随机变量PPT课件

04.06.2020,.,1,第6章随机变量的数字特征,本章主要内容离散型随机变量的数学期望、连续型随机变量的数学期望、随机变量函数的数学期望、方差与标准差等概念数学期望和方差的计算数学期望的性质、方差的性质等基本知识重要分布的数学期望和方差的计算公式大数定律与中心极限定理,04.06.2020,.,2,在实际问题中，或许随机变量的概率分布很难求得，或许只需要知道随机变量的某些综合特征。例如，某中学需要知道全校男生和女生的平均身高和身高分布的离散程度。因此，有必要引入用来刻画随机变量的平均值以及随机变量与其平均值的偏离程度的量，这就是本章将要介绍的数学期望和方差。它们是随机变量的两个最重要的数字特征。,第6章（续）,04.06.2020,.,3,6.1离散型随机变量的数字期望,实例6-1某幼儿园记录全园小朋友每天生病人数，连续记录了50天，得到的数据如下表所示。求该幼儿园的小朋友每天平均生病人数。,04.06.2020,.,4,6.1（续一）,这个问题可以这样解：先求出这50天内生病总人数，再除以50，即(021102153124952)/50122/502.44,04.06.2020,.,5,6.1（续二）,这个问题也可以换一种方法解：用X表示从全园小朋友每天生病人数，则X是一个随机变量；再用频率作为概率的估计值，那么X的概率分布如下表所示，则具体的计算过程如下：,04.06.2020,.,6,6.1（续三）,定义6-1设离散型随机变量X的概率分布为PXxipi(i1,2,)若随机变量X的所有可能取值为有限个：x1,x2,xn，则称和式为随机变量X的数学期望，记作E(X)或EX，即,04.06.2020,.,7,6.1（续四）,若随机变量X的所有可能取值为无限可列个：x1,x2,，且无穷级数绝对收敛，则称为随机变量X的数学期望，即,04.06.2020,.,8,6.1（续五）,为了简化叙述，以后不再对离散型随机变量X的所有可能取值的上述两种情形分别介绍，需要时以无限可列个的情形予以讨论。这样就可以用以下统一记号表示离散型随机变量X的数学期望：(6-1)数学期望又称为期望或均值。,04.06.2020,.,9,6.1（续六）,例6-1两个工厂生产同样一种产品，都有一等品、二等品和次品。某商场销售该产品，其中销售一件一等品赢利20元；销售一件二等品赢利15元；发现一件次品亏损30元。已知第一个工厂生产的产品中一等品、二等品、次品分别占75%、20%和5%；第二个工厂生产的产品中一等品、二等品、次品分别占85%、9%和6%。问从哪一个工厂进货销售可以获取较多的利润？,04.06.2020,.,10,6.1（续七）,解这个问题实际上是问从哪一个工厂进货销售的获利期望较大。设第一、第二个工厂产品的随机变量分别是X和Y，它们的所有可能取值都是20、15、30，但概率不同。按题给数据，X和Y的概率分布见下表。,04.06.2020,.,11,6.1（续八）,续解所以获利的数学期望分别为：E(X)200.75150.2(30)0.0516.5E(Y)200.85150.09(30)0.0616.55通过计算知，E(Y)E(X)。从第二个工厂进货销售可以获取较多的利润。,04.06.2020,.,12,6.1（续九）,例6-2证明二项分布XB(n,p)的数学期望E(X)np。证明对于二项分布XB(n,p)，由于(i0,1,2,n)所以,04.06.2020,.,13,6.1（续十）,续证,04.06.2020,.,14,6.1（续十一）,例6-3证明泊松分布的数学期望。证明对于泊松分布，由于所以,04.06.2020,.,15,对于连续型随机变量，也需要有一个反映随机变量取值的“平均”的数字特征，但不能用式(6-1)计算它的数学期望。,6.2连续型随机变量的数字期望,04.06.2020,.,16,如果连续型随机变量X的概率密度为考虑区间a,b)，将区间a,b)任意分成n个首尾相连的小区间，且每个小区间都含左端点，不含右端点，其长度分别为在每个小区间上任取一点，这些点分别为,6.2（续一）,04.06.2020,.,17,其对应的概率密度值分别为这样，连续型随机变量在每个小区间上取值的概率近似为由于“离散型随机变量的数学期望等于其所有可能的取值与对应概率乘积之和”，当a0，b0，且|a|与|b|都充分大时，总和,6.2（续二）,04.06.2020,.,18,应该是连续型随机变量X数学期望的近似值。且，时，若代表的极限的广义积分绝对收敛，该极限应该是连续型随机变量X的数学期望。,6.2（续三）,04.06.2020,.,19,6.2（续四）,定义6-2设随机变量X的概率密度为若广义积分绝对收敛，则称积分为连续型随机变量X的数学期望或均值，记作E(X)，即(6-2),04.06.2020,.,20,6.2（续五）,例6-5求均匀分布XU(a,b)的数学期望E(X)。解对于均匀分布XU(a,b)，由于所以,04.06.2020,.,21,6.2（续五）,例6-6证明正态分布的数学期望。证明对于正态分布，由于所以,04.06.2020,.,22,6.2（续六）,续证由于,04.06.2020,.,23,6.2（续七）,续证由于因此前面已经指出，正态分布的曲线是关于直线为对称的，所以，参数是该分布的均值。本例的结论验证了这一点。,04.06.2020,.,24,6.3随机变量函数的数学期望,定理6-1设离散型随机变量X的概率分布为PXxipi(i1,2,)如果绝对收敛，则随机变量X的函数f(X)的数学期望为(6-3),04.06.2020,.,25,6.3（续一）,定理6-2设连续型随机变量X的概率密度为，若广义积分绝对收敛，则随机变量X的函数f(X)的数学期望为(6-4),04.06.2020,.,26,6.3（续二）,例6-7设X的概率分布如下表所示：求E(X)、E(2X1)、E(X2)。解E(X)(1)0.300.120.450.21.5,04.06.2020,.,27,6.3（续三）,续解E(2X1)2(1)10.3(201)0.1(221)0.4(251)0.22E(X2)(1)20.3020.1220.4520.26.9,04.06.2020,.,28,6.3（续四）,例6-8已知XU(0,2)，f(x)x2，求Ef(x)。解由于XU(0,2)的概率密度为根据式(6-4)，得,04.06.2020,.,29,6.4方差与标准差,两个班级都是50人，计算机数学的平均考试成绩又都是80分。但是，第一个班获高分的学生不多，但没有人不及格；而第二个班获高分的学生较多，却有3人不及格。这说明，在许多实际问题中，仅仅知道随机变量的数学期望是不够的，还需要知道随机变量的取值相对于数学期望的偏离程度。,04.06.2020,.,30,6.4方差与标准差（续一）,实例6-3学校运动会的仪仗队成员的身高有这样的要求：男生身高在1米70到1米80之间，女生身高在1米60到1米70之间。实例6-4某电子器件的名义长度要求为25mm，误差不能超过0.05mm。,04.06.2020,.,31,6.4方差与标准差（续二）,对于离散型随机变量X，若其数学期望E(X)存在，则称差XE(X)为离散型随机变量X的离差。当然，离差也是一个离散型随机变量。但是，它的可能取值有正有负，也可能为零，而且它的数学期望等于零。因此，不能用离差的数学期望衡量离散型随机变量X对数学期望E(X)的离散程度。如果采用离差的平方XE(X)2，就既可避免正负离差相互抵消，又能反映离散型随机变量X对数学期望E(X)的离散程度。,04.06.2020,.,32,6.4方差与标准差（续三）,定义6-3设X为随机变量，如果EXE(X)2存在，则称EXE(X)2为X的方差，记作D(X)，即D(X)EXE(X)2(6-5)实际应用中经常使用，记作，称为X的标准差或均方差。不难看出，分布愈分散，方差和标准差愈大。反之亦然。,04.06.2020,.,33,6.4方差与标准差（续四）,按定义6-3，方差就是随机变量的数学期望。因此，离散型随机变量的方差和连续型随机变量的方差分别按式(6-6)和式(6-7)计算。(6-6)(6-7),04.06.2020,.,34,6.4方差与标准差（续四）,随机变量的方差有比式(6-6)和式(6-7)更简单的计算方法。定理6-3设离散型随机变量X的概率分布为PXaipi(i1,2,)则其方差是D(X)E(X2)E(X)2(6-8)其中，数学期望。,04.06.2020,.,35,6.4方差与标准差（续五）,证明对于离散型随机变量X有E(X2)2E(X)E(X)E(X)2E(X2)E(X)2,04.06.2020,.,36,6.4方差与标准差（续六）,定理6-4设连续型随机变量X的概率密度为，则其方差是E(X2)E(X)2(6-9)其中，数学期望。证明对于连续型随机变量X有,04.06.2020,.,37,6.4方差与标准差（续七）,E(X2)2E(X)E(X)E(X)2E(X2)E(X)2,04.06.2020,.,38,6.4方差与标准差（续八）,例6-9分别求例6-1中某商场销售第一个工厂生产的产品获利X和销售第二个工厂生产的产品获利Y的标准差。解利用例6-1解题的结果：E(X)16.5，E(Y)16.55。另外有E(X2)2020.751520.2(30)20.05390,04.06.2020,.,39,6.4方差与标准差（续九）,续解E(Y2)2020.851520.09(30)20.06414.25因此D(X)E(X2)E(X)239016.52117.75D(Y)E(Y2)E(Y)2414.2516.552140.3475,04.06.2020,.,40,6.4方差与标准差（续十）,续解最后得（元）（元）以上计算结果表明，。所以，从第二个工厂进货销售所获取的利润偏差较大。,04.06.2020,.,41,6.4方差与标准差（续十一）,例6-10证明二项分布XB(n,p)的方差D(X)npq。证明对于二项分布XB(n,p)，由于(i0,1,2,n)所以,04.06.2020,.,42,6.4方差与标准差（续十二）,续证,04.06.2020,.,43,6.4方差与标准差（续十三）,续证,04.06.2020,.,44,6.4方差与标准差（续十四）,续证由例6-2知E(X)np。将上述结果代入式(6-7)，得D(X)E(X2)E(X)2n2p2np2npn2p2np(1p)npq(pq1),04.06.2020,.,45,6.4方差与标准差（续十五）,例6-12某工厂生产的电冰箱的寿命（年）服从指数分布，概率密度为工厂规定，出售的电冰箱在一年内损坏可予以调换。若出售一台电冰箱盈利300元，调换一台电冰箱要亏损500元。问厂家出售一台电冰箱平均盈利多少？,04.06.2020,.,46,6.4方差与标准差（续十六）,解厂家出售一台电冰箱的盈利X为随机变量，平均盈利是：而,04.06.2020,.,47,6.4方差与标准差（续十七）,例6-13证明泊松分布的方差。证明由于,04.06.2020,.,48,6.4方差与标准差（续十八）,续证由例6-3知。将已经得到的结果代入式(6-8)，得,04.06.2020,.,49,6.4方差与标准差（续十九）,例6-15证明正态分布的方差。证明利用例6-6的结果。由于所以,04.06.2020,.,50,6.4方差与标准差（续二十）,续证,04.06.2020,.,51,6.5随机变量数字特征的性质,数学期望有如下性质性质1E(c)c（c为常数）性质2E(Xc)E(X)c（c为常数）性质3E(kX)kE(X)（k为常数）性质4E(kXc)kE(X)c（k,c为常数）性质5对于任意两个随机变量X，Y，有E(XY)E(X)E(Y),04.06.2020,.,52,6.5（续一）,性质6如果两个随机变量X，Y相互独立，则有E(XY)E(X)E(Y)性质5和性质6都可以推广到多个随机变量的情况：E(X1X2Xn)E(X1)E(X2)E(Xn)E(XYZ)E(X)E(Y)E(Z),04.06.2020,.,53,6.5（续二）,例6-16已知随机变量X，Y相互独立，并且它们的数学期望E(X)，E(Y)都存在。证明E(XE(X)(YE(Y)0,04.06.2020,.,54,6.5（续三）,证明根据数学期望的性质，有E(XE(X)(YE(Y)EXYE(X)YXE(Y)E(X)E(Y)E(XY)EE(X)YEXE(Y)EE(X)E(Y)E(X)E(Y)E(X)E(Y)E(X)E(Y)E(X)E(Y)0,04.06.2020,.,55,6.5（续四）,方差有如下性质：性质1D(c)0（c为常数）性质2D(Xc)D(X)（c为常数）性质3D(kX)k2D(X)（k为常数）性质4D(kXc)k2D(X)（k,c为常数）性质5对于任意两个随机变量X，Y，有D(XY)D(X)D(Y),04.06.2020,.,56,6.5（续五）,例6-17已知随机变量X的方差D(X)3，求下列方差：（1）D(X3)（2）D(2X1)解根据方差的性质，有（1）D(X3)D(X)3（2）D(2X1)D(2X)(2)2312,04.06.2020,.,57,6.6重要分布的数学期望与方差,二项分布XB(n,p)的数学期望与方差(6-10)(6-11)泊松分布的数学期望与方差(6-12)(6-13),04.06.2020,.,58,6.6（续一）,均匀分布XU(a,b)的数学期望与方差(6-14)(6-15)正态分布的数学期望与方差(6-16)(6-17),04.06.2020,.,59,6.6（续二）,例6-18某人射击一个目标的命中率为0.8，连续射击10次，求（1）恰好有6次命中的概率；（2）至少有8次命中的概率；（3）命中次数的均值；（4）命中次数的方差。,04.06.2020,.,60,6.6（续二）,解命中次数X是一个离散型随机变量，按题意有XB(10,0.8)。（1）事件恰好有6次命中即X6，因而有（2）事件至少有8次命中即X8，包括X8、X9、X10三种情况，因而有,04.06.2020,.,61,6.6（续三）,续解0.30200.26840.10740.6778（3）E(X)np100.88（4）D(X)npq100.8(10.8)1.6,04.06.2020,.,62,6.6（续四）,例6-19一页书上的印刷错误的个数是一个随机变量X，它服从泊松分布。某本书共有200页，有16个印刷错误，求任意一页上没有印刷错误的概率。解由题意知，随机变量X的数学期望，于是参数,04.06.2020,.,63,6.6（续五）,续解事件一页书上没有印刷错误意味着X0，因而有所以，这本书中任意一页上没有印刷错误的概率大约是0.923。,04.06.2020,.,64,6.7切贝谢夫不等式,切贝谢夫不等式如果随机变量X存在数学期望E(X)与方差D(X)，则对于任意常数，都有不等式(6-18)或者(6-18),04.06.2020,.,65,6.7（续一）,例6-20已知某电站供电网有10000盏同样功率的电灯，夜晚每一盏灯开灯的概率都是0.8，且它们开关与否相互独立，试利用切贝谢夫不等式估计夜晚同时开灯的灯数在78008200盏之间的概率。解夜晚同时开灯的灯数X是一个离散型随机变量，它服从参数为n10000，p0.8的二项分布，即XB(10000,0.8)。,04.06.2020,.,66,6.7（续二）,续解因此，数学期望和方差分别为E(X)np100000.88000D(X)npq100000.80.21600事件7800X8200表示夜晚同时开灯的灯数在78008200盏之间，它还可以记为200X8000200,04.06.2020,.,67,6.7（续三）,续解由此可知，在切贝谢夫不等式中应取常数200。利用切贝谢夫不等式估计所求概率P7800X8200P|X8000|2000.96即夜晚同时开灯的灯数在78008200盏之间的概率不小于0.96。这说明只要有供应8200盏灯的电力就能以不小于0.96的概率保证10000盏灯使用。,04.06.2020,.,68,6.8大数定律,贝努里大数定律如果随机变量Xn表示在n次独立重复试验中事件A发生的次数，且在一次试验中事件A发生的概率为p(0p1)，则对于任意常数，当n充分大时，事件A发生的频率即随机变量在区间内取值的概率与数1充分接近，即(6-19),04.06.2020,.,69,6.8大数定律（续一）,证明由于随机变量Xn服从参数为n，p的二项分布，即随机变量XnB(n,p)从而其数学期望和方差分别为E(Xn)npD(Xn)npq(pq1)根据数学期望的性质3，有,04.06.2020,.,70,6.8大数定律（续二）,续证根据方差的性质3，有利用切贝谢夫不等式估计事件发生的概率，有,04.06.2020,.,71,6.8大数定律（续三）,贝努里大数定律表明：在相同条件下进行很多次重复试验时，随机事件A发生的频率fn(A)稳定在事件A的概率P(A)的附近；也就是说，当n充分大时，事件A发生的频率与事件A的概率发生偏差的可能性很小。贝努里大数定律从理论上对随机事件频率的稳定性作了严密的论证。因此，当试验次数n充分大时，可以把事件的频率fn(A)作为事件A的概率P(A)的近似值。,04.06.2020,.,72,6.8大数定律（续四）,切贝谢夫大数定律如果随机变量X1,X2,Xn,相互独立，每个变量分别存在数学数学期望E(X1),E(X2),E(Xn),与方差D(X1),D(X2),D(Xn),，并且这些方差都小于某个正常数K，即D(Xi)K(i1,2,n,),04.06.2020,.,73,6.8大数定律（续五）,则对于任意常数，随机变量有(6-20)(6-20),04.06.2020,.,74,6.8大数定律（续六）,证明根据数学期望的性质3和方差的性质3，分别有对随机变量应用切贝谢夫不等式，对于任意常数0有,04.06.2020,.,75,6.8大数定律（续七）,续证又由于D(Xi)K(i1,2,n,)，从而所以有,04.06.2020,.,76,6.8大数定律（续八）,切贝谢夫大数定律说明，如果n个相互独立的随机变量X1,X2,Xn,的数学期望与方差都存在，且所有的方差都小于某个正常数，则当n充分大时，它们的算术平均值将聚集在其数学期望E(Yn)的附近。,04.06.2020,.,77,6.8大数定律（续九）,推论如果随机变量X1,X2,Xn相互独立，并且具有相同数学数学期望与方差(i1,2,n)，则X1,X2,Xn的算术平均数任意常数，有(6-21),04.06.2020,.,78,6.8大数定律（续十）,该推论表明，对于n个相互独立且具有相同的数学期望与方差的随机变量，当n充分大时，经过算术平均所得的随机变量的离散程度是很小的，其取值密集在它的数学期望附近。例如，测量一座山的高度。,04.06.2020,.,79,6.8中心极限定理,在实际问题中，有许多随机变量是由大量相互独立的随机因素的综合影响所形成的，其中每一个因素所起的作用都很小，这种随机变量都近似服从正态分布。因而的概率论中，有一类定理研究大量相互独立随机变量之和以正态分布为极限的问题，这一类定理称为中心极限定理。下面介绍其中的两个定理：林德伯格莱维定理和德莫佛拉普拉斯定理。,04.06.2020,.,80,6.8中心极限定理（续一）,定理6-5（林德伯格莱维定理）如果随机变量X1,X2,Xn相互独立且服从相同分布，并且存在与方差(i1,2,n)，则当n充分大时，随机变量近似服从参数为的正态分布，即近似有随机变量,04.06.2020,.,81,6.8中心极限定理（续二）,林德伯格莱维定理说明：如果一个随机现象受众多的随机因素影响，这种影响的总后果是各个因素的叠加，且每个因素在总的变化中起的作用都不显著，则描述这个随机现象的随机变量近似服从正态分布，此正态分布的两个参数分别是这个随机变量的数学期望与标准差。由于这样的情况很普遍，从而有相当数量的随机变量近似服从正态分布，所以正态分布是概率论与数理统计中最重要的分布。,04.06.2020,.,82,6.8中心极限定理（续三）,根据林德伯格莱维定理，无论随机变量Xi(i1,2,n)是离散型还是连续型，也无论服从什么分布，只要满足定理的条件，随机变量就以正态分布为极限。在实际问题中，n充分大具体为n50，有时也放宽到n30。,04.06.2020,.,83,6.8中心极限定理（续四）,例6-21袋装食糖用机器装袋。每袋食糖净重的数学期望为100g，标准差为4g。一盒内装100袋。求一盒食糖净重大于10100g的概率。解盒内第袋食糖净重Xi(i1,2,100)都是连续型随机变量。一盒食糖的净重也是一个随机变量。显然，连续型随机变量X1,X2,X100相互独立，且连续型随机变量,04.06.2020,.,84,6.8中心极限定理（续五）,续解题意给出了数学期望和标准差：E(Xi)100(i1,2,n)(i1,2,n)从而方差为D(Xi)16(i1,2,n)根据随机变量数学期望的性质5，可计算出随机变量X的数学期望,04.06.2020,.,85,6.8中心极限定理（续六）,续解连续型随机变量X1,X2,X100相互独立，根据随机变量方差的性质5，可计算出随机变量X的方差：,04.06.2020,.,86,6.8中心极限定理（续七）,续解根据林德伯格莱维定理，连续型随机变量近似服从参数为E(X)10000，的正态分布，即近似有连续型随机变量,04.06.2020,.,87,6.8中心极限定理（续八）,续解事件X10100表示一盒食糖净重大于10100g