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一、无穷小,二、无穷大,三、无穷小与无穷大的关系,一、无穷小,定义1如果函数f(x)当xx0(或x)时的极限为,零，,那么称函数f(x)为当xx0(或x)时的无穷小.,例如，,所以函数x1为当x1时为无穷小.,所以函数,为当x时为无穷小.,所以函数,为当x-时为无穷小.,定义1如果函数f(x)当xx0(或x)时的极限为,零，,那么称函数f(x)为当xx0(或x)时的无穷小.,几点说明,(1)无穷小不是很小很小的数；,(2)函数f(x)是不是无穷小与自变量的变化过程有关;,例如，f(x)=x1，,当x1时是无穷小，,当x2时不,是无穷小.,(3)0是可以作为无穷小的唯一常数.,定理1(无穷小与函数极限的关系),变化过程xx0(或x)中，,函数f(x)具有极限A的,充分必要条件是f(x)=A+，,其中是无穷小.,在自变量的同一,二、无穷大,定义2设函数f(x)在x0的某一去心邻域内有定义,(或|x|大于某一正数时有定义).,如果对于任意给定的,正数M(不论它多么大)，,总存在正数(或正数X)，,只,要x适合不等式0X)，,对应的函,数值f(x)总满足不等式,|f(x)|M，,那么称函数f(x)为当xx0(或x)时的无穷大.,几点说明,(1)若当xx0(或x)时，f(x)是无穷大，,则可记为,或,(2)无穷大不是很大很大的数；,(3)若函数为无穷大，则它必无界，反之不成立.,例如,函数,所以当x时，f(x)不是无穷大.,；,例,证明,铅直(垂直)渐近线,定义如果,或,或,则称直线x=x0是曲线y=f(x)的铅直,渐近线.,例如,铅直渐近线,水平渐近线,三、无穷小与无穷大的关系,定理2在自变量的同一变化过程中，,如果f(x)为无,穷大，,
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