长方体和正方体知识点-例题-习题

第1节 长方体和正方体的认识典型例题例1一个长方体长8厘米，宽6厘米，高4厘米，它的棱长总和是多少厘米？分析：根据长方体的特征，它相对的棱（3组，每组4条）的长度相等，那么长方体的棱长和等于长、宽、高的4倍解：（864）418472（厘米）答：它的棱长总和是72厘米例2用一根48厘米的铁丝焊接成一个最大的正方体框架，这个框架的每条边应该是多少厘米？分析：根据正方体的特征，它的12条棱长都相等，把48厘米平均分成12份，每份就是一条棱的长度解：48124（厘米）答：这个框架的每条边应该是4厘米例3用棱长1厘米的小正方体摆成稍大一些的正方体，至少需要多少个小正方体？分析：题目要求至少要多少个棱长为1厘米的小正方体，那么拼成的棱长应尽量小，所以应该考虑棱长为2的立方体，体积是8立方厘米，所以要8个解：2228（个）答：至少需要8个小正方体例4将下面的硬纸板按照虚线折成一个立方体，哪个面与哪个面相对？分析：通过实验可以看到带有标号的面7与10，面8与11，面9与12是相对的面例5一个正方体的六个面上，分别写着“1”“2”“3”“4”“5”“6”根据下面摆放的三种情况，判断出每个对面上的数字是几？分析：正方体有6个面，每一个面有一个相对的面，而与其余四个面相邻解题时我们如果抓住这一特征，确定某一个面与哪四个面相邻，于是就不难判断出这一面相对的面上的数字是几了即排除包括自己在内的五个数字，剩下的就是与某一面相对的面上数字了先以“3”为例：从上面左图可以看出，“3”面与“2”面、“1”面相邻；从中图可以看出“3”面又与“4”面、“5”面相邻这就是说，“3”面与“1”面、“2”面、“4”面和“5”面这四个面相邻那么，就可以很快知道，“3”面与“6”面相对再来看“1”面：从上面左图可看出，“1”面与“2”面“3”面相邻；从右图可看出，“1”面又与“6”面“4”面相邻，这就是说，与“1”相邻的四个面，是“2”面、“3”面、“4”面和“6”面，那么，与“1”面相对的面就只能是“5”面了最后看“4”面：从上面中图可以看出，“4”面与“3”面、“5”面相邻；从右图可以看出，“4”面又与“1”面“6”面相邻这就是说，与“4”面相邻的四个面，是“1”面、“3”面、“5”面和“6”面，于是可知，与“4”面相对是面是“2”面所以题目的结论是：这个正方体上相对的面，分别是“1”面和“5”面、“2”面和“4”面、“3”面和“6”面解：这个正方体上相对的面，分别是“1”面和“5”面、“2”面和“4”面、“3”面和“6”面习题精选一、填空1长方体有（）个面，它们一般都是（）形，也可能有（）个面是正方形2长方体的上面和下面、前面和后面、左面和右面都叫做（），它们的面积（）3长方体的12条棱，每相对的（）条棱算作一组，12条棱可以分成（）组4正方体有（）个面，每个面都是（）形，面积都（）5一个正方体的棱长是6厘米，它的棱长总和是（）6一个长方体的长是1.5分米，宽是1.2分米，高是1分米，它的棱长和是（）分米7一个长方体的棱长总和是80厘米，其中长是10厘米，宽是7厘米，高是（ ）厘米8把两个棱长1厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的棱长总和是（）厘米二、判断题1长方体和正方体都有6个面，12条棱，8个顶点（）2长方体的6个面不可能有正方形（）3长方体的12条棱中，长、宽、高各有4条（）4正方体不仅相对的面的面积相等，而且所有相邻的面的面积也都相等 （）5长方体（不包括正方体）除了相对的面相等，也可能有两个相邻的面相等（）6一个长方体长12厘米，宽8厘米，高7厘米，把它切成一个尽可能大的正方体，这个正方体的棱长是8厘米（）三、选择题1下列物体中，形状不是长方体的是（）火柴盒 红砖 茶杯 木箱2长方体的12条棱中，高有（ ）条4 6 8 123下列三个图形中，能拼成正方体的是（ ）4把一个棱长3分米的正方体切成两个相等的长方体，增加的两个面的总面积是（ ）平方分米18 9 36 以上答案都不对参考答案一、填空16 长方形 22相对面 相等 34 346 正方形 相等572厘米614.873816二、判断题1 2 34 5 6三、选择题123和4第2节 长方体和正方体的表面积例1一种有盖的长方体铁皮盒，长8厘米，宽5厘米，高3厘米做25个这样的盒子至少需要多少平方米铁皮？（不计接口面积）分析：根据长方体表面积的计算方法，先求出一个盒子需要的铁皮数量，然后就可以求出25个这样的盒子需要的铁皮数量解：（858353）225158253950（平方厘米）0.395（平方米）答：至少需要0.395平方米的铁皮例2一个长方体，表面积是456平方厘米，它的底面是一个边长为4厘米的正方形，它的高是多少厘米？分析：题目中给出这个长方体底面是一个边长为4厘米的正方形，说明这个长方体是有两个相对的面是正方形的，其余4个面是面积相等的长方形，只要我们求出一个长方形面的面积，再用面积除以底面的边长，就算出了长方体的高了这也是利用长方体的特征，逆解题目解：456442424（平方厘米）4244106（平方厘米）106426.5（厘米）答：它的高是26.5厘米例3一个教室长8米，宽6米，高3.5米，要粉刷教室的墙壁和天花板门窗和黑板的面积是22平方米，平均每平方米用涂料0.25千克，粉刷这个教室共需要涂料多少千克？分析：求需要涂料多少千克，必须先求出实际粉刷的面积长方体的表面积去掉门窗、黑板和地面的面积就是实际粉刷的面积解：（1）粉刷的面积为：（8683.563.5）28622（482821）2482297248221944822124（平方米）（2）需要涂料的重量为：0.2512431（千克）答：粉刷这个教室共需要涂料31千克例4将一个长12厘米，宽9厘米，高5厘米的长方体，切成两个长方体，两个长方体表面积的总和最多是多少平方厘米？最少是多少平方厘米？分析：切割长方体一次，原来的表面积增加两个面的面积，要使切开后的两个长方体表面积的总和最多（少），必须使横截面的面积最大（小）解：（12912595）21292（1086045）22162132216642（平方厘米）（12912595）2952（1086045）290213290516（平方厘米）答：两个长方体表面积的总和最多是642平方厘米，最少是516平方厘米例5一个正方体，棱长的总和是96厘米这个正方体的表面积是多少？分析：因为正方体的12根棱长都相等，所以可知，这个正方体的棱长是96128（厘米）又由于正方体有相等的6个面，每个都是正方形解：886384（平方厘米）答：这个正方体的表面积是384平方厘米例6做两个同样的正方体纸盒，一个有盖一个无盖，有盖纸盒用的纸板是无盖纸盒的多少倍？分析：有盖纸盒的表面积是它的一个面面积的6倍，无盖纸盒的表面积是它的一个面面积的5倍，而两个同样的正方体纸盒的面的面积是相等的，所以有盖纸盒用的纸板是无盖纸盒的651.2倍解：651.2答：有盖纸盒用的纸板是无盖纸盒的1.2倍习题精选一、填空题1（1）下图上、下每个面的长（ ）厘米，宽（ ）厘米，面积是（ ）；（2）前、后每个面的长是（ ）厘米，宽是（ ）厘米，面积是（ ）；（3）左、右每个面的长是（ ）厘米，宽是（ ）厘米，面积是（ ）（4）它的表面积是（ ）2（1）下图中上面的面积是（ ），前面的面积是（ ），右面的面积是（ ）；（2）计算它的表面积的算式是（ ）二、计算题求下面各长方体的表面积：1长6米，宽3米，高2米2长8分米，宽4.5分米，高2分米3长和宽都是6厘米，高3.4厘米三、应用题1做一个长方体的纸箱，长0.8米，宽0.6米，高0.4米做这个纸箱至少需要纸板多少平方米？2一个正方体的木箱，棱长5分米，在它的表面涂漆，涂漆的面积是多少？如果每平方分米用漆8克，涂这个木箱要用漆多少克？合多少千克？3一个长方体的铁皮盒，长25厘米，宽20厘米，高8厘米做这个铁皮盒至少要用多少平方厘米铁皮？参考答案一、1（1）下图上、下每个面的长（ 9 ）厘米，宽（ 3 ）厘米，面积是（27平方厘米）；（2）前、后每个面的长是（ 9 ）厘米，宽是（ 4 ）厘米，面积是（36平方厘米 ）；（3）左、右每个面的长是（ 4 ）厘米，宽是（ 3 ）厘米，面积是（12平方厘米）（4）它的表面积是：939443）2150（平方厘米）2（1）下图中上面的面积是（36平方分米），前面的面积是（48平方分米），右面的面积是（48平方分米）；（2）计算它的表面积的算式是：662684264（平方分米 ）二、1（636232）272（平方米）2（84.5824.52）2122（平方分米）366263.44153.6（平方厘米）三、1（0.80.60.80.40.60.4）22.08（平方米）答：至少需要纸板2.08平方米2556150（平方分米）答：涂漆的面积是150平方分米81501200（克）1.2（千克）答：要用漆1200克，合1.2千克3（2520258208）21720（平方厘米）答：至少要用1720平方厘米铁皮 第3节 长方体和正方体的体积（一） 典型例题例1把一个棱长6分米的正方体钢坯，锻造成一个宽3分米，高2分米的长方体钢件，这个钢件长多少分米？分析：把正方体钢坯锻造成长方体钢件，形状改变了，但是体积没有改变，即正方体的体积和长方体的体积相等已知长方体的宽和高，用体积除以宽，要再除以高，就可以求出长解：666322163236（分米）答：这个钢件的长是36分米例2一个正方体的铁皮油箱，从里面量得棱长为6分米，里面装满汽油如果把这箱汽油全部倒入一个长10分米、宽8分米、高5分米的长方体铁皮油箱中，那么，油面离箱口还有多少分米？分析：根据题意，可先求得正方体铁皮油箱的汽油体积为：666216（立方分米）而长方体油箱底面积是10880（平方分米），所以，汽油在长方体铁皮油箱里的高度是216802.7（分米）因此，油面离油箱口的高度就是：52.72.3（分米）答：油面离油箱口还有2.3分米例3一段方钢长3米，横截面是一个边长为0.4分米的正方形如果1立方分米的钢重7.8千克，那么这段方钢有多重？分析：题目中的长度单位不统一，为计算的方便，可都化成以分米为单位来进行计算解：3米30分米0.40.4304.8（立方分米）7.84.837.44（千克）答：这段方钢的重量是37.44千克例4有沙土12立方米，要铺在长5米，宽4米的房间里，可以铺多厚？分析：此题要把12立方米的沙土铺在房间里，也就是铺成一个长5米、宽4米、厚 米的长方体，我们就可以用方程法求出所求问题了这题是一道利用体积计算公式逆解的题遇到此类题用方程法解即可解：设可铺 米厚45 12 0.6答：可以铺0.6米厚例5一个长方体的底面长6厘米，长是宽的1.2倍，宽比高少0.5厘米，这个长方体的体积是多少立方厘米？分析：这道题要求的是长方体的体积，求体积就必须知道长方形的长、宽、高此题只直接给出了长，宽和高是间接给出的，因此应先用求一倍量的方法求出宽，再根据“求比一个数多几的数是多少”的题型算出高，最后用公式Vabh算出体积就可以了解：61.25（厘米）50.55.5（厘米）655.5165（平方厘米）答：这个长方体的体积是165平方厘米例6在长为12厘米、宽为10厘米、8厘米深的玻璃缸中放入一石块并没入水中，这时水面上升2厘米石块的体积是多少？分析：把石块浸没在装水的长方体玻璃缸中，石块占有一定的空间，从而使水的体积增大，它的具体表现就是水面上升，不管石块的形状如何，只要求出增加的体积就可以了（即石块的体积） 解：12102240（立方厘米）答：石块的体积是240立方厘米例7把棱长6厘米的正方体铁块锻造成宽和高都是4厘米的长方体铁条，能锻造出多长？分析：我们不难看出，棱长6厘米的正方体和要锻造的长方体的体积相等，只不过形状不一样，这类题叫等积变形题只要求出正方体的体积就是长方体的体积了解：6664413.5（厘米）答：能锻造13.5厘米长习题精选一、填空题1物体所占空间的大小叫做物体的（ ）2计量体积要用（ ）单位，常用的体积单位有（ ）（ ）和（ ）3棱长1厘米的正方体体积是（ ），棱长1分米的正方体体积是（ ），棱长1米的正方体体积是（ ）4长方体的体积（ ），正方体的体积（ ）5在括号里填上合适的计量单位（1）一本数学解题题典封面的周长是80（ ），面积是375（ ），体积是1125（ ）（2）一块橡皮的体积是6（ ），一只卫生保健箱的体积是30（ ），一堆钢材的体积是4（ ）二、判断题1一块长方体木料，长6分米，宽4分米，厚3分米容积是72升（ ）2一个游泳池的容积是1000毫升（ ）3一个正方体的棱长扩大2倍，体积就扩大8倍（ ）4一个长方体的木箱，它的体积和容积一样大（ ）5一只杯子能装水1升，杯子的容积就是1立方分米（ ）三、计算题看图计算下面长方体和正方体的体积123四、应用题1一个长方体木箱，长7分米，宽4分米，高3.5分米这个木箱的体积是多少？2一块方砖的厚是5厘米，长和宽都是30厘米求这块方砖的体积3一块正方体石料，棱长是0.8米这块石料的体积是多少立方分米？五、提高题1下图是由棱长为1厘米的小正方体拼摆而成的这个拼摆而成的形体的表面积是多少平方厘米？体积是多少立方厘米？至少再摆上几个小正方体后就可以拼摆成一个正方体？2一个长方体玻璃容器，长5分米，宽4分米，高6分米，向容器中倒入30升水，再把一块石头放入水中，这时量得容器内的水深20厘米，石头的体积是多少立方分米？参考答案一、1物体所占空间的大小叫做物体的（体积）2计量体积要用（体积）单位，常用的体积单位有（立方厘米）（立方分米）和（立方米）3棱长1厘米的正方体体积是（1立方厘米），棱长1分米的正方体体积是（1立方分米），棱长1米的正方体体积是（1立方米）4长方体的体积（长宽高），正方体的体积（棱长棱长棱长）5在括号里填上合适的计量单位（1）一本数学解题题典封面的周长是80（厘米），面积是375（平方厘米），体积是1125（立方厘米）（2）一块橡皮的体积是6（立方厘米），一只卫生保健箱的体积是30（立方分米），一堆钢材的体积是4（立方米）二、1一块长方体木料，长6分米，宽4分米，厚3分米容积是72升（ ）2一个游泳池的容积是1000毫升（ ）3一个正方体的棱长扩大2倍，体积就扩大8倍（ ）4一个长方体的木箱，它的体积和容积一样大（ ）5一只杯子能装水1升，杯子的容积就是1立方分米（ ）三、1485240（立方厘米）20.360.60.216（立方米）39872（立方分米）四、1743.898（立方分米）答：这个木箱的体积是98立方分米2303054500（立方厘米）答：这块方砖的体积是4500立方厘米30.80.80.80.512（立方米）答：这块石料的体积是512立方分米五、1（11）4848（平方厘米）（111）1818（立方厘米）339（个）答：表面积是48平方厘米，体积是18立方厘米，至少再摆上9个小正方体就可以拼成一个正方体254230（54） 10（立方分米） 或5423010（立方分米）答：石头的体积是10立方分米 2-3 长方体和正方体的体积（二） 典型例题例1一个长方体沙坑的长是8米，宽是4.2米，深是0.6米，每立方米沙土重1.75吨，填平这个沙坑共要用沙土多少吨？分析：已知每立方米沙土重1.75吨，求共要用沙土多少吨，必须先求出共要沙土多少立方米，即先求出沙坑的容积解： 1.75（84.20.6）1.7520.1635.28（吨）答：共要沙土35.28吨例2长方体货仓1个，长50米，宽30米，高5米，这个货仓可以容纳8立方米的正方体货箱多少个？分析：已知正方体货箱的体积是8立方米，可以知道正方体货箱的棱长为2米货仓的长是50米，所以一排可以摆放50225个，宽是30米，可以摆放30215排，高是5米，可以摆放522层1米，所以一共可以摆放25152750个（如图）解：50225（个）30215（排）522层1米25152750（个）答：可以容纳8立方米的正方体货箱750个说明：如果此题先计算长方体货仓的体积（503057500立方米），然后再除以立方体的体积8立方米（75008937.5个）是不对的因为货仓的高是5米，立方体的棱长2米，只能摆放2层，上面的1米实际上是空的，没有摆放货箱例3一只底面是正方形的长方体铁箱，如果把它的侧面展开，正好得到一个边长是60厘米的正方形（1）这只铁箱的容积是多少升？（2）如果铁箱内装半箱水，求与水接触的面的面积分析：（1）根据侧面展开后是一个边长为60厘米的正方形，可以得出长方形的底面（正方形）的周长是60厘米，高也是60厘米由底面（正方形）的周长可以求出底面的面积从而求出容积（2）与水接触的面的面积是原长方体的侧面积的一半加上一个底面积而侧面积是边长60厘米的正方形的面积，底面积上面已经求出解：（1） 602256013500（立方厘米）13.5（升）（2）60602 1800225 2025（平方厘米）答：这只铁箱的容积是13.5升，如果装半箱水，与水接触的面积是2.25平方厘米例4有一个空的长方体容器 和一个水深24厘米的长方体容器 ，将容器 的水倒一部分到 ，使两容器水的高度相同，这时两容器相同的水深为几厘米？分析1：容器 的底面积是4030，容器 的底面积是3020，4030（3020）2，即 的底面积是 的底面积的2倍， 中的水倒一部分到 使 、 两容器水的高度相同，所以这个水深为24（21）8厘米解法1：244030（3020）1 2438（厘米）分析2：设这个相同的水深为 厘米，则 中倒出的水深为（24 ）厘米，倒出的水为3020（24 ）立方厘米，这些水就全部在 中， 中的水有4030 立方厘米，故可得方程解法2：设这个相同的水深为 厘米4030 3020（24 ）24 4030 （3020）24 2 3 24 8答：这个相同的水深是8厘米例5一个正方体木头，棱长是6厘米，在6个面的中央各挖一个长、宽、高都是2厘米的洞孔，这时它的表面积、体积各是多少？分析：表面积等于正方体表面积加上6个洞孔的4个面的面积；体积等于正方体的体积减去6个洞孔的体积解： 表面积为：666224621696312（平方厘米）体积为：666222621648168（立方厘米）答：表面积为312平方厘米，体积为168立方厘米例6有一块宽为22厘米的长方形铁皮，在四角上剪去边长为5厘米的正方形后（如图一），将它焊成一个无盖的长方体盒子（如图二），已知这个盒子的体积是2160立方厘米，求原来这块铁皮的面积是多少平方厘米？分析：已知盒子的体积是2160立方厘米，高为5厘米，这个盒子的底面积就可以求出，而这个盒子的底面长方形的宽为225212（厘米），所以这底面长方形的长也可以求出解：长方体盒子的长为：21605（2252） 4321236（厘米） 铁皮的面积为：（3652）2246221012（平方厘米）答：原来这块铁皮的面积是1012平方厘米习题精选一一、填空1、40立方米（ ）立方分米4立方分米5立方厘米（ ）立方分米30立方分米（ ）立方米0.85升（ ）毫升2100毫升（ ）立方厘米（ ）立方分米0.3升（ ）毫升（ ）立方厘米2、一个正方体的棱长和是12分米，它的体积是（ ）立方分米3、一个长方体的体积是30立方厘米，长是5厘米，高是3厘米，宽是（ ）厘米4、一个长方体的底面积是0.2平方米，高是8分米，它的体积是（ ）立方分米5、表面积是54平方厘米的正方体，它的体积是（ ）立方厘米6、正方体的棱长缩小3倍，它的体积就缩小（ ）倍7、一个长方体框架长8厘米，宽6厘米，高4厘米，做这个框架共要（ ）厘米铁丝，是求长方体（ ），在表面贴上塑料板，共要（ ）塑料板是求（ ），在里面能盛（ ）升水是求（ ），这个盒子有（ ）立方米是求（ ）8、长方体的长是6厘米，宽是4厘米，高是2厘米，它的棱长总和是（ ）厘米，六个面种最大的面积是（ ）平方厘米，表面积是（ ）平方厘米，体积是（ ）立方厘米二、判断1、体积单位比面积单位大，面积单位比长度单位大 （ ）2、正方体和长方体的体积都可以用底面积乘高来进行计算 （ ）3、表面积相等的两个长方体，它们的体积一定相等 （ ）4、长方体的体积就是长方体的容积 （ ）5、如果一个长方体能锯成四个完全一样的正方体，那么长方体前面的面积是底面积的4倍（ ）三、选择1、正方体的棱长扩大2倍，则体积扩大（ ）倍2 4 6 82、一根长方体木料，长1.5米，宽和厚都是2分米，把它锯成4段，表面积最少增加（ ）平方分米8 16 24 323、一个长方体的长、宽、高都扩大2倍，它的体积扩大（ ）倍2 4 6 84、表面积相等的长方体和正方体的体积相比，（ ）正方体体积大 长方体体积大 相等5、将一个正方体钢坯锻造成长方体，正方体和长方体（ ）体积相等，表面积不相等体积和表面积都不相等表面积相等，体积不相等 6、一个菜窖能容纳6立方米白菜，这个菜窖的（ ）是6立方米体积 容积 表面积参考答案一、填空1、40000； 4.005； 850； 2100、2.1； 300、3002、13、24、16005、276、277、72、棱长和、208、表面积、0.192、容积、0.192、体积8、48、24、88、48二、判断1、 2、 3、 4、 5、三、选择1、 2、 3、 4、 5、 6、二一、填表 二、计算下图的体积（单位：分米）三、应用题1、一块水泥砖长8厘米，宽6厘米，厚4厘米，它的体积是多少立方厘米？2、一个正方体木块，棱长6分米，已知每立方分米木重0.4千克，这个木块重多少千克?3、把一块棱长是20厘米的正方体钢坯，锻造成底面积是16平方厘米的长方体钢材，长方体钢材长多少厘米？参考答案一、填表 二、计算下图的体积（单位：分米）1、845160（立方分米）2、33763（立方分米）3、2.52.52.515.625（立方分米）三、应用题1、864192（立方厘米）答：它的体积是192立方厘米2、666216（立方分米）0.421686.4（千克）答：这个木块重86.4千克3、20202016800016500（厘米）答：钢材长500厘米 清水混凝土的配合比设计中，要针对当地水泥、砂石、外掺料及外加剂等原材料影响混凝土质量的多种因素进行分析，确定主要控制因素，并从经济性和使用要求综合考虑，优选出符合生产条件的最优方案组合。obstacles, correcting misunderstandings, advocate good cadre style. 2, adhere to the scientific decision-making and democratic decision-making decision-making law. Correctly handle to ensure that government decrees and based on the actual creative work, giving full play to subjective initiative, put an end to implement the conference meeting, to document the implementation of documents etc. Improve the scientific and democratic decision-making mechanism, improve and implement the decision to solicit the views of experts, the public hearing system. Improve the important decision of risk assessment mechanism and legal review mechanism. 3, to promote team unity. Uphold and improve the system of annual party book talk heart to heart, mind and Party members, Party members to exchange each other not less than 2 times. The implementation of sound team democratic life system, consolidate and enhance the partys mass line educational practice will promote the achievement of the topic of democratic life, criticism and self-criticism normalization, a long-term. Adhere to the party on the basis of the principle of unity, enhance internal communication, strengthen internal supervision, self Sleep maintenance team collective image and authority. (three) to ensure the execution is not strong or disguised to resist government decrees issues. Individual Bureau leadership team members lack of learning political theory system, not from the objective reality, not with the partys interests above all the principles to deal with personal problems. In the specific work safety supervision in the execution is not strong, in the implementation of the decision to deploy the discount, make choices, engage in work, the implementation of the agreement, uncomfortable is not performed, open or disguised to resist, the