有限单元法平面问题例题ppt课件

.,平面有限元解法,设有对角受压的正方形薄板（如上图所示），载荷沿厚度均匀分布，为2N/m。试对该结构进行整体分析，建立整体刚度矩阵和整体结点载荷列阵，建立整体结点方程组，通过编程求解出结点的位移，并从而求出各单元的应力。（为简单起见，取板的厚度t=1,弹性常数E=1,泊松比0）,.,右图为取1/4模型，离散后，单元、结点、荷载和约束的简图。,1简化力学模型、选取单元类型结构及荷载沿双轴对称，选取1/4结构结构。图所示为平面应力问题，平面应力单元类型中，3结点三角形单元,.,2结构离散，单元编号、结点编号,.,将对象划分成4个单元，共有6个结点，单元和结点上均编上号码，其中结点的整体编码1至6，以及个单元的结点局部编码i,j,m,均示于上图中。,.,3.1结点位移列阵、荷载列阵,3单元分析（对逐个单元进行分析。以单元1为例）,.,3.2位移函数,3单元分析,.,3.3讨论位移函数的收敛性（1）完备性（2）协调性,3单元分析,.,3.4推导形函数（只需分析1个单元，其余可直接用公式计算）代入结点坐标和位移,3单元分析,.,常数,3单元分析,.,设,3单元分析,.,得到,3单元分析,.,3单元分析,.,3单元分析,得到内部任意一点位移和结点位移的关系式,.,3单元分析,得到内部任意一点位移和结点位移的关系式,.,3单元分析,得到形函数矩阵,.,3单元分析,3.5推导内部任意一点应变和结点位移的转换关系,.,3单元分析,.,3单元分析,.,3单元分析,.,3单元分析,3.6推导内部任意一点应力和结点位移的转换关系,平面应力的弹性矩阵为,.,3单元分析,把D、B矩阵代入公式即可应力转换矩阵S,.,3单元分析,3.7得到单元刚度矩阵把B和D矩阵代入,对3结点三角形，可以简化为,.,3单元分析,3.8单元等效荷载计算,.,4组成整体刚度矩阵,暂时不考虑位移边界条件，把所分析结构的整体结点平衡方程组列出：,整体刚度矩阵写成66的矩阵，它的每个子块是22的矩阵，实际它是一个1212的矩阵。如K23，它的四个元素表示当结构的结点3沿x或y方向有单位位移时，在结点2的x方向或y方向引起的结点力。,.,4组成整体刚度矩阵,整体刚度矩阵写成66的矩阵，它的每个子块是22的矩阵，实际它是一个1212的矩阵。如K23，它的四个元素表示当结构的结点3沿x或y方向有单位位移时，在结点2的x方向或y方向引起的结点力。,.,4整体刚度矩阵续,由于于结点3和结点2在结构中是通过和这两个单元相联系，因而K23应是单元的k23和单元的k23之和。同理，可以找到各单元刚度矩阵中所有子矩阵在整体刚度矩阵K中的位置，得到整体劲度矩阵。,式中k的上标1,2,3,4表示是哪一个单元的刚度矩阵中的子矩阵，空白处是22的零矩阵。,.,4整体刚度矩阵续,对于单元、，根据公式，可求得A=0.5m2，,将上式中各子块的具体数值代入整体刚度矩阵K表达式中，得出整体刚度矩阵。,对于单元，根据公式，可求得A=0.5m2，,把0，t1m，代入单元的刚度矩阵，得两种单元的刚度矩阵k都是：,(37),.,4整体刚度矩阵,整体刚度矩阵K,(38),.,5引入位移边界条件,位移边界条件为：,因此，整体结点的位移列阵就简化为：,.,5引入位移边界条件,与这6个零位移分量相应的6个平衡方程不必建立，因此，将整体刚度矩阵中，第1、3、7、8、10、12各行以及同序号的各行划去，因而整体劲度矩阵K简化为：,.,6整体结点载荷列阵,确定了每个单元的结点载荷列阵：,根据各单元的结点局部编码与整体编码的关系，确定三个子块FLi,FLj,FLm在FL中的位置。,.,6整体结点载荷列阵,由于该结构只是在结点1受有向下1N/m的载荷，因而，非零元素子块，只有,在考虑了边界条件后，整体载荷列阵为：,.,平面有限元解法求解整体结点载荷列阵,求解化简后的整体刚度矩阵：,(39),求解以后，得结点位移：,.,平面有限元解法求解应力转换矩阵,应用单元的应力转换矩阵S，求出各单元中的应力：根据0，以及已求出的A、b和c的值，再由式(21)和(22)得出应力转换矩阵如下，对于单元、：,对于单元,.,平面有限元解法求解各单元中的应力（续）,应用单元的应力转换矩阵S，求出各单元中的应力：,Pa,单元,单元,Pa,.,平面