离散数学函数的复合与反函数

4.7函数的复合与反函数,函数的复合函数复合的定理函数复合的性质反函数反函数存在的条件反函数的性质,由于函数是一种特殊的二元关系，两个函数的复合本质上就是两个关系的合成，因此函数的合成方法与关系的合成方法是一致的。,由图可知f和g合成后的函数称为复合函数，记为gf。且gf=,。,例如:已知f是A到B的函数，g是B到C的函数，它们所确定的对应关系如图所示。,f=,，g=,，,由于函数是一种特殊的二元关系同，两个函数的复合本质上就是两个关系的合成。,例如设f是A到B的函数，g是B到C的函数，它对所确定的对应关系如图所示：,如果将函数f看作是A到B的二元关系，g看作是B到C的二元关系，合成后的关系记为R，它是A到C的二元关系，记为R=fg，且R=(x,b),(y,b),(z,a).,f=,，g=,，,一、复合函数的定义,设f是A到B的函数，g是B到C的函数，f和g合成后的函数称为复合函数，记为gf。它是A到C的函数。当aA,bB,cC，且f(a)=b,f(b)=c时，gf(a)=c.,注意：当f和g看作是二元关系时，合成后的关系记为fg，但当f和g看作是函数时f和g合成后的函数称为复合函数，记为gf。,定理设F,G是函数,则FG也是函数,且满足(1)dom(FG)=x|xdomFF(x)domG(2)xdom(FG)有FG(x)=F(G(x),例：设集合A=x,y,z,B=a,b,c,d,C=1,2,3,f是A到B的函数，g是B到C的函数，其中f(x)=b,f(y)=c,f(z)=cg(a)=1,g(b)=2,g(c)=1,g(d)=3求复合函数gf。,解：由定义可知复合函数gf是A到C的函数。且gf(x)=g(f(x)=g(b)=2.,gf(y)=g(f(y)=g(c)=1.,gf(z)=g(f(z)=g(c)=1.,推论1设f：AB,g：BC,则fg：AC,且xA都有fg(x)=f(g(x).,推论2设F,G,H为函数,则(FG)H和F(GH)都是函数,且(FG)H=F(GH),由于函数是一种特殊的二元关系，而二元关系的合成可以看作是一种运算，且这种运算满足结合律但不满足交换律。于是有：,推论3设F,G为函数,则FG和GF都是函数,且FGGF,函数复合运算的性质,定理设f：AB,g：BC.(1)如果f和g都是单射函数,则gf：AC也是单射的函数.(2)如果f和g都是满射函数,则gf：AC也是满射的函数.(3)如果f和g都是双射函数,则gf：AC也是双射的函数.,证(1)cC,由g：BC的满射性,bB使得g(b)=c.对这个b,由f：AB的满射性，aA使得f(a)=b.由合成定理有gf(a)=g(f(a)=g(b)=c从而证明了fg：AC是满射的.,二、函数的逆（反函数）,对于二元关系R，只要交换所有的有序对，就能得到逆关系；,但对于函数f,交换所有的有序对得到的逆关系到却不一定是函数，只有当f为双射函数时其逆关系才是函数。,二、反函数(函数的逆),但对于函数f,交换f的所有有序对得到的逆关系f1是二元关系却不一定是函数。如：F=,，F1=,对于二元关系R，只要交换所有有序对的顺序，就能得其逆关系；,反函数存在的条件,但对于函数f,交换所有的有序对得到的逆关系到却不一定是函数，只有当f为双射函数时其逆关系才是函数。,反函数的定义及性质,反函数的定义：对于双射函数f：AB,称f1：BA是它的反函数.,定理设f：AB是双射的,则f1：BA也是双射的.,反函数的性质：定理:设f：AB是双射的,则f1f=IA,ff1=IB对于双射函数f：AA,有f1f=ff1=IA,函数复合与反函数的计算,例：设R是实数集，且f,g,h是R到R的函数其中f(x)=1+x,g(x)=1+x2,h(x)=1+x3,求fg,gf，(fg)h和f(gh).,解：fg(x)=f(1+x2)=2+x2,gf(x)=g(1+x)=1+(1+x)2,(fg)h(x)=(fg)(1+x3)=2+(1+x3)2,f(gh)(x)=f(1+(1+x3)2)=2+(1+x3)2,思考：设f：RR,g：RR求fg,gf.如果f和g存在反函数,求出它们的反函数.,f：RR不是双射的,不存在反函数.g：RR是双射的,它的反函数是g1：RR,g1(x)=x2,解：,思考：设a1,a2,an是任意的n个正整数，证明存在i和k(i0,k1)，使得ai+1+ai+2+ai+k能被n整除。,三、鸽洞原理,如果某人营造了n个鸽洞，养了多于n只鸽子，则必有一个鸽洞有2只或2只以上的鸽子，这就是鸽洞原理。,用数学语言来描述这个原理，即：A，B是有限集合，f是A到B的函数，如果AB，则A中至少有两个元素，其函数值相等。,一般的情况是：当鸽洞为n个，鸽子数大于nm只时，必有一个鸽洞住有m+1只或多于m+1只鸽子。,例如，有3个鸽洞，13只鸽子，则必有一个鸽洞，住有5只或5只以上的鸽子。,更一般的情况是：A，B是有限集合，f是A到B的函数，如果Anm，B=n，则在A中至少有m+1个元素，其函数值相等。,例：证明任意n+1个正整数，其中必有两个数之差被n整除。,证明由于任意正整数被n除后，其余数只能是0，1，2n-1，所以n+1个正整数中，必有两个数被n除后余数相同，因此这两个数之差必能被n整除。,例:某人步行驶10小时，共走45公里，已知他第一小时走了6公里，最后一小时只走了2公里，证明必有连续的两小时，在这两小时内至少走了10公里。,证明:设第i小时走了ai公里，连续的两小时所走里程为a1+a2,a2+a3,a9+a10,共有9种；因为（a1+a2）+（a2+a3）+(a9+a10)=245-6-2=82,所以必有连续的两小时里所走里程大于等于10公里。,例:证明在1100的正整数中，任取51个正整数，其中必存在两个数，一个数是另一个数的倍数。,证明对于任意的偶数，使得：偶数=奇数2k.构造以下50个集合：A1=1，12，122，123，124，125，126A3=3，32，322，323，324，325A5=5，52，522，523，524A7=7，72，722，723A9=9，92，922，923A11=11，112，1122，1123A13=13，132，1322.A49=49，492A51=51A53=53.A99=99,这50个集合中元素的总和共100个，恰好是1100的所有正整数，且在含有2个或2个以上元素的集合A1，A3，A5，,A49中，同一个集合中的任意两个正整数必是：一个数是另一个数的倍数。因此在1100的正整数中任取51个数，其中至少有两个数属于同一个集合，所以这两个数中有一个数是另一个的倍数。,证明A1(小王)A2(小张)A3(小何)A4(小周)A5(小杨)A6(小刘),思考:试证在任意六个人中必有三人他们相互认识或相互不认识.,例:在一个有6个点的完全图中，给每一条边涂色，可随意涂红色或白色。证明在这个完全图中，必存在一个三角形，其三条边的颜色相同。,证明A1A1A2A3A2A3A4A5A4A5A6A6,思考：设a1,a2,an是任意的n个正整数，证明存在i和k(i0,k1)，使得ai+1+ai+2+ai+k能被n整除。,证明令A1=a1A2=a1+a2A3=a1+a2+a3An=a1+a2+an在这n个数A1，A2，An中，如果有一个数能被n整