【特色训练】整式的概念

整式的概念一、目标认知学习目标：理解并掌握单项式、多项式、整式等概念，弄清它们之间的区别与联系。能按要求列出代数式，会求代数式的值。会识别单项式系数与次数、多项式的项与系数。重点：单项式的概念，系数和次数。基本理解多项式的概念和正确确定多项式的次数和项数。难点：系数是负数或分数时的情形；多项式的次数和项的次数的异同点。二、知识要点梳理知识点一：用字母表示数要点诠释：用字母表示数之后，有些数量之间的关系用含有字母的式子表示，看上去更加简明，更具有普遍意义了举例：如果用a、b表示任意两个有理数，那么加法交换律可以用字母表示为：abba乘法交换律可以用字母表示为：abba知识点二：代数式要点诠释：诸如：16n ；2a+3b ；34 ；等式子，叫做代数式。（1）代数式中出现的乘号，通常写作“”或省略不写，如6b常写作6b或6b；（2）数字与字母相乘时，数字写在字母前面，如6b一般不写作b6；（3）除法运算写成分数形式，如1a通常写作（4）带等号的式子（等式）不是代数式，如就不是代数式。知识点三：列代数式要点诠释：用字母来表示数在解决实际问题时，常常先把问题中与数量有关的词语用代数式表示出来，即列出代数式，使问题变得简洁，更具一般性知识点四：代数式的值要点诠释：一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值。知识点五：单项式要点诠释：1代数式都是由数与字母的乘积组成的，这样的代数式叫做单项式。例如， 、abc、 m都是单项式但不是单项式,因它分母中含有字母,相当于含有字母与字母的除法运算。， ，a，b都是单项式。在a2b, ，2x2+3x+5中,只有a2b是单项式.2单项式的系数： 单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数例如，的系数是，的系 数是，abc的系数是1，m的系数是1 注：特别地，单独一个数或一个字母也是单项式3. 单项式的次数: 一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数 如: x3y2的次数是x的指数3与y的指数2的和5,即x3y2的次数是5； ab的次数是2； 4abc的次数是3；2a的次数是1；4的次数是0。注：（1）圆周率是常数；（2）当一个单项式的系数是1或1时，“1”通常省略不写，如，abc；（3）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数如写成知识点六：多项式要点诠释：1几个单项式的和叫做多项式。在多项式中,每个单项式叫做多项式的项,其中,不含字母的项，叫做常 数项。 如：多项式-2x+3中,-2x,3是它的项,3是常数项; 多项式5x2-3x+4中,5x2,-3x,4是它的项，4是它的常数项. 注:多项式的项包括它前面的符号。2多项式的项数:一个多项式含有几项,就叫做几项式.如3x-1是二项式,7x2-5x+3是三项式, a3+3a2b+3ab2+b3是四项式。3多项式的次数:多项式里,次数最高项的次数,就是这个多项式的次数。 如：多项式5x2-x+2中5x2项的次数最高,次数为2,所以,此多项式的次数是二,它是二次三项式; 4x-3是一次二项式;m2+mn+n2是二次三项式; x4y+xy4是五次二项式。 注：多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式里次数最高项的次数。4. 把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母降幂排列; 若按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母升幂排列。 如：多项式2x3y2-xy3+x2y4-5x4-6是六次五项式,按x的降幂排列为-5x4+2x3y2+x2y4-xy3-6, 在这里只考虑x的指数,而不考虑其它字母;按y的升幂排列为-6-5x4+2x3y2-xy3+x2y4。 注:(1)重新排列一个多项式时,各项都要带着符号移动位置;(2)对含有两个以上字母的多项式,一般都按其中某一个字母的降幂排列。知识点七：整式要点诠释：单项式和多项式统称为整式。即注：（1）单独一个数或一个字母单项式，当然也是整式；（2）整式包括单项式和多项式；（3）整式中分母不能含有字母。如:-3,a2b,，a2-b2都是整式，都不是整式。三、规律方法指导本节主要介绍单项式、多项式、整式及其相关概念。这些概念是结合实际问题给出的。在引出这些概念的过程中，教科书充分重视与实际问题的联系，在实际情景中抽象出数学概念。本节开始，教科书从章前引言中的问题（1）入手，在速度已知的前提下，利用公式“路程速度时间”，首先计算当时间是具体数字时火车所行驶的路程，然后逐步过渡到当时间用字母表示时火车所行驶的路程，这个路程可以用含有字母的式子表示出来。教科书的这种设计，一方面让学生在回顾复习小学所学的用字母表示数的同时，感受到式子中的字母表示数，含有字母的式子可以表示实际问题中的数量关系，式子更具有一般性等；另一方面，由于列出的这个式子是一个单项式，从而为后面引出单项式的概念做必要的铺垫。接下去，教科书设置一个“思考”栏目，要求以填空的方式写出几个实际问题的答案，这些答案都是用含有字母的式子来表示实际问题中的数量关系，所列出的式子都是单项式。这样，教科书就结合实际问题引出了对单项式概念的讨论，通过分析所列出的这些式子的共同特点给出单项式的概念、单项式的系数和次数的概念等。为了进一步巩固概念，教科书设计一个例题，例题中包括五个实际问题，要求用单项式解决问题。通过这个例题，在巩固单项式概念的同时，也让学生进一步熟悉分析实际问题中的数量关系，并用单项式表示出来，为学习下一章列方程打基础。有了单项式的概念，教科书在此基础上开始研究多项式的概念。对于多项式概念的引入，教科书采用的方式与单项式概念的引入基本相同。首先设置一个“思考”栏目，栏目中包括四个实际问题，解决这些实际问题，需要分析问题中的数量关系，并用含有字母的式子表示这些关系。由于所列出的式子都是多项式，通过分析这些式子的共同特点，教科书给出了多项式的概念，以及多项式的项数和次数的概念等。为了进一步熟悉多项式的概念，类似于单项式，教科书也给出一个例题，例题中有四个实际问题，要求用多项式表示问题中的数量关系，从而得到实际问题答案。对于多项式的概念，教科书紧密结合实际问题展开，并充分注意对列式表示数量关系的训练，这样就可以做到在引出和巩固多项式概念的同时，进一步培养学生分析实际问题中的数量关系并列式表示数量关系的能力，为下一章学习列方程打基础。经典例题透析类型一：列代数式1.（1）一打铅笔有12支，总价为a元，则每支铅笔的价格是 _元； （2）某商品的进价是a元，预期的利润率是20%，则此商品的售价应定为_元；解析：（1） ； （2）=120%a=1.2a举一反三：【变式1】（1）x的平方的3倍与5的差，用代数式表示为 _.（2）操作电脑时，甲4小时打x个字，乙5小时打y个字，甲乙两人每小时共打_个字答案 （1） （2）总结升华：列代数式实质上就是把文字语言转化为数学符号语言，对数学符号组成的式子，能化简的再化简。类型二：单项式与多项式辨析2下列代数式中，哪些是单项式，哪些是多项式？, ,，abc， ， ，a+1， ， ， 解析：解：单项式有： ， ，abc， 多项式有： ， ， a+1， ，总结升华：不是整式，更不是单项式，因为单项式只能含有乘法运算或数字作除数的除法运算，而此式含有字母作除数的除法运算。如可写成 ，因此 是多项式举一反三：【变式1】指出下列各式中的单项式、多项式和整式:13,，-x,5a,abc,ax2+bx+c,a3+b3。解：单项式有:13,5a,abc;多项式有: ，-x, ax2+bx+c,a3+b3；整式有:13,5a,abc, ，-x, ax2+bx+c,a3+b3。类型三：单项式的系数、次数概念3指出下列各单项式的系数和次数：，解析：解：的系数是 ，次数是2； 的系数是 ，次数是3次；的系数是1，次数是3次； a的系数是1，次数是1次；的系数是 ，次数是7次.总结升华：a的次数是1而不是0次， 是-个分数，是-个无限不循环的小数， 、 都是数字因数，所以 是单项式 的系数举一反三：【变式1】写出下列各单项式的系数和次数单项式x3y-0.6x2y2z2-15a2b20.7pq-px2系数-0.6-150.7-次数4364212类型四：多项式的次数、项数概念4下列多项式各是几次几项式，分别写出各多项式的项（1） ； （2） （3） ； （4） ；（5） ； （6） 解析：（1）是三次二项式，它的项分别是：，1；（2）是二次三项式，它的项分别 ；（3）是三次四项式，它的项分别是：；（4）是四次二项式，它的项分别是：，-b；（5）是三次二项式，它的项分别是：1， ；（6）是六次三项式，它的项分别是：， ， 总结升华：确定多项式的项及其系数时应包括它前面的符号比如（3）题各项分别是 ， ， ， ，而不是 ， ， ， 举一反三：【变式1】已知: 是六次三项式,求m的值.解：是六次三项式,而-x2y的次数是3;-4的次数是0,3xmy2m-1z的次数应是六,m+2m-1+1=63m=6m=2.【变式2】当m=_时,多项式8x2+3mxy-5y2+xy-8中不含xy项.【答案】m=-类型五：求代数式的值5. m是大于-1的负整数,n是绝对值为2的有理数,求：m3-2n2m2+6n3m的值.解：首先要确定m,n的取值,依题意得,m=-1,|n|=2, n=2,要分两种情况讨论:当m=-1,n=2时,m3-2n2m2+6n3m=(-1)3-222(-1)2+623(-1) =-8-48=-56.当m=-1,n=-2时,m3-2n2m2+6n3m=(-1)3-2(-2)2(-1)2+6(-2)3(-1)=-8+48=39所以原式的值是-56或39。举一反三：【变式1】.（2011广西桂林） 当时，代数式的值是_解：=类型六：按某一字母的升幂或降幂排列6. 将是按x降幂排列。解：按x降幂排列为：。举一反三：【变式1】请把多项式重新排列。按y降幂排列：_按y升幂排列：_【答案】： ，学习成果测评基础达标：一、填空题：1、下列代数式中，单项式是_个，多项式有_个。 -2x2y、-、a、-x2+2x-12、（2011西南师大附中期中）单项式的系数是_，次数是_3、多项式3a-4a2b+的项分别为_，最高次项的次数为_，常数项为_。4、多项式x6-y6是_次_项式5、多项式ab4c-5ax+7是_次_项式，其中最高次项的系数是_，常 数项是_。二、选择题：(1)下列说法正确的是( )A.x的指数是0 B.x的系数是0C.2是一次单项式D.-2是单项式(2)若单项式7abmc与单项式5xy6的次数相同，那么m=( )A.6 B.5 C.4 D.3(3)下列说法正确的是( )A.-3a+5的项3a、5B.和a2-2ab+b2都是多项式C.2x-3是由2x和-3构成的一次二项式D.和都是整式(4)多项式32x5-4x是( )A.五次二项式 B.六次二项式C.七次二项式 D.八次二项式三、解答题：1、把下列各代数式填在相应的括号里x-7， x ，4ab， ，5- ，x+， ，x+1 ，y，-1单项式集合： 多项式集合： 整式集合： 2、已知多项式-x2ym+1+xy3-3x3+6是五次四项式，而单项式7x 3ny5-mz的次数与该多项式的次数相同，求n的值。答案与解析：一、1、 4；2 2、 ；3 3、 ， ； 3 ；4、 六 二5、 六 三 1 ； 7解析：第题：既不是单项式也不是多项式，因为它是数字与字母的商的形式，这是我们以后需要学习的分式，而单项式和多项式，我们可以统称为整式。此外，单独的一个数也是单项式，比如：-二、1、 D 2、 C 3、 C 4、 A解析：第题：x的指数是，系数也是，因为都被省略不写。单独的一个数是没有次数的，只能说是单项式，因为单项式的次数是指单项式中所有字母指数的和。第题：-3a+5的项应是：3a、5，因为多项式的项应包括这一项前面的符号。第题：注意字母表示的是一个数，所以它不能看成是一个普通的字母，它是一个特定的数，因此，它是系数的一部分。三、1、 单项式：x， 4ab， y， -1； 多项式：x-7，x+，；整式：x， 4ab， y， -1，x-7，x+，2、由题意知：2+m+1=5 所以m=2 另外，3n+5-m+1=5 所以 n=解析：第题：多项式的次数是指多项式中次数最高项的次数，本题中多项式三项的次数分别为2+m+1，而此多项式的次数为，所以2+m+1；此外，本题中单项式的次数为3n+5-m+1，注意不能漏掉字母的次数。能力提升：一、选择题：1、下列叙述正确的是( ).A.是单项式,系数是2, B.是二项式,系数是C.是多项式,其各项系数都是D.是多项式,其各项系数的和等于02、(2011长春外国语期中）若多项式是关于的二次多项式，则的值是 ( )A0 B2 C0或2 D不确定3、在下列关于单项式的说法中正确的是( ).A.是一个系数为0,次数为0的单项式 B.是一个系数为1,次数为1的单项式C.是一个系数为1,次数为0的单项式 D.是一个系数为0,次数为1的单项式4、x减去y的平方的差，用代数式表示正确的是_A、 B、 C、 D、5、某同学爬一楼梯，从楼下爬到楼顶后立刻返回楼下。已知该楼梯长S米，同学上楼速度是a米/分， 下楼速度是b米/分，则他的平均速度是_米/分。A、 B、 C、 D、二、填空题：1、关于x的多项