2 2 2）列矩方程组（两个未知参数）列矩方程组（两个未知参数）列矩方程组（两个未知参数）列矩方程组（两个未知参数） =+= =+= + = + n i i X n dxxxXE XdxxxXE 1 2222 21 )(/ )(exp 1 )( / )(exp 1 )( 解出解出解出解出 = = = = n i i n i i XX n X XX n 1 2 1 2 )( 1 )( 1 矩 矩 例例例例 3 3 3 3， 设总体设总体设总体设总体 , 0 UX ， 其中其中其中其中0为未知参数为未知参数为未知参数为未知参数， n XXX, 21 K 为为为为 来自总体来自总体来自总体来自总体X的一组简单随机样本的一组简单随机样本的一组简单随机样本的一组简单随机样本， n xxx, 21 K 为样本观察值为样本观察值为样本观察值为样本观察值，求未求未求未求未 知参数知参数知参数知参数的极大似然估计。的极大似然估计。的极大似然估计。的极大似然估计。 解：似然函数，即样本的联合概率密度解：似然函数，即样本的联合概率密度解：似然函数，即样本的联合概率密度解：似然函数，即样本的联合概率密度 = else xxx xfxxxfL n n n i in , 0 ,0 , 1 )();,()( 21 1 21 L L 0)(=L 肯定不是最大值，考虑另一部分的最大值，肯定不是最大值，考虑另一部分的最大值，肯定不是最大值，考虑另一部分的最大值，肯定不是最大值，考虑另一部分的最大值， 取对数似然取对数似然取对数似然取对数似然 )( ,ln)(ln n xnL= 0 )(ln = n d Ld 知知知知 ln)(lnnL= 在在在在)(n x 内是单调递减的，故内是单调递减的，故内是单调递减的，故内是单调递减的，故 取取取取)(n x 能使得似然函数达到最大，则能使得似然函数达到最大，则能使得似然函数达到最大，则能使得似然函数达到最大，则的极大